1、考研数学（数学三）模拟试卷 462 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 则( )（A）x=0 为极大值点（B） x=0 为极小值点（C） (0，f(0)为拐点（D）x=0 不是极值点，(0，f(0) 也不是拐点2 曲线 的渐近线条数为( )（A）3 条（B） 2 条（C） 1 条（D）0 条3 下列命题正确的是( ) 4 设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 则( ) （A）f(x，y)在(0，0)处不可偏导（B） f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微（C） fx(0， 0)=fy(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)
2、处可微分（D）f x(0，0)=f y(0，0)： 0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分5 设 A 为三阶矩阵，则( )（A）当 t2 时，r(A)=1（B）当 t2 时，r(A)=2（C）当 t=2 时，r(A)=1（D）当 t=2 时，r(A)=26 设 ， 为四维非零的正交向量，且 A=T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（A）1 个 （B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 (7)设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=02F 1(z)+08F 1(2x)，其中 F。 1(y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（A）036（B） 044
3、（C） 064（D）18 设 X1，X 2，X 3，X 4，X 5 是来自总体 N(1，4)的简单随机样本，则 a=( )（A）2（B） （C）（D）1二、填空题9 10 11 12 设 y=y(x)由 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应的点处的切线为_13 设 若 AB ，则y_14 设 XN(0，1) ，YN(0，4)且 X，Y 相互独立，则 Pmax(X，Y) 0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值16 已知 un(x)满足 un(x)=un(x)+xn-1ex(n=1，2，) ，17 设 f(x
4、)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导 (I)若 f(a)=0，f(b) 2()=0 ()若证明：存在 (a，b)，使得 f“()=f()18 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0) (I) 求 S=S(a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?19 求级数 的收敛域及和函数20 设 B 为三阶非零矩阵，为 BX=0 的解向量，且 AX=a3 有解 (I) 求常数a，b 的值 ()求 BX=0 的通解21 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得且 A*= (I)求正交矩阵 Q；
5、()求矩阵A22 某流水线上产品不合格的概率为 各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及D(X)23 设总体 X 的分布函数为 (X1，X 2，X 10)为来自总体 X 的简单随机样本，其观察值为 1，1，3， 1，0，0，3，1，0，1 (I)求总体 X 的分布律； () 求参数 的矩估计值； ( )求参数 的极大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 462 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)连续，所以 f(0)=0，再由极限保号性，存在
6、 0，当 0x 时，f(x)0=f(0)，即 x=0 为 f(x)的极小值点，应选 B2 【正确答案】 A【试题解析】 所以曲线的斜渐近线为 y=x+2，故曲线有 3 条渐近线，选 A3 【正确答案】 D【试题解析】 方法一： 方法二： 应选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 方法一： 当 t2时 为 AX=0 的两个线性无关的解， 从而 3r(A)2，r(A)1 ，又由 AO得 r(A)1，即 r(A)=1，应选A 方法二： 当 t2时，B 为可逆矩阵，从而 r(AB)=r(A)=1，应选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 令 AX=X，则 A2X=2X
7、，因为 ， 正交，所以T=T=0，A 2=TT=O，于是 2X=0，故 1234=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 因为4r(0EA)=4 r(A)=3 ，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X1E(1)，其密度函数为 其分布函数为 得 D(X)=E(X2)E(X) 2=08036=0 44，选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 z【试题解析】 两边对 x 求偏导得 11 【正确答案】 【试题解析】
8、 12 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 令 x=0 得y=1 故所求的切线方程为 y1=2x，即 y=2x+113 【正确答案】 6【试题解析】 由 AB 得 tr(A)=tr(B)，即 x3=0 ，于是 x=3 显然 A，B 的特征值为 1=2=1， 3=2， 因为 AB 且 B 为对角矩阵，所以 A 可对角化，从而r(EA)=1， 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 XN(0，1)，YN(0 ，4)， 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积 其次求最优解 16 【正确答案】 u n(x)=un(x)+xn1 一 ex，
9、即 yy=x n1 ex 解得17 【正确答案】 (I)因为 f +(a)0，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0，因为f(c)f(b)0，所以存在 x0(c，b)，使得 f(x0)=0因为 f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在 x1(a， x0)，使得 f(x 1)=0 令 (x)=f(x)f(x)，由 (a)=(x1)=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1) (a，b)，使得 ()=0而 (x)=f(x)f“(x)+f 2(x)，所以f()f“()+f 2()=0 ()令 因为 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)
10、=0 令 h(x)=exf(x)，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得 h( 1)=h( 2)=0，则 h(x)=exf(x)+f(x)，所以 f(1)+f( 1)=0，f( 2)+f( 2)=0 再令 G(x)=ex f(x)+f(x)，由 G(1)=G(2)=0，根据罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 G()=0，而G(x)=e-xf“(x)f(x)且 e x0，所以 f“()=f()18 【正确答案】 (I)设另一个切点为(x 0，x 02)，则抛物线 y=x2 的两条切线分别为 L1:y=2axa 2，L 2:y=2
11、x0x x02 19 【正确答案】 20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得，r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 解得 a=3b 由 AX=3 有解得 r(A)=r(A3)， 解得 b=5，从而 a=15 由 1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3r(B)2，从而r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系， 故 BX=0 的通解为21 【正确答案】 (I)显然 A 的特征值为 1=2=1， 3=2，A *的特征值为1=2=2， 3=1 因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3=2 的特征向量，令 =3 令 A 的属于特征值 1=2=1 的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1x 2+x3=0，则 A 的属于特征值 1=2=1 的线性无关的特征向量为22 【正确答案】 X 的分布律为 PX=k=(1p) k-1p(k=1，2，) 则 D(X)=E(X2)E 2=190 100=9023 【正确答案】 (I)总体 X 的分布律为 ()E(X)=12+3(1 3)=37， ()似然函数为 L()= 3(2)5(13) 2， lnL()=3ln+5ln2+2In(13) ，
