1、考研数学（数学二）模拟试卷 443 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(u)为 u 的连续函数，并设 f(0)=a0，又设平面区域 t=(x，y)|x|+|y|t ，t0 ，(t)= f(x2+y2)dxdy则 (t)在 t=0 处的右导数 +(0)= ( )（A）a（B） 2a（C） a（D）02 微分方程 y2y+y=e x 的特解形式为 ( )（A）y *=Aex(A0)（B） y*=(A+Bx)ex(B0)（C） y*=(A+Bx+Cx2)ex(C0)（D）y *=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D0)3 设 f(x)在 x=a 处可
2、导，则|f(x)|在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )（A）f(a)=0， f(a)=0 （B） f(a)=0， f(a) 0（C） f(a) 0，f(a)=0 （D）f(a) 0，f(a) 04 (，+)内零点的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多5 考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质：f(x)在a，b 上连续；f(x)在a，b 上可积；f(x)在a ， b上可导；f(x)在a，b 上存在原函数以 P=Q 表示由性质 P 可推出性质 Q，则有 ( )（A）=（B） =（C） =（D）=6 设当 x0 时， f(x)连续且严格单调递增，F(x)= 0x(2tx)
3、f(t)dt，则 F(x)在 x0 时 ( )（A）没有驻点（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点7 设 A，B 均是 4 阶方阵，且 r(A)=3，A *，B *是矩阵 A，B 的伴随矩阵，则矩阵方程 A*X=B*一定有解的充要条件是 ( )（A）r(B)1（B） r(B)2（C） r(B)3（D）r(B)48 设 则存在初等矩阵使得 B= ( )（A）P 1P2A（B） P2P1A（C） AP1P2（D）AP 2P1二、填空题9 设 ak=01x2(1x) kdx，则 _10 设常数 a0由方程组 确定的满足 y(a)=a，z(a)=a 的函数
4、组为y=y(x)，z=z(x)，则 y(a)=_，z(a)=_ 11 设 f(u)在 u=1 的某邻域内有定义且 f(1)=0，_12 _13 微分方程 yy+(y)2=yy满足初始条件 y|x=0=1，y| x=0= 的特解是_14 设 n 维(n3)向量组 1， 2， 3 线性无关，若向量组l1 1，m 32 2， 13 3 线性相关，则 m，l 应满足条件 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 ，常数 a0，b0，ab求二重积分 I= (x1)2+(2y+3)2d16 已知 f(u)有二阶连续导数，且 在 x0 时满足 求 z 的表达式17 设 f(x)在区间(0
5、，+)上连续，且严格单调增加试求证：在区间(0，+)上也严格单调增加18 设平面区域 D 用极坐标表示为 D=(r，)| cosr cos， sinr sin求二重积分19 设 0x1，证明：20 设三角形三边的长分别为 a，b，c ，此三角形的面积为 S求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离20 设 f(x)在闭区间a，b上连续，常数 k0并设 (x)=xbf(t)dtk axf(t)dt， 证明：21 存在 a，b 使 ()=0；22 若增设条件 f(x)0，则(I) 中的 是唯一的，并且必定有 (a，b)23 设方程组 有通解k11+k22= k1(1，2，1，1
6、) T+ k2(0，1，3，2) T方程组有通解11+22=1(2，1，6 ， 1) T+2(1，2，4，a+8) T已知方程组有非零解，试确定参数 的值，并求该非零解23 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=2=2，对应两个线性无关的特征向量为1， 2， 3= 2 的特征向量是 324 问 1+2 是否是 A 的特征向量?说明理由；25 2+3 是否是 A 的特征向量?说明理由；26 证明任意三维非零向量 都是 A2 的特征向量，并求对应的特征值考研数学（数学二）模拟试卷 443 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 Dt
7、=(x，y)|x 2 +y2t2)，于是 由于f (u)连续且 f(0)=a0，所以存在 T0，当 0t 2T 时，此外，关于 3块区域，显然有此外显然有(0)=0于是有 令 t0 +取极限，右边 由夹逼定理有即 +(0)=02 【正确答案】 C【试题解析】 因为方程右边 ex 指数上的 1 是特征方程的二重特征根，故特解形式为 y*=Ax2ex(A0)，即 C 中 C0 的形式故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U(a)，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知，当 xU(a)时，若 f(a)0，则|f(x)| =f(x)；若 f(a)从
8、而知其中 xa +时取“+” ， xa 时取“”，所以 f(a)=0 时，|f(x)|在 x=a 处可导的充要条件为|f(a)|=0 ，即 f(a)=0所以当且仅当 f(a)=0，f(a)0 时，|f(x)| 在 x=a 处不可导选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0) ，所以在区间 内至少有 1 个零点，当 x0 时，所以在区间(0，+)内f(x)至多有 1 个零点，故在区间(0 ，+) 内 f(x)有且仅有 1 个零点，所以在区间(， +)内 f(x)有且仅有 2 个零点选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 因可导必连续连续函数必存在原函数，故 B 正确A 是不
9、正确的虽然由(连续)可推出(可积)，但由 (可积 )推不出(可导)例如 f(x)=|x|在1 ，1 上可积，且 1 1|x|dx=201xdx=1，但|x|在 x=0 处不可导C 是不正确的由(可积)推不出(存在原函数)，例如 在1，1上可积，且 1 1f(x)dx=1 0(1)dx+ 011dx=x| 1 0+x01=1+1=0但 f(x)在1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)，那么只能是 F(x)=|x|+C 的形式，而此函数在 x=0 处不可导，在区间1，1上它没有做原函数的 “资格”D 是不正确的因为由(存在原函数 )推不出(函数连续)例如：它存在原函数可以验证 F(x)=
10、f(x)，但 f(x)在 x=0 处并不连续，即存在原函数可以不连续6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)= 0x(2tx)f(t)dt=2 0xtf(t)dtx 0xf(t)dt， F(x)=2xf(x) xf(x) 0xf(t)dt= xf(x) 0xf(t)dt =0xf(x)f(t)dt 由于 f(x)严格单调增加，可知当t(0，x) 时，f(x)f(t)，故当 x0 时，F(x)= 0xf(x)f(t)dt0，也即 F(x)在 x0 时没有驻点故应选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件知，r(A)=3 ，则 r(A*)=1而当 r(B*)=1 时，有可能r(A*B*)
11、=2如则r(A*)r(A*B*)=A*X=B*无解故 r(B*)=0，此时 r(B)2，有 r(A*)=r(A*B*)=1 = A*X=B*有解8 【正确答案】 A【试题解析】 B 是上三角阵，应作初等行变换将 A 中下三角元素 a21=1，a 32=2消为 0，故 故选A二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 1，0【试题解析】 方程两边对 x 求导，得 yz+xyz+xyz=0 及 x+yy=az将(x，y，z)=( a，a，a)代入得 y(a)+z(a)=1，y(a) z(a)=1解得 y(a)=1，z(a)=011 【正确答案】 【试题解析】 式中(*)表示等价无
12、穷小替换12 【正确答案】 【试题解析】 积分区域如图所示，并用极坐标表示，得13 【正确答案】 【试题解析】 此为缺 x 的可降阶二阶方程令 方程yy+(y)2=yy化为 分解成 p=0 与不满足初始条件解第二个方程，此为 p 关于y 的一阶线性微分方程，变形为再将y|x=0=1 代入，得 C2=0故解得 14 【正确答案】 lm=6【试题解析】 1， 2， 3 线性无关=r( 1， 2， 3)=3l 2 1，m 32 2， 13 3 线性相关=r(l 2 1，m 32 2， 13 3)2=r(C)2=| C|=lm6=0= lm=6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【
13、正确答案】 其中16 【正确答案】 由整理得(1+u 2)f+2uf=0，其中 ，f 中的自变量为 u，解上述方程，得其中 C1，C 2 为任意常数17 【正确答案】 对第 1 个积分作变量代换，令 则不论哪种情形，总有 F(x)0(当 x0 且 x1)此外易知 F(1)=0所以当 0x+ 时，F(x)严格单调增加18 【正确答案】 如图所示 D 为阴影部分，为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4 个半圆 D 关于直线 y=x 对称，被积函数也关于 y=x 对称交点 A，B，C 的直角坐标分别为 则19 【正确答案】 等价于证明当 0x1 时，经计算，F(1)=0，又从而知，当 0x1 时，(
14、x)0，即有 F(x)0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x时，F(x)0证毕20 【正确答案】 设 P 为三角形内的任意一点，该点到边长分别为 a，b，c 的边的距离分别为 x，y，z ，由三角形的面积公式有 求 f=xyz在约束条件 ax+by+cz2S=0 下的最大值，令 W=xyz+(ax+by+cz2S) ，由拉格朗日乘数法，令 解得唯一驻点为显然，当 P 位于三角形的边界上时，f=0 ，为最小值；当 P 位于三角形内部时，f 存在最大值，由于驻点唯一，故当21 【正确答案】 由题设易知 (a)=abf(t)dt，(b)= kabf(t)d
15、t， (a)(b)=k abf(t)dt20 如果 ab=0，则 (a)(b)=0取 =a 或 =b，使 ()=0如果 abf(t)dt0，则(a)(b)22 【正确答案】 若增设条件 f (x)0，则(x)=f(x)k f(x)= (k+1)f(x)0 由于 f(x)连续且 f(x)0，所以 f(x)0 或者 f(x)0，所以 (x)在a，b上严格单调，则 (x)至多有一个零点，又由上一题知 (a)(b)0，则上一题中的 是唯一的且(a， b)23 【正确答案】 方程组(*)有非零解，即方程组(*)，方程组(*)有非零公共解，设为 ，则 属于方程组 (*)的通解，也属于方程组(*)的通解，即
16、 =k11+ k22=11+22，其中 k1， k2 不全为零，且 1， 2 不全为零得 k11+ k22 11 22， (*)(*)式有非零解=r( 1， 2， 1， 2)1， 2， 1， 2)作初等行变换，故当 a=8 时，方程组(*)有非零解当 a=8 时，方程组(*)的系数矩阵经初等行变换化为 方程组(*)的非零公共解为其中 k 是任意非零常数24 【正确答案】 1+2 仍是 A 的对应于 1=2=2 的特征向量 因已知A1=21，A 2=22，故 A( 1+2)= A1+A2=21+22=2(1+2)25 【正确答案】 2+3 不是 A 的特征向量假设是，设其对应的特征值为 ，则有 A(2+3)=(2+3)， 得 222 3 2 3=(2) 2(2+) 3=0， 因 2 和 2+不同时为零，故 2， 3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故 2， 3 不是 A 的特征向量26 【正确答案】 因 A 有特征值 1=2=2， 3=2，故 A2 有特征值 1=2=2=4对应的特征向量仍是 1， 2， 3，且 1， 2， 3 线性无关故存在可逆矩阵P=(1， 2， 3)，使得 P 1 A2P=4E，A 2=P(4E)P1 =4E， 从而对任意的 0，有A2=4E=4，故知任意三维非零向量 都是 A2 的对应于 =4 的特征向量
