1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在0 ，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1)，f(1)一 f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)f(0)（B） f(1)f(1)f(0)f(0)（C） f(1)f(0)f(1)f(0)（D）f(1)f(0)f(1)f(0)2 设 f(x)= ，F(x)= 0xf(t)dt，则( )（A）F(x)在 x=0 点不连续（B） F(x)在 x=0 点不可导（C） F(x)在 x=0 点可导，F(0)=f(0)（D）F(x)在 x=0
2、点可导，但 F(0)f(0)3 设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时有 f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)04 设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y“+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 35 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线
3、y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)=则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 (x)在 x=0 不连续（D）可导且 (x)在 x=0 连续7 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )8 设函数 f(x)
4、连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)9 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(xx)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab10 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极
5、限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导11 周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 =一 1，则y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为( )（A） （B） 0（C）一 1（D）一 212 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=一 01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)等于( )（A）一 1（B） 01（C） 1（D）0513 ( )（A） ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)（B） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)（C） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)（D）ln(1+l
6、nx)一 2ln(1+2x)二、填空题14 已知 y= ，则 y=_15 已知 y=lnlnlnx，则 y=_16 已知 =_17 设 f(x)=3x2+Ax3(x0) ，A 为正常数，则 A 至少为_时，有 f(x)20(x0) 18 已知 =_19 函数 f(x)=4x 3 一 18x2+27在区间0，2上的最小值为_，最大值为_20 =_21 =_22 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设函数 f(x)满足 f(1)=0，f(1)=2求极限24 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数，且 f(x0)=0，f“(x 0)0，证明当 f“(x0)0，f(x)在 x
7、0 处取得极小值25 设 f(x)为 一 a，a 上的连续偶函数，且 f(x)0，令 F(x)=aax 一 tf(t)dt (1)证明 F(x)单调增加 (2)当 x 取何值时，F(x) 取最小值 (3)当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2 一 1 时，求函数 f(x)26 证明函数恒等式 arctanx= ，x (一 1，1)27 设 f(x)在0，b可导，f(x)0(x (0，b)，t 0，b，问 t 取何值时，图 23 中阴影部分的面积最大? 最小 ?28 设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)，使29 设 f(x)在 x=0 处二阶可导
8、，且 ，求 f(0)，f(0) 及 f“(0)。考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f“(x)0，x0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f(1)一 f(0)=f()， (0， 1)因此有f(0)f()f(1)，即f(0)f(1) 一 f(0)f(1)故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 不必求出 F(x)，利用已知结论判断设 f(x)在a，b连续，则 F(x)=在a，b可导，且 F(x)=f(x)(xa，b
9、)，x 0 是a，b某定点 因此 F0(0)F(0)，所以 F(x)在 x=0 不可导，故选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(一 x)可知，f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数 f“(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时，有 f(x)0，f“(x)0故选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 用等价无穷小代换和洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f(x)与 f“(x)均在x=0 两侧附
10、近变号，即 x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)也是曲线 y=f(x)的拐点，故选C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在x=a 处可导的一个充分条件故选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f(0)= 0根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU(0)，有 0 于是当 x(一 ，0)时，有f(x)f(0)；当 x(0，) 时，有 f(x)f(0) 故选 C。
11、【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 因【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，对于极限为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， =0。因此 f(x)在x=0 处连续，排除 A、B 又因为不存在，所以 f(x)在 x=0 处不可导， 故选 C【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k) 取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5) 又由 可得 f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微
12、分学12 【正确答案】 D【试题解析】 由微分的定义可知，函数 f(x)在 x0 点处的增量y 的线性主部即为函数 f(x)在该点处的微分 =f(x0)x，所以有 01=y(一 1)x=一 01y(一 1)，即 y(一 1)=一 1 而 y(一 1)=f(x2) x=1=f(x2)2x x=1=一 2f(1)， 因此 f(1)=0 5，故选 D【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学
13、16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 64【试题解析】 要使 f(x)20，只需 3x5+A20x3，即 20x33x5a(x0)设 g(x)=20x3 一 3x5，则 A 至少是 g(x)在(0，+) 内的最大值由于 g(x)=60x2 一15x4=15x2(4 一 x2) 所以 x=2 是 g(x)在(0，+)的最大值点，故A 至少为 g(2)=64【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 0；27【试题解析】 令 (x)=4x3 一 18x2+27，则所以 (x)在
14、0，2 单调递减，(0)=27，(2)=一 13，由介值定理知，存在唯一 x0(0，2)， (x 0)=0且 d(x 0)=27，f(x 0)=0，f(2)=13 因此，f(x) 在0，2上的最小值为 0，最大值为 27【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 利用洛必达法则，则有 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 2【试题解析】 运用洛必达法则，【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案
15、】 由题设 f“(x0)0，且由导数定义可知当 x(x0一 ，x 0)时，x 一 x00，则 f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，xx 00，则 f(x)0由第一充分条件可知，f(x)在点 x 处取得极小值【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 (1) F(x)= aax 一 tf(t)dt= ax(x 一 t)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt =xaxf(t)dtaxtf(t)dt+xatf(t)dt 一 xaf(t)dt =xaxf(t)dt 一 axtf(t)dtaxtf(t)dz+xaxf(t)dt， F(x)=axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf
16、(x)+axf(t)dt+xf(x) =axf(t)dtxaf(t)dt 所以 F“(x)=2f(x)0，因此 F(x)为单调增加的函数 (2)因为 F(0)=a0f(x)dx 一 0af(x)dx 且f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小值点，也为最小值点 (3)由 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1，两边求导得 2af(a)=f(a)一 2a 于是 f(x)一 2xf(x)=2x， 解得 f(x)=f2xe 2xdxdx+Ce2xdx= 一 1， 在 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1 中令 a=0，得 f(
17、0)=1，则 C=2，于是 f(x)= 一 1【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)在 x(一1，1)时成立，只需证明： f(x) ，g(x)在(一 1，1)内可导，且当 x(一 1，1)时，f(x)=g(x)； 存在 x0(一 1，1)，使得 f(x0)=g(x0) 由初等函数的性质知，f(x)与g(x)都在(一 1，1)内可导，且容易计算得到 即当x(一 1，1)时，f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时，f(x)=g(x)， 即原等式成立【知识模块】 一元函数微分学27 【正确
18、答案】 由图中所围图形，则 S(t)=0tf(t)一 f(x)dx+tbf(x)一 f(t)dx =tf(t)一0tf(x)dx+tbf(x)dx+(t 一 b)f(t)， 因 f(x)在0，b可导，则 S(t)=tf(t)+f(t)一 f(t)一 f(t)+f(t)+(tb)f(t)S(t)在0，b连续，也一足有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得 S(0)= 0bf(x)dx 一 bf(0)，S(b)=bf(b)一 0bf(x)dx， 但 S(b)一 S(0)= 的正负不能确定【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设 x=x0 处f(x) 最大，则有 f(x0)=0 由 f(a)=0，f(b)=0 有 【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
