1、考研数学一（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1992 年) 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 (1994 年) 设 其中a2+c20，则必有（A）b=4d（B） b=一 4d（C） a=4c（D）a= 一 4c3 (2003 年) 设 an，b n，c n均为非负数列，且则必有（A）a nb n 对任意 n 成立（B） bnc n 对任意 n 成立（C）极限 不存在（D）极限 不存在4 (2007 年) 当 x0 +时，与 等价的无穷小量是 5 (2
2、008 年) 设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n为数列，下列命题正确的是（A）若x n收敛，则f(x n)收敛（B）若 xn单调，则f(x n)收敛（C）若 f(xn)收敛，则x n)收敛（D）若f(x n)单调，则x n收敛6 (2009 年) 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2In(1 一 bx)是等价无穷小，则 7 (2010 年) 极限（A）1（B） e（C） ea-b（D）e b-a8 (2013 年) 已知极限 其中 k，c 为常数，且 c0则 9 (2017 年) 若函数 在 x=0 处连续，则（A）（B）（C） ab=0（D）ab=2二、填空题
3、10 (1990 年) 设函数 则 ff(x)=_11 (1990 年) 设 a 是非零常数，则12 (1991 年) 已知当 x0 时， 与 cosx 一 1 是等价无穷小，则常数 a=_13 (1995 年)14 (1996 年) 设 则 a=_15 (1997 年)16 (2003 年)17 (2006 年)18 (2015 年)19 (2016 年)20 (2018 年) 若 则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (1988 年) 设 f(x)=ex2，f(x)=1 一 x 且 (x)0，求 (x)及其定义域22 (1991 年) 求23 (1993 年)
4、求极限24 (1996 年) 设 x1=10， 试证数列xn极限存在，并求此极限25 (2000 年) 求25 (2006 年) 设数列 xn)满足 0x，x n+1=sinxn(n=1，2，)26 证明 存在，并求该极限；27 计算28 (2008 年) 求极限29 (2011 年)(I) 证明：对任意的正整数 n，都有成立()设证明数列a n收敛30 (2011 年) 求极限31 (2014 年) 求极限32 (2015 年) 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bx sinx，g(x)=kx 3若 f(x)与 g(x)在 x0 时是等价无穷小，求 a，b，k 的值33 (2018 年
5、) 设数列 xn满足：x 10，x nexn+1=exn 一 1(n=1，2，)证明x n收敛，并求考研数学一（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 而 则 x1 时，函数 的极限不存在，但不是【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 又则 从而 a=一4c.【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 解 l 由于 则即极限 不存在 故应选(D) 解 2 排除法：令显然，以上a n，b n，c n满足题设条件但 a 1=1， 从而 a 1b
6、 1，故(A)不正确 又b1c 1，故(B)也不正确 故(C)也不正确 由排除法知，应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 直接法 由于则应选(B) 解 2 排除法 由于当 x0+时，则选项(A)(C)(D)均不正确，故应选(B) 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在( 一，+) 上单调有界，若 xn单调，则f(x n)是单调有界数列，故f(x n)收敛 事实上 (A)(C)(D)都是错误的若令 显然 即x n收敛，令显然 f(x)在(一，+)上单凋有界。但f(x n)不收敛由于 所以不存在，故(A)不正确若
7、令 xn=n， f(x)=arctanx显然f(x n)收敛且单调，但 xn=n 不收敛，故(C)和(D) 不正确【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 由于当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 y(x)=x2ln(l 一 bx)是等价无穷小，则 则故应选(A) 解 2则【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 解 l 直接法：由于 由原式=e a-b 解 2 排除法： 令 a=0，则 显然选项(A)(B)(D)都不正确，故应选 (C) 解 3 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 由 知 k=3故应选(
8、D) 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 要使 f(x)在 x=0 处连续，则须 即从而有 故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题10 【正确答案】 1【试题解析】 由 知，对一切的 x 有|f(x)|1，则 ff(x)=1【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 e 2a【试题解析】 解 1 当 a=0 时， 则对一切的 a，有【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 由于 x0 时则即【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 e 6【试题解析】 由于 则【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 ln2【
9、试题解析】 由于 又 则 由 e 3a=8 知 a=ln2【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 32【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 (2)【试题解析】 当 x0 时，ln(1+x)-x， 则【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于则k=一 2【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【
10、正确答案】 由 f(x)=ex2 知，f(x)=e 2(x)=1 一 x，又 (x)0，则x0.【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 2【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 故 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 (I)用归纳法证明x n单调下降且有下界 由 0x 1，得0x 2=sinx1 x1； 设 0x n，则 0x n+1=sinxnx n； 所以x n单调下降且有下界，故 存在 记 由 xn+1=sinxn 得 a=s
11、ina， 所以 a=0，即【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 解 1 因为 又由上题 所以 解2 因为 又因为 所以 故 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 解 2 解 3 由泰勒公式知 则 解 4 解 5 由于 则 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 证 (I)根据拉格朗日中值定理，存在 (n，n+1)，使得 所以()当，21 时，由(I)知 且 所以数列a n单调下降且有下界，故 an收敛【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 解 1 记 当 x0 时，当 x0 时， 同样可得 综上可知，解 2 则【知识模块】 函数、极限、连续31 【正
12、确答案】 解 l 解 2 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 解 1 由于当 x0 时，f(x)kx 3，则 故 a=-1，解 2 因为所以，1+a0 时，与题设矛盾 故 1+a=0，即 a=一 1又 由题设，同理可知 1+2b=0，即 由于 且 所以 即【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 由于 x10，所以 根据微分中值定理，存在 (0，x 1)，使得 所以 ex2=e，故 0x 2x 1 假设0x n+1x n，则 所以0x n+2x n+1 故x n是单调减少的数列，且有下界，从而x n收敛 设得 aea=ea 一 1易知 a=0 为其解 令 f(x)=xex 一 ex+1，则 f(x)=xex 当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)在0，+) 上单调增加，所以 a=0 是方程aea=ea 一 1 在0，+)上的唯一解，故【知识模块】 函数、极限、连续
