1、考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数中不是初等函数的是 （A）ysgnx.（B） exxy-1 0.（C） yx.（D）yx 2.2 设 A 为 mn 矩阵，且 mn，若 A 的行向量线性无关，则( ) （A）方程组 AX=B 仅有零解 .（B）方程组 AX=B 有无穷多解.（C）方程组 AX=B 仅有惟一解.（D）方程组 AX=B 无解 .3 设 1=(3，2 ，1，3) ， 2=(-2，-3，-1，b)， 3=(5，a ，1，1) ， 4=(-16，1，-3 ，-2)，=(3，a+3 ，1，b+7
2、)，则 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出时，参数 a，b 应满足( ) （A）a0 ，b 任意.（B） a=0，b 任意.（C） b-4，a 任意.（D）b=-4，a 任意.4 设 A 是 mn 矩阵，AX=O 是非齐次线性方程组 AX=B 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( ) （A）若 AX=O 仅有零解，则 AX=B 有惟一解.（B）若 AX=B 有无穷多个解，则 AX=O 有非零解.（C）若 AX=O 有非零解，则 AX=B 有无穷多解.（D）若 AX=B 有无穷多个解，则 AX=O 仅有零解.5 设有齐次线性方程组 AX=O 和 BX=O，其中 A，B 均为 mn 矩
3、阵，现有 4 个命题：(1)若 AX=O 的解都是 BX=O 的解，则 r(A)r(B)；(2)若 r(A)r(B)，则 AX=O 的解都是 BX=O 的解；(3)若 AX=O 与 BX=O 同解，则 r(A)=r(B)；(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=O 与 BX=O 同解以上命题正确的是( ) （A）(3)(4).（B） (2)(4).（C） (1)(3).（D）(1)(2).6 设 A 为 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0( ) （A）至多是 A 的二重特征值.（B）必定是 A 的二重特征值.（C）至少是 A 的二重特征值.（D）一、二、三重特征值均有可能. 二、填空题7 从数
4、 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 用列举法表示下列集合：8 集合x x-1 5 的整数9 方程 x2-7x120 的根的集合.10 用集合的描述法表示下列集合： (1)大于 5 的所有实数集合. (2)方程 x2-7x120 的根的集合. (3)圆 x2y 225 内部(不包含圆周)一切点的集合. (4)抛物线yx 2 与直线 x-y=0 交点的集合.11 按下列要求举例：(1)一个有限集合 .(2)一个无限集合 .(3)一个空集 .(4)一个集合是另一个集合的子集.12 证明方程
5、 lnx=x-e 在(1，e 2)内必有实根13 证明 f(x)=sin x-x 在(-，+)上严格单调减少14 如果函数 f(x)的定义域为(-1 ，0)，求函数 f(x2-1)的定义域15 设 f(x)在(a，b)内连续，若存在 x1，x 2(a，b)，x 1x 2，使得 f(x1)f(x2)0，证明f(x)在(a，b)内至少有一个零点16 某工厂产积木玩具，每生产一套积木玩具的可变成本为 15 元，每天的固定成本为 2000 元如果每套积木玩具的出厂价为 20 元，为了不亏本，问该厂每天至少生产多少套这种积木玩具?17 利用数学期望的性质，证明方差的性质： (1)Da=0； (2)D(X
6、+a)+DX ； (3)D(aX)=a2DX18 设一支股票预计在一段时期内每天上涨的概率为 06，下跌的概率为 04，连续观察这段时期里 5 个交易日，求这 5 个交易日中上涨的天数的概率分布19 设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求 100 次独立重复测量，至少有 3 次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并用泊松分布求 的近似值考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【知识模块】 函
7、数、极限、连续4 【正确答案】 B【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 C【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 13/48.【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 根据绝对值的性质，可知Ax x-1 5 的整数x -5x-15，x 为整数x -4x6，x 为整数则 A-4 ，-3 ；-2，-1，0，1，2，3，4，5，6【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 求解方程 x2-7x120 的根，根据一元二次方程的求根公式可
8、以求得方程的两个根分别为 x13，x 2=4，则集合可表示为 A=3，4【试题解析】 根据给出的集合中元素满足的条件，确定集合中的所有元素，注意不能遗漏【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 用描述法描述集合时，应写清与集合中的元素有关的条件或法则 (1)A x x 为实数，且 x5. (2)A x x 2-7x120. (3)A(x ，y) x 2y 225 . (4)A (x，y)y x2 且 x-y0 .【试题解析】 注意：描述集合的具体形式时，应先写出集合中的元素所能抽象出的符号形式，然后再列出限制条件【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 (1)VCD 机，DVD
9、)机，录像机( 包含 3 个元素)；(2)全体奇数(无限多个元素) ；(3)小于 0 的正数 (没有满足限定条件的元素) ；(4)1981 年 9 月 20 日出生的人，1981 年 9 月出生的人(所有在 1981 年 9 月 20 日出生的人一定是在 1981 年 9 月出生的)【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 令 F(x)lnx-x+e，则 F(x)在1，e2上连续， 且 F(1)=ln1-1-e-1+e-(1-e)0，F(e2)=ln e 2-e2+e2-e 2+e0 因此由零值点定理可知 F(x)在(1，e 2)内一定有零值点， 即方程 lnxx-e 在(1 ，e 2
10、)内必有实根【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 f(x)=cocx-10 在(- ，+) 且不在任何区间上恒等于 0,所以 f(x)=sinx-x 在(-，+)上严格单调减少.【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 f(x)定义域为(-1,0) 对于 f(t)满足-1t 0，设 tx 2-1，则 f(x2)f(t) -1x 2-10，0x 21，f(x 2-1)的定义域为(-1，0) (0，1) f(x 2-1)的定义域为 x(-1，0) (0，1).【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为x 1，x 2(a，b)，则 f(x)在x 1，x 2上连续，且
11、f(x1)f(x2)1，x 2)(a，b)，使 f()0，即 f(x)在(a，b)内至少有一个零点.【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 已知 C1(可变成本)15 元套，C 2(固定成本)2000 元，P( 出厂价)=20 元套. 设每天至少生产 Q 套积木玩具. PQC 1Q+C2 (P-C1)QC2. (20-15)Q2 000 所以 Q400 套天.【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 利用方差的定义，有： (1)Da=E(a-Ea) 2 =E(a-a)2=0； (2)D(X+a)=E(X+a)-E(X+a)2 =E(X+a)-(EX+a)2 =E(X-EX)2
12、=DX； (3)D(aX)=E(aX)-E(aX) 2 =E(aX)-aEX2 =Ea2(X-EX)2 =a2E(X-EX)2=a2DX【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 设随机变量 X 为 5 个交易日中上涨的系数，则 PX=k=C5k(06)k(04) 5-k(k=0，1，2，5)【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 p=P(|X| 196)=P(X196)+P(X-196)=21-0(196/10)=005 令 y 为 100 次独立重复测量中，误差的绝对值大于 196 的次数，则Yb(100 ，005) ， P(Y3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2) =1-(0 95) 100-C1001(005)(095) 99- C1002(005) 2(095) 98 =0881 7 用泊松分布近似，有 P(Y3)1-e-5-5e-5-(52/2!)e-5=1-185e -5【知识模块】 函数、极限、连续
