1、考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2002 年试题，二) 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续； f(x ，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微； f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) （A）（B） （C） （D）2 (1997 年试题，二) 二元函数 在点(0，0)处( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）
2、不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在3 (2012 年试题，一) 如果函数 f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )（A）若极限 存在，则 f(x，y)在(0 ，0)处可微（B）若极限 存在，则，(x，y)在(0，0)处可微（C）若 f(x，y) 在(0，0)处可微，则极限 存在（D）若 f(x， y)在(0，0)处可微，则极限 存在4 (2005 年试题，二) 设函数 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )（A）（B）（C）（D）5 (2010 年试题，一) 设函数 z=z(x，y)由 方程确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则 等于 ( )（A）
3、x（B） z（C）一 x（D）-z6 (2005 年试题，二) 设有三元方程 xyxlny+exy=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1， 1)的一个邻域，在此邻域内该方程( ) （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=z(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y，z) 和 y=y(x，z)7 (2008 年试题，一) 函数 一在点(0，1)处的梯度等于( )（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j8 (2001 年
4、试题，二) 设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3,f y(0，0)=1，则 ( )（A）出 dz (0,0)=3dx+dy（B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0,f(0，0) 的法向量为 3，1，1（C）曲线 在点(0，0,f(0，0) 的切向量为1 ，0，3（D）曲线 在点(0，0,f(0，0) 的切向量为3，0，19 (2011 年试题，一) 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f (0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（A）f(0)1，f (0)0（B） f(0)1， f(0)（C） f(
5、0)(0)0（D）f(0) (0)10 (2006 年试题，二) 设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是 ( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 f(x，y )=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)011 (2003 年试题，二) 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( ) （A）点(0 ，0) 不是
6、f9x,y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点二、填空题12 (2011 年试题，二) 设函数 =_.13 (2009 年试题，二) 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数， z=f(x，xy)，则_.14 (2007 年试题，二) 设 f(u，v)为二元可微函数， z=f(xy，y z)则=_.15 (1998 年试题，一) 设 具有二阶连续导数，则=_.16 (2005 年试题，一) 设函数 单位向量 则=_.17 (2003 年试题，一) 曲面 z=x2+y
7、2 与平面 2x+4y 一 z=0 平行的切平面的方程是_。18 (2000 年试题，一) 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2)的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (2011 年试题，三) 设函数 z=f(xy，yg(x) ，其中函数，具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1 处取得极值20 (2001 年试题，四) 设函数 z=f(x，y)在点(1，1) 处可微，且, 求21 (2000 年试题，四) 设 其中，具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求22 (1999 年试题，三) 设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 x
8、=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 23 (2006 年试题，18) 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且 满足等式 (I)验证 ()若 f(1)=0,f(1)=1，求函数 f(u)的表达式24 (1997 年试题，四) 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程e2xz，求 f(u)25 (1997 年试题，四) 设直线 ，在平面 上，而平面 与曲面z=x2+y2 相切于点(1，一 2，5)，求 a，b 之值26 (2009 年试题，15) 求二元函数 f(x，y)=x 2(2
9、+y2)+ylny 的极值27 (2008 年试题，17) 已知曲线 求曲线 C 上与 xOy 面的距离最远点和最近点28 (2007 年试题，17) 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域D=(x,y)x 2+y24，y0上的最大值和最小值29 (2004 年试题，三) 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值30 (2002 年试题。八) 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占的区域为 D=(x，y)x 2+y2 一 xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=7
10、5 一 x2 一y2+xy (1)设 M(x0，y 0)为区域 D 上一点，问 h(x， y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式；(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在 D 的边界线 x2+y2 一 xy=75 上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，分析 4 条
11、性质可知，与 没有直接联系，从而可排除C，D，关于 A 和 B，重点在于分析性质和 ，显然性质 更强，即 f 的两个偏导数连续则 f 可微，因此 ，B 也被排除，从而只有 A 正确，选 A【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样，因此需要按定义一一加以判断由已知，所以 f(x，y)在点(0，0)处不连续；又因此 f(x，y) 在(0 ，0)点的两个偏导数都存在综上选 C讨论分段、分块定义的函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性一般按定义处理【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】
12、f(x，y)在(0，0)处连续，如果 存在，则 f(0，0)=0 且由存在，知 存在，则 即 fx(0，0)=0，同理可得 fy(0，0)=0 ，再根据可微定义 ；0可知 f(x， y)在(0，0)处可微选 B【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由题意可得 因为所以选 B题中含有二元变限积分，求偏导时，可将一个变量视为常数，按一元函数积分学中求变限积分的导数方法求解即可【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意可得故而有 即正确答案为 B解析二在方程 两边求全微分得从而即正确答案为 B解析三方程 两边分别对 X，Y 求偏导数，则有 解得从而
13、 即正确答案为 B【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，记方程为 F(x，y，z)=0 ，其中 F(x，y，z)=xy zlny+exx一 1F 对 x，y，z 均有连续偏导数，而且可知 r(0，1，1)=0由于 F(X，y，z)满足偏导数的连续性，根据隐函数存在定理可知，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域该方程可确定有连续偏导数的隐函数：x=x(y，z)和 y=y(x，z) 所以选 D求解此题应理解隐函数存在性定理的条件和结论，该知识点是 2005 年大纲新增加的考点【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 梯度的计算公式中涉及到函
14、数的偏导数，故先求二元函数 f(x，y)的偏导数： 则 fx(0，1)=lfy(0，1)=0梯度 gradf(0，1)=1i+0j=i，故应选 A【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 多元函数可偏导不一定可微，这一点与一元函数有本质区别，因此从题设给定(0，0) 点有偏导数的条件无法推出在(0，0)点函数可微，因而 A 不一定成立；关于 B，假设 z=f(x，y)在(0 ，0,f(0，0)点法向量存在，由定义知该法向量也应为3，1 ，一 1，何况题设仅给出 (0，0)点处 fx，f y的值，因此 B 也可排除；选项 C，D 是互斥的，可算出曲线 在点(0，0,f(0，0
15、)的切向量为3 ，1，一 10，1，0=1，0，3，从而选 C本题考查了多个知识点：可微性与可偏导的关系，曲面的法向量及其求法，空间曲线的切向量及其求法注意 A 选项是考生易犯的错误，简单地认为将偏导数代入全微分计算公式 即得出全微分，而忽视了全微分是否存在的前提【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 若 z=f(x)lnf(y)在(0， 0)处取极值，则 A=f(0)lnf(0)， B=0，c=f (0)由 AC=f(0)2lnf(0)0 且 A0 得 f(0)1 且f (0)0，故选A【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 考查化条件极值问题为
16、一元函数极值问题根据拉格朗日乘子法，令 F(x，y，)=，(x，y)+(x，y) ，则(x 0，y 0)满足若 fx(x0，y 0)=0，由(1)=0 或 x(x0，y 0)=0 当 A=0 时，由(2) 得 fx(x0，y 0)=0；但当 A0 时，由(2)及y(x0，x 0)0,fy(x0，y 0)0 所以 A，B 错误若 fx(x0，y 0)0，由(1)0，再由(2)及 y(x0，x 0)0f y(x0，y 0)0 故选 D【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，可将原式改用极坐标表示，即因此 且 f(pcos,psin)=2cos.sin+4+o(4)
17、当 p 充分小时，f(pcos，psin)的符号由 p2cos.sin 决定，但 sin.cos 符号不定，因此 f(x，y)在(0，0)点不取极值，选 A【知识模块】 多元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 则 解析二因 f(u，v)有二阶连续偏导数，故而【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 由题设，有【试题解析】 本题亦可先求 再求 因为题设复合函数的混合偏导数与求导次序无关但求导时应注意 f(xy)和 (x+y)均为一阶复合函数，对 x 求导时，y 被视为常数；对 y 求导时，x
18、 视为常数，切不可与多元复合函数的求导法则混淆【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 由题意可知根据方向导数计算公式可得【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 根据题意，先求曲面的法向量，则记 F(x，y，z)=x 2+y2 一 z，从而法向量 n=Fx，F y，F z=2x，2y，一 1，又由已知平面 2x+4yz=0 的法向量为 n1=2，4，一 1。则由平行关系知 由此得出切点坐标为(1，2，5)，因此所求切平面方程为 2(x 一 1)+4(y 一 2)一(z 一 5)=0也即 2x+4y 一 z=5【试题解析】 注意：若两平面平行，则它们的法向量的投影成比例，而并不一定
19、相等【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 设 F(x，y，z)=x 2+2y2+3z2 一 21=0，在点(1 ，一 2，2)处的法向量为 n=Fx,Fy,Fz (1,-2,2)=2x，4y，6z (1，-2，2) =2，一 8，12=21，一 4，6则法线方程为【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 g(x)可导且在 x=1 处取极值 g(1)=1，所以 g(1)=0【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 由题设 (x)=f(x,f(x，x)，则=32(x).(f1(x，x)+f 2(x，x).f1(x,x)+f
20、2(x， x)令 x=1，则 (1)=f(1，1)=f(1，1)=1;f 1(1f(1，1)=f 1(1，1)=2 ，且f2(1,f(1，1)=3 即 f1(1，1)=2 且 f2(1，1)=3 则【试题解析】 本题是多层复合函数的求导问题，在利用复合函求导时，应注意使用恰当的记号实际上 z=f(x,f(x，x)是由二元函元 x=f(x，y)，y=f(x，u)和一元函数 u=x 复合而成的，由复合函数的函数求导法可得：【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由题设， 从而【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 题设所给为一隐函数方程组，因此需分别对 x 求导，联立解出 由已知，
21、有 联立以上两式，消去 ，可得 (其中 F2+xf(x+y)F30)【试题解析】 注意题设中的函数 z=xf(x+y)是一阶复合函数。而非二元函数求导时，应先将一个变量看成常数，对另一个变量按照一元复合函数求导法则进行求导【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 (I)用复合函数求导法求解设 依题意，可知(1)由对称性，得 (2)(1)+(2)，得 ()因为(已证) ，即 uf(u)+f(u)=0，推出(uf (u)=0，积分得 uf(u)=C1 由 f(1)=1 推出 C1=1，就有 再积分得 f(u)=lnu+C1 由 f(1)=0 推出 C2=0所以 f(u)=lnu【知识模块】
22、多元函数微分学24 【正确答案】 由题设 代回原方程有 f.e2xz=e2xf，推出 f(u)一 f(u)=0 解此二阶常系数线性齐次微分方程，得 f(u)=C2eu+C2e-u，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 根据题意，平面 与曲面 z=x2+y2 相切于点(1，一 2，5)该点处曲面法向量(也就是平面 的法向量)n( 1,-2,5)=(2x，2y 一 1) (1,-2,5)=(2，一 4，一 1)，因此可得出平面 的方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0化简得 2x 一 4yz 一5=0 又由题设，直线 z 在平面 上，则
23、将 y=一 b 一 x 及 z=x 一 3+a(一 b 一 x)代入上式(平面 的方程)，得 2x 一 4b+4x 一 x+3+ab+ax 一 5=0 即(5+a)x+4b+ab 2=0，从而 5+a=0 且 4b+ab2=0 可解得 a=一 5 且 b=一 2 解析二本题亦可利用平面束求解，由已知，过直线 l 的平面束方程为 x+ay 一 z 一 3+(x+y+b)=0 其法向量为n1=(1+，a+，一 1)而曲面在点(1，一 2，5)处法向量 n2=(2，一 4，一 1)，则由，n1n 2，得 可解出 a=一 5，=1，又由平面 经过点(1 ，一 2，5)，因此 1+(一 5).(一 2)
24、一 53+12+b=0;可得出 b=一 2【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 由题设，令 fx(x，y)=2x(2+y 2)=0，f y(x，y)=2x 2y+Iny+1=0 则解得x=0， 又 fxx=2(2+y2)，f xy=4xy， 则因为 且 fxxfyy一(f xy)20 所以题设中二元函数存在极小值【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 曲线 C 到 xOy 面的距离就是x ，由曲线 C 的方程可得到x2+y2=2z2,x+y=53x;2z2=x2+y2 即 解得 1z5当且仅当 x=y 时一 k 述不等式中等号成立，将 x=y 代入到曲线 C 的方程得到故有x
25、 max=5，z min=1最远点为(一 5，一 5，5) ，最近点为(1，1，1) 解析二将曲线 C 的方程中的 z 消去可得整理得 7x2 一 4xy+7y2+20x+20y 一 50=0 问题就转化成在上述条件下求x的最值或求 z 的最值 令 F(x，y，)=z+(7x 2 一4xy+7y2+20x+20y 一 50) ，分别对x，y， 求偏导得 F=7x2=4xy+7y2+20x+20y 一 50=0联立上述等式解得 最远点为(一 5，一 5，5) ，最近点为(1，1，1) 解析三设 P(x，y，z) 为曲线 C 上的任意一点，则点 P 到 xOy 平面的距离为z，问题转化为求 z2
26、在约束条件 x2+y2 一2x2=0 与 x+y+3z=5 下的最值点令拉格朗日函数为 F(x，y，z ，)=x2+y2+(x2+y2 一 2z2)+(x+y+3z 一 5)根据几何意义知，曲线 C上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 (一 5，一 5，5)和(1，1， 1)【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 最大值和最小值在函数极值和边界上取得，应分类讨论：求驻点： 当(x，y)=(0，0)时 f(0，0)=0；当 (x，y)=( ，1)时 f( ，1)=2 考查边界 y=0，此时 f(x，y)=x 2，则0f(x，y)4考查边界 x2+y2=4，y0 令 F
27、(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 一 (x2+y2 一4)由 得综上所述：当x=0，y=2 时，取得最大值 8；当 x=0，y=0 时，取得最小值 0【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 由题设所给方程 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，两边分别对x，y 求偏导得 推出令 解出再由方程(1)两边分别对 x，y 求偏导，得方程(2)两边对 y 求偏导，得因此所以即知(9，3)是 z(x，y)之极小值点，z(9，3)=3同理所以则(一 9，一 3)是 z(x，y)之极大值点，且 z(一 9，一 3)=一 3 解析二令 F(xy，z)=x 2 一 6xy+10y
28、22yz 一 z2+18，则由隐函数求偏导数法则知以下步骤同解法 1【试题解析】 本题求解时易出现的错误是：当求出两组解 后直接认为(9， 3)为极大值点， z=3 是极大值，( 一 9，一 3)为极小值点，z=一 3 是极小值，虽然这是混淆了最大、最小值与极大、极小值的概念，极值其实只是函数的局部性态，极大值有可能会小于极小值，本题就是一个典型的例子【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 (1)由题设，结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质，则因此 h(x，y)沿方向(y 02x0)i+(x0 一2y0)j 方向导数为最大值，且此最大值为 (2)令f(x，y)=g 2(x，y)
29、=(y 一 2x)2+(x 一 2y)2，由题意只需求 f(x，y)在约束条件 (x，y)=75 一 x2 一 y2+xy=0 下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记 F(x，y，)=f(x， y)+A(x，y)=(y 一 2x)2+(x 一 2y)2+(75 一 x2 一 y2+xy)则由可解得 =2 或 x+y=0当 =2 时，可解出可能条件极值点为 当 x+y=0 时，可解出可能条件极值点为(5 ，一 5)，(一 5，5) 由于 ，而f(x，y) (5,-5)=f(x，y) (-5,5)=450 所以点(5，一 5)和点(一 5，5)可作为攀登的起点【试题解析】 许多求极值和最值的问题中，需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件，然后再求极，最值本题中因gradh为方向导数的最大值，故而将代为求gradh 在条件 x2+y2 一 xy=75F 的条件极值，用拉格朗日乘数法求该条件极值【知识模块】 多元函数微分学
