1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设是曲面 被 z=1 割下的有限部分，则曲面积分 的值为( )2 下列命题中不正确的是 ( )（A）设 f(u)有连续导数，则 L(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关（B）设 f(u)连续，则 Lf(x2+y2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关（C）设 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 ，则LPdx+Qdy 在区域 D 内与路径无关（D） 在区域 D=(x，y)(z，y)(0，0)上与路径有关3 设曲线 L 是区域 D
2、的正向边界，那么 D 的面积为 ( )4 设力 f=2i-j+2k 作用在一质点上，该质点从点 M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为 ( )（A）2（B） -1（C） 3（D）45 设曲线积分 Lf(x)-exsinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于 ( )6 设为球面 x2+y2+z2=1 的外侧，下面 4 个结论：其中正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个7 设为球面(x-1) 2+y2+(z+1)2=1，则第一型曲面积分 (2x+3y+z)dS= (
3、 )（A）4（B） 2（C） （D）08 设 L 是摆线= ( )（A）-（B） （C） 2（D）-2二、填空题9 曲面积分 =_，其中 S 为球面 x2+y2+z2=1 的外侧10 设一个矢量场 A(x，y，z) ，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为 k)，方向指向原点，则 divA=_11 设由平面图形 axb，0yf(x)绕 x 轴旋转所成旋转体 的密度为 1，则该旋转体 对 x 轴的转动惯量为_12 设 L 为双纽线(x 2+y2)2=a2(x2-y2)的全弧段，常数 a0，则 Lyds=_13 设 f(u)具有连续的一阶导数，L AB 为以 为直径的左上半个圆
4、弧，从 A 到 B，其中点 A(1，1) ，点 B(3， 3)则第二型曲线积分=_14 设 S 为椭球面 ，已知 S 的面积为 A，则第一型曲面积钟S(2x+3y)2+(6z-1)2dS=_15 设封闭曲面 S：x 2+y2+z2=R2(R0) ，法向量向外，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设某曲线 L 的线密度 =x2+y2+z2，其方程为 x=ecost，y=esint，z= ，-t016 求曲线 L 的弧长 l；17 求曲线 L 对 Oz 轴的转动惯量 J；18 求曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力(k 为引力常数)19 设有球面：x 2+y2+
5、z2=2x，其面密度为 (x，y，z)=x 2+y2+z2，试求该球面的质量20 设函数 ，若曲线积分 LPdx+Qdy 在区域 D=(x，y)y0“上与路径无关，求参数 21 设函数 f(z)具有一阶连续导数，且 f(1)=1，D 为不包含原点的单连通区域，在 D内曲线积分 与路径无关，求 f(y)；(2)在(1) 的条件下，求，且取逆时针方向22 设曲线 C：y=sinx ，0x，证明：23 设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 Lf(x，y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关，且 f(x，y)dx+xcosydy=t 2，求 f(x，y)24 设曲线 C：x 2+y2+x
6、+y=0，取逆时针方向，证明：25 设 L 是平面单连通有界区域 的正向边界线，n 0 是 L 上任一点(x，y)处的单位外法向量设平面封闭曲线 L 上点(x，y)的矢径 r=xi+yj，r=r， 是 n0 与 r 的夹角，试求26 求矢量 A(x，y，z)=i+zj+ k 穿过曲面的通量，其中为曲线绕 z 轴旋转一周所形成旋转曲面的外侧在 1z2 间部分27 设函数 f(x)在0，+)上连续，若对任意的 t(0，+)恒有其中 (t)=(x， y，z) x 2+y2+z2t2，D(t)是 (t)在 xOy 平面上的投影区域，(t)是球域 (t)的表面，L(t)是 D(t)的边界曲线证明： f(
7、x)满足 f(r)dr+tf(r)=2t4，且 f(0)=027 设28 通过 将 f(r，t) 化为对 的定积分，其中 02；29 求极限考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 1 为在第一卦限部分的曲面，1：z= Dxy：x 2+y21，x0，y0，用极坐标表示 Dr：0r1 ，0，所以因为关于 yOz 面，zOx 面对称，函数yz关于变量 z 或 Y 都为偶函数，故【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，令 P(x，y)=xf(x 2+y2
8、)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，则=2xyf(x2+y2)， =2xyf(x2+y2)，其中 f(x2+y2)= ，全平面是单连通区域，故 LPdx+Qdy 在全平面内与路径无关 (A)正确 对于(B)，可求得被积函数的原函数为因而， Lf(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关(B)正确 对于(C) ，因区域 D 不一定是单连通区域，故(C) 中积分不一定与路径无关 (C)不正确 对于(D)，取 L 为单位圆x2+y2=1，并取逆时针方向，则因而，积分与路径有关(D)正确仅(C) 入选【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查用第二型曲线积分求平面面积，
9、是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系 (1)令 P=-y，Q=x，则由格林公式得(2)令 P=-y，Q=0，则由格林公式得(3)令 P=0，Q=x，由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选择(A)【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 W=f.s.cos ，故 W=【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 P=f(x)-e xsiny， Q=-f(x)cosy积分与路径无关，则 ，即f(x)-excosy=-f(x)cosy又由 f(0)=0 解得 f(x)=【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】
10、 C【试题解析】 由对称性得由高斯公式得 (由积分区域的对称性及被积函数的奇偶性)同理【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 是球面(x-1) 2+y2+(z+1)2=1 的形心坐标公式，而球面的形心在球心 (1，0，-1)处，故【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 设 ，故曲线积分与路径无关使用路径无关选路法，令 L1：y= ，则【知识模块】 多元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数
11、积分学12 【正确答案】 【试题解析】 由双纽线的对称性及y为 y 的偶函数，记 L1 为 L 在第一象限部分，有与二重积分类似的性质 Lyds=4 L1dx在极坐标中，ds=其中 L1 的极坐标方程为 r2=a2cos2，r=r()= ，于是经化简之后，【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 3+4【试题解析】 添直线段 (即半圆的直径从 B 到 A)，有其中 LAB 围成的有界区域，记为 D=(x，y)(x-2) 2+(y-2)2 为负向由格林公式 所以原式=3+4【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 37A【试题解析】 (2x+3y) 2+(6z-1)2=4x2+9y2
12、+36z2+12xy-12z+1，由于 S 分别对称于三个坐标平面，所以 又在 S 上 4x2+9y2+36z2=36，所以原积分=【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 以 S 的方程代入被积函数，得令 =(x，y，z) x 2+y2+z2R2，由高斯公式，【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 曲线的弧微分 ds= =2etdt，于是曲线L 的弧长 l=【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 在曲线 L 上，有 x2+y2=e2t，x 2+y2+z2=3e2t，则曲线 L 对
13、 Oz 轴的转动惯量【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 设曲线 L 对位于原点处质量为 m 的质点的引力为F=Fxi+Fyj+Fzk，则有【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 由于关于 xOy 面，xOz 面均对称，故其中 1 是在第一卦限的部分故 其中 Dxy：(x-1)2+y21，y0 【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 区域 D 为单连通区域，P(x，y)，Q(x，y)在 D 内有连续的偏导数，故 L Pdx+Qdy 在 D 上与路径无关 D而简化得 xr+xy2r-2+x3r-2=0，r 2+y2+x2=0，又 =-1 ，得 =-1【知识模块】 多元函
14、数积分学21 【正确答案】 (1)根据积分与路径无关定理，在 D 内，由可得 yf(y)=2f(y)解得 f(y)=Cy2，由 f(1)=1，得 f(y)=y2 (2) 取 L1 为 2x2+y2=2 并取顺时针方向( 充分小)，L与 L1 所围成的区域记为 D，又 L1 的参数方程为 则【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 先将对弧长的曲线积分化为定积分：则由定积分的性质，得【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 (1) Lf(x， y)dx+xcosydy 在全平面与路径无关积分得 f(x，y)=siny+C(x) (2)求 f(x，y)转化为求 C(x)f(x，y)=s
15、iny+2x-sinx 2-2x2cosx2【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后就二重积分进行估值 由格林公式，有Lysinx2dx+xcosy2dy= (cosy2+sinx2)d， 其中 D=(x，y)x 2+y2+x+y0=是由 C 围成的圆域，最小横坐标为 x=，代入式，得由积分的保号性，【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系注意到第二型曲线积分要考虑曲线 L 在其上点(x，y)处的单位切向量，设其为0=cosi+cosj因为曲线 L 在其上点(
16、x ，y)处的法向量 n0 与切线向量 0 互相垂直，并使闭曲线 L 取正向，故取 n0=cosi-cosj 根据两向量内积的定义及dx=cosds，dy=cosds，得于是，原曲线积分【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 曲线 绕 z 轴旋转一周所形成旋转曲面向量 A=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k=i+zj+ 通过 的通量为添加辅助曲面 1：z=2(x 2+y24)取上侧， 2：z=1 (x 2+y21)取下侧+ 1+2 形成封闭曲面，所围区域记为 ，则由高斯公式【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 D(t)=(x ，y) x 2+y2t2，(t)=(x，y，z)x 2+y2+z2=t2，L(t)=(x， y)x 2+y2=t2，且由题设条件，有【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 由于题设给出参数式 2，则【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 对任意实数 t， 是定积分，根据积分保号性，其值大于零，且显然与 r 无关，所以【知识模块】 多元函数积分学
