1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（A）当 m 为偶数，n 为奇数时， 一定为 0（B）当 m 为奇数，n 为偶数时， 一定为 0（C）当 m 为奇数，n 为奇数时， 一定为 0（D）当 m 为偶数，n 为偶数时， 一定为 02 其中D=(x，y) x 2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab3 化为极坐标系中的累次积分为 ( )（A）（B）（C）（D）4 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对
2、应的特征向量为 1， 2， 3，令P(3 2，一 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )5 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQB（C） r(A) r(B) （D）以上都不对6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值7 与
3、矩阵 相似的矩阵为( )8 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等9 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P1 APB（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQB（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB10 设为 x+y+z=1 在第一卦限部分的下侧，则 等于 ( )（A）（B）（C）（D
4、）二、填空题11 空间曲线 x=3t，y=3t 2， z=2t3 从 O(0，0，0) 到 A(3，3，2)的弧长为_12 已知 F=x3i+y3j+z2k，则在点 (1，0，一 1)处的 divF 为_13 设是平面 在第一卦限部分的下侧，则化成对面积的曲面积分为 I=_14 设光滑曲面所围闭域 上，P(x，y，z) 、Q(x ，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且为 的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为_15 设 u=x2+3y+yz，则 div(graau)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求柱体 x2+y22x 被 x2+y2+z2=4 所截得部分的
5、体积17 设平面薄片所占的区域 D 由抛物线 y=x2 及直线 y=x 所围成，它在(x，y)处的面密度 (x，y)=x 2y，求此薄片的重心18 设平面区域 由 1 与 2 组成，其中， 1=(x，y)0ya x，0xa，2=(x，y)ax+yb，x0，y0)，如图 161 所示，它的面密度试求(1)该薄片 的质量 m；(2) 薄片 1 关于 y 轴的转动惯量 I1 与 2 关于原点的转动惯量 J019 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A TA 的特征值全大于零20 21 22 23 24 设二次型 f2x 122x 22ax 322x 1x22bx 1x3 2x2x3 经过
6、正交变换 XQY 化为标准形 fy 12y 224y 32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q25 26 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵27 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)n28 计算29 设 其中 D 为正方形域0x1，0y130 设函数 f(x)，g(x) 在a,b上连续且单调增，证明：31 设 f(x，y)是(x ，y) x 2+y21)上的二阶连续可微函数，满足 ，计算积分考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 D【试题解析】 令 则(1)当m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(-1) m(一 1)n=一 1，从而积分为零；(2) 当 m 和 n均为奇数时，(-1) m(一 1)n=1，从而 由于上的奇函数，故积分为零总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时，故答案选择 D【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)x 2+y21)，所以由 cosx 在 上单调减少可得因此有 cba【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 所以积分区域 D 是圆x2+(y 一 1)21的右半圆在直线 y=x 上方的部分，于是，其极坐标形式为
8、【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32，一 3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以，选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，显然 A，B 有相同的特征值，而r(A)r(B)，所以 (A)，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(EA) n，则EA0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATAE，令 AX X(其中 X0)，则 XTATX T，于是
9、 XTATAX 2XTX，即( 2 一 1)XTX0，而 XTX0，故 21，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B 可以对角化；(C)不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 ；因为
10、 A 可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 ，于是，故选(D)【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选(D)【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 6【试题解析】 设向量场 F=Pi+Qj+Rk，则在点 M(x0，y 0，z 0)处【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 指定侧法向量 ，n 的方向余弦由两类曲面积分的联系，
11、【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 因P，Q，R 在 上有二阶连续偏导数，故 Ryx=Rxy，Q zx=Qxz，P zy=Pyz，从而 用高斯公式【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 ，其中 D=(x，y)x 2+y22x 且 y0，用极坐标计算，在极坐标下 于是【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 设此薄片的重心为 ，则【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 (1)根据重积分的分块可加性，得薄片 的质量注意到直线 y=a 一
12、 x与 y=b 一 x 在极坐标系中的方程为因此，薄片 的质量为 (2)薄片 1 关于 y 轴的转动惯量【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)n，对任意的 X0， X T(ATA)X(AX) T(AX)，令 AX ，因为 r(A)n，所以 0，所以 (AX) T(AX) T 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型， ATA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 如图 165， 则【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 如图 16-6， 则【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答
13、案】 如图 167，D=D 1+D2，其中【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 如图 168，【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 二次型 f2x 122x 22ax 322x 1x22bx 1x32x 2x3 的矩阵形式为 fX TAX【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 A 所对应的二次型为 fX TAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 XQY，使得 ，其中i0(i 1，2，n) ，对任意的 X0，因为 XQY，所以 YQ TX0，于是f 1y12 2y22 nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所
14、以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为(B TAB)TB TAT(BT)TB TAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX (BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X(BX) TA(BX)0， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学
