1、考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(z)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z) （C） FX(z).FY(z) （D） FX(z)+FY(z) 3 设随机变量 X1 与 X2
2、 相互独立，其分布函数分别为则 X1+X2 的分布函数 F(x)=（A）F 1(x)+F2(x)（B） F2(x)（C） F2(x 一 1)（D） F2(x 一 1)4 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，Y) 未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=1=PX i=1= (i=1，2)，则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X
3、 1 与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（A）PX+Y0= （B） PXY0= （C） Pmax(X，Y)0= （D）Pmin(X，Y)0= 7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2+y2r2上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（A）随机变量 X（B）随机变量 X+Y（C）随机变量 Y（D）Y 关于 X=1 的条件分布二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 P= 的 0-1 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_9 假设随机变量 X 与
4、Y 相互独立，且 PX=k= (k=1，2，3)，则a=_，b=_，Z=X+Y 的分布律为 _ 。10 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_11 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_12 设(X，Y)N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=1= ，求：()Z=XY 的概率密度 fZ(z)；(II)V=XY 的概率密度 fV(v)。14 已知随机变量
5、 X 服从参数为 1 的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y 独立现对 X 进行 n 次独立重复观察，用 Z 表示观察值大于 2 的次数，求 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)15 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=m=pqm 1，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY 的分布函数16 汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B ，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C 加油假设各辆车加油所需时间是相互独立
6、且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车 C 在加油站等待加油时间 T 的概率密度；()求第三辆车 C 在加油站度过时间 S 的概率密度17 袋中有大小相同的 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y) 的联合分布律18 设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中a，b，c 为常数，且 EXY=01，PX0Y2= ，记 Z=X+Y求：()a，b，c 之值；()Z 的概率分布；()PZ=X与 PZ=Y19 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记 ()求
7、 U 和 V 的联合分布；()求 U 和 V 的相关系数 20 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性21 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度 f(x)；()试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；()求条件概率 PY1X0522 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中 D=(x，y)x+y 1， x 一 y1，求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下，关于 Y 的条件密度 fYX (y0)23 已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY 的概率分布；
8、() 记 U1=XY，V 1= ，求(U 1，V 1)的概率分布；()记 U2=max(X，Y)，V2=min(X，Y)，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布24 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 fU(u)； ( )V=XY的概率密度 fU(v)25 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：()常数 K1，K 2 的值；()X i，Y i(i=1，2)的边缘概率密度； ()PX i2Y i (i=1，2)考研数学一（多维随机变量及其分布）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每
9、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 Y4=X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y与 XY 都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X，Y) 的联合密度 f(x，y)=因此(X，Y)服从区域 D=(x，y)0x1，0y1上二维均匀分布，应选(D)【知识模块】 多维随机变量及其分布2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXz.PYz=F X(z).FY(z)，应选(C)【知识模块】 多维随机变量及其分布3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其
10、分布律为F(x)=PX1+X2x=PX1=0PX1+X2xX 1=0+PX1=1PX1+X2xX 1=1 故选(D)【知识模块】 多维随机变量及其分布4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y=X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y，独立”与“X和 Y 不相关”二者等价故应选(D)虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布【知识模块】 多维随机变量及其分布5
11、 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取1，1，且 PX1X2=1=PX 1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=1=PX 1=1PX 2=1+PX1=1PX2=1 又 PX1=1，X 1X2=1=PX 1=1，X 2=1= 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故应选(A)【知识模块】 多维随机变量及其分布6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0=f(x，y)dxdy 故选(D)因 Pmax(X，Y)0=1Pmax(X，Y)0=1 一 PX0，Y0所以选项(A
12、)、(B)、(C)都不正确【知识模块】 多维随机变量及其分布7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题设，由于 X，Y 对称，(A)和(C) 会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当Xr 时，显然 fX(x)=0；当xr 时，有因此，X 和 Y 都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C) 而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)【知识模块】 多维随机变量及其分布二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX
13、=0PY=0= PZ=1=1 一 PZ=0= 于是Z 的分布律为【知识模块】 多维随机变量及其分布9 【正确答案】 【试题解析】 Z=X+Y，的可能取值为一 2，一 1，0，1，2由于 Pz=2 =PX+Y=2=Px=1，Y=3=Px=1PY=3于是 Z 的分布律为【知识模块】 多维随机变量及其分布10 【正确答案】 【试题解析】 由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且PX=i= ，i=1 ，2，3， 4条件概率 PY=2X=1=0，PY=2X=i= ，i=2 ，3 ，4根据全概率公式 PY=2= PX=iPY=2X=i=【知识模块】 多维随机变量及其分布11 【正确答案】
14、 【试题解析】 分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 多维随机变量及其分布12 【正确答案】 【试题解析】 PXY= dxdy【知识模块】 多维随机变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 () 依题意 PY=1= ，XN(0，1)且 X 与 Y相互独立，于是 Z=XY 的分布函数为 FZ(z)=PXYz=PY=1PXYz Y=1+PY=1PXYzY=1=PY=1P 一 XzY=1+PY=1PXz，Y=1=PY=1PX一 z+PY=1PXz即 Z=XY 服从标准正态分布，其概率密度为
15、 ()由于 V=X Y只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 FV()=P XYV=0；当 v0 时，F V()=P一vXYv=PY=1P一 vXYvY=1+PY=1P一 vXYvY=1=(v 一 1)+(v+1)一 1综上计算可得 由于FV()是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V 的概率密度为【试题解析】 由于 Y 为离散型随机变量，X 与 Y 独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度【知识模块】 多维随机变量及其分布14 【正确答案】 由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= ex dx=e2 ，即ZB(n，e 2 )，又 X 与 Y 独立，故 Y 与 Z 独立
16、， Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 T=Y+Z 的分布函数 FT(t)事实上，由于 Z=k=，所以，根据全概率公式可得 FT(t)=PY+Zt= PZ=kPY+ZtZ=k其中 p=e2 ，tR【知识模块】 多维随机变量及其分布15 【正确答案】 () 根据全概率公式有 FV(u)=PUu=PX+Yu= PX=mPX+YuX=m ()F V()=PVv=PXYv= Px=mPXYvX=m【知识模块】 多维随机变量及其分布16 【正确答案】 首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 Xi(i=1，2，3)之间的关系假设第 i 辆车加油时间为 Xi(i=1，2，3)，则 Xi 独立同
17、分布，且概率密度都为 依题意，第三辆车 C 在加油站等待加油时间 T=min(X1，X 2)，度过时间=等待时间+加油时间，即S=T+X3=min(X1，X 2)+X3()由于 T=min(X1，X 2)，其中 X1 与 X2 独立，所以 T的分布函数 FT(t)=Pmin(X1，X 2)t=1 一 Pmin(X1，X 2)t=1 一 PX1tPX2t T 的密度函数 fT(t)= 即 T=min(X1，X 2)服从参数为 2 的指数分布()S=T+X3=min(X1，X 2)+X3，T 与 X3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得 S 的概率密度为【知识模块】 多维随机变量及其分布17 【
18、正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)() 有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=iPY=j，i，j=0 ，1，PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2=016，PX=0，Y=1=PX=0PY=1=04.06=024，PX=1 ，Y=0=PX=1PY=0=06.0 4=024PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2=036( )不放回抽取，PX=i，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=0，1，由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为 06 的01
19、 分布，且当有放回抽取时 X 与 Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 多维随机变量及其分布18 【正确答案】 () 由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即a+b+c=04 由 EXY=012a06+0 2+3c=01 3c 一 2a=04 由 ，得 3a 一5c=07 联立 ， ，解方程组 得a=01，b=01，c=02()由(X，Y)的联合分布及 Z=X+Y，可知 Z 的取值为0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=1，Y=1=01，PZ=1=PX=0，Y=1+PX=1， Y=2=01+01=02，PZ=2=PX=0，Y=2+PX= 1，Y=3+P
20、X=1，Y=1=0 2+02=04PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1 ，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02，从而得 Z 的概率分布为()由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03，PZ=X=PX+Y=X=PY=0=( )=0【知识模块】 多维随机变量及其分布19 【正确答案】 ()(U ， V)是二维离散型随机变量，只取 (0，0)，(1 ，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXy，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X 2Y=PX2Y= 于是 (X，Y)的联合分布为 ()从()中分布表看
21、出EUV=PU=1，V=1=【知识模块】 多维随机变量及其分布20 【正确答案】 依题意，由于 f(x，y)fX(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 多维随机变量及其分布21 【正确答案】 () 易见，当 x (0，1) 时 f(x)=0；对于 0x1，有()事件“X 大于 Y”的概率()条件概率【知识模块】 多维随机变量及其分布22 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD=2，因此(X ，Y)的联合密度是根据公式 FYX (yx)= (FX(x)0)，当 x=0 时，有【知
22、识模块】 多维随机变量及其分布23 【正确答案】 应用矩阵法求解，由题设得由此即得：()Z=X Y 的概率分布()(U 1，V 1)的概率分布为()(U 2，V 2)的概率分布为U2V2 的概率分布为【知识模块】 多维随机变量及其分布24 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度()分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度 所以 U=XY 的分布函数为(如图 33) FU(u)=PXYu= f(x，y)dxdy当 u0 时，FU(u)=0；当 u1 时，F U(u)=1；当 0u1 时，()分布函数法由题设知 所以 y=X 一 Y的分布函数 FV()=P XY v当 v0 时，F V()=0 ；当 v0 时，F V()=PXY v=P一 vXYv= f(x，y)dxdy由图 34 知，当 v1时，F V()=1；当 0v1 时，其中 D=(x，y)：0x1，0y1，x 一 yv【知识模块】 多维随机变量及其分布25 【正确答案】 () 由 得 k1=1；又由得 k2=2因此(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【试题解析】 (X i，Y i)是二维连续型随机变量，在确定其联合概率密度中的未知参数时，应首先考虑用概率密度的性质【知识模块】 多维随机变量及其分布
