1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则 ( )（A）（B）（C） 1a3（D）2 设 则级数 ( )（A） 都收敛（B） 都发散（C） 发散（D） 收敛3 下列命题中正确的是 ( )（A）若 unv n(n=1，2，3，)，则（B）若 unn n(n=1，2，3，)，且（C）若（D）若 wnu nv n(n=1， 2，3，)，且4 下列命题中错误的是 ( )（A）若 必定收敛（B）若 必定发散（C）若 不一定发散（D）若 必定收敛5 对于级数 其中 un0(n=1，2，) ，则下列
2、命题正确的是 ( )（A）若 收敛，则必为条件收敛（B）若 为绝对收敛（C）若 必发散（D）若 必收敛6 下列结论正确的是（A） 在收敛域上必绝对收敛（B） 的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数（C）若 的收敛半径为 R，则其和函数 S(x)在(-R，R)内必可微（D） 都是幂级数7 设 则下列级数中一定收敛的是（A）（B）（C）（D）8 设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关9 展开成(x 一 3)幂级数的时候，其收敛区间为 ( )（A）(-1，1)（B） (-6，0)（C） (-3，3)（D）(0 ，6)10 设 f(x)=x+1(0x
3、1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）二、填空题11 设 a 为正常数，则级数 的敛散性为_12 设 a 为常数，若级数 收敛，则 =_13 级数 的和为_14 级数 的收敛域是_15 函数 展开成的(x 一 1)的幂级数为_16 设 f(x)=x+x2，一 x ，且周期为 T=2当 f(x)在一 ，) 上的傅里叶级数为 则 b3=_17 常数项级数 的敛散性为_18 幂级数 在收敛区间(一 a，a) 内的和函数 S(x)为_19 幂级数 的收敛域为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求 (a 为常数， 0a
4、e)21 求22 判别下列级数的敛散性(k1，a1) ：(1) (2) (3)23 判别级数 的敛散性24 判别级数 的敛散性25 判别级数 的敛散性26 判别级数 的敛散性27 证明：级数 条件收敛28 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 求函数项级数之和29 将函数 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间30 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和考研数学一（无穷级数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则当 n时，的敛散性相同，故 而由条件收敛可知 03
5、一 1，即 23 若使两个结论都成立，只有，故选 D【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以级数 是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此是等价无穷小，且调和级数发散，所以 发散，故选 C【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 wnv nv n，所以 0u n 一 wv n 一 wn又因为收敛，所以 收敛因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选 A；选项 B，C 将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明 B 不对，取级数 就可以说明 C 不对，选 D【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性
6、质知命题 A 正确由反证法可知命题 B 正确若设，这两个级数都发散，但是收敛，可知命题 C 正确，但命题 D 错误【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 B【试题解析】 因(一 1)n-1un=u n=u n，由绝对收敛，命题 B 正确A 错误：如【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数 在收敛域(一 R，R)的和函数性质可知，命题 C 正确A 错误：如 ，收敛域为(一 1，1，但在 x=1 处，条件收敛B 错误：因为可能 R=0 或 R=+D 错误：由幂级数的定义可知 不是幂级数【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 因 收敛，由正项级数的比较审敛法知
7、 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选 DA ，C 错，如B 错，如【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 A【试题解析】 因 收敛，因此【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 因【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 A【试题解析】 要得到以 2 为周期的余弦级数 f(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数F(x)因 x=0 时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理，余弦级数在 x=0 处收敛于 F(0)=f(0)=1故选 A【知识模块】 无穷级数二、填空题11 【正确答案】 发散【试题解析】 绝对收敛，所以原级数发散。【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 a【试题解析】 因级数【
8、知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (一 1，1【试题解析】 【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻二项加括号得新级数发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 1，3)【试题解析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 利用级数的收敛，求
9、数列极限或证明数列收敛若【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 由泰勒公式，(条件)收敛，故原级数发散【试题解析】 这是交错级数，但不易判别u nu n+1，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 的级别，需使用泰勒公式【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数 发散因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散【试题解析】 这是交错级数，易见：u0，但u nu n-1不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件，因为【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由题设条件知，函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fn(x)一fn(x)=xn-1ex，【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，【知识模块】 无穷级数
