1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0un ，则下列级数中一定收敛的是 ( )2 设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与口有关3 设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（A）1（B） -1（C） 0（D）4 级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛5 当x1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1-x)（B）（C） ln(x-1)（D）-ln(x-1)6 函数 展成余弦级数时，应对 f(x)进行 (
2、 )（A）周期为 2l 的延拓（B）偶延拓（C）周期为 l 的延拓（D）奇延拓7 函数项级数 的收敛域为 ( )（A）(-1，1)（B） (-1，0)（C） -1，0（D）-1，0)二、填空题8 幂级数 在收敛区间(-a，a) 内的和函数 S(x)为_9 幂级数 的收敛域为_10 若将 在0，2上展开成正弦级数，则该级数的和函数S(x)为_11 设 的敛散性为_12 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_13 幂级数 的收敛域为_14 ex 展开成 x-3 的幂级数为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求级数 的和函数16 设函数 f(x)是以 2 为周期的
3、周期函数，且 f(x)=eax(0x2)，其中 a0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 的和17 判断下列正项级数的敛散性：18 设 都是正项级数试证：19 设收敛20 试判断级数 的敛散性21 设 (1)求证：若 b1，则发散；(2)当 b=1 时，试举出可能收敛也可能发散的例子22 根据阿贝尔定理，已知 在某点 x1(x1x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：(1)若在 x1 处收敛，则收敛半径 Rx 1-x0；(2)若在 x1 处发散，则收敛半径 Rx 1-x0；(3)若在 1 处条件收敛，则收敛半径 R=x 1-x023 设幂级数 在 x=0 处收敛，在
4、x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径24 将 y=sinx 展开为 的幂级数25 将 f(x)= 展开为 x+1 的幂级数考研数学一（无穷级数）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 0un 收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D)(A) ，(C)错，如(B)错，如【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 A【试题解析】 因 01- 收敛，因此 绝对收敛【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 A【试题解析】 要得到以 2 为周期的余弦级数，f
5、(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数F(x)因 x=0 时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理，余弦级数在 x=0 处收敛于 F(0)=f(0)=1故选(A) 【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 C【试题解析】 设 un= 对于发散，故由比较审敛法的极限形式可知 发散而是单调递减数列，且极限显然为 0由莱布尼茨定理知， 收敛且为条件收敛【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 B【试题解析】 设 S(x)=【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在-l，l上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则 f(x)可在-l，l上的连续区间上展开成余弦级数故对0 ， l上的 f(
6、x)要进行偶延拓【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 因【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 记 S(x)=【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 1，3)【试题解析】 令 y=x-2，则可知-1x-2 收敛【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 S(x)=【试题解析】 根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)，【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 发散【试题解析】 由 发散【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解析】 级数 收敛等价于S n收敛对于正项级数 ，S n为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知
7、，单调递增数列S n收敛等价于S n有界( 或有上界 )【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 -1，1【试题解析】 为缺项级数，不能通过 求 R，可用比值审敛法求收敛半径 R具体为：当x 21，即x1 时，级数绝对收敛；当x 21，即x1 时，级数发散，故 R=1当 x=1 时，原级数收敛；当 x=-1 时，原级数 收敛，从而收敛区间为-1 ，1【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (-x+)【试题解析】 e x=e3+(x-3)=e3.ex-3，因【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设又 y(0)=1，y(0)=0于是得到如下微
8、分方程： 特征方程为 r2-1=0，r=1 ，得通解： y=C 1ex+C2e-x求导，得 y=C1ex-C2e-x将初值条件代入，解得 C1=C2=故【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 因此，由狄利克雷收敛定理知令 a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 (1)显然， 收敛，由比较审敛法得 收敛(2)因收敛(3)因又因发散【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由算术平均值不小于其几何平均值得，即数列u n有下界 1，由此又得 un+1-un=，即u n单调减少，则根据单调有界准则知极限 必存在，由u n
9、单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有因存在，则由级数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数收敛【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 由于该级数的通项，则题给的级数是交错级数，它可以改写为 因发散，由比较审敛法知发散，即题给的级数不是绝对收敛显然，数列u n 满足，则在 x2 时，f(x)=-，故 f(x)在2 ，+)内单调减少，从而数列u n 单调减少，于是，题给的级数 满足莱布尼茨定理的条件，故它是收敛的，且是条件收敛【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 (1)设 b1，任取 0，使得 b-1因为因 b-e1，所以收敛又假设 b1，任取 0，使得 b+1，因为【知识
10、模块】 无穷级数22 【正确答案】 根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的对于(3)，因幂级数在点 x1 处收敛，则 Rx-x 0；另一方面，因幂级数在点 x1 处条件收敛，则 Rx 1-x0 因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾，于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径 R=x 1-x0【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 令 t=x-b，收敛中心 x0=b 的幂级数 (x-b)n 化为收敛中心 t0=0的幂级数 根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为在 t=-b 处收敛，从而当t-b= b时，幂级数 绝对收敛由于t=b 处发散，进而当tb 时，幂级数 发散由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 的收敛半径 R= b，其收敛域为-bxb注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R=b【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 如果此题这样做：是行不通的改用“先积后导”的方法：【知识模块】 无穷级数
