1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 以下结论，错误的是 ( )（A）若 ，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B A)=1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB)B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 12 设 A，B 是任意两个事件，且 ，则必有 ( )（A）P(A)P(AB)（B） P(A)P(AB)（C） P(A)P(AB)（D）P(A)P(AB)3 设事件 A，B 满足 ，则下列结论中一定正确的是 ( )（A
2、） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)4 一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为 p2，则该零件加工的成品率为 ( )（A）1 一 p1 一 p2（B） 1 一 p1p2（C） 1 一 p1 一 p2+p1p2（D）(1 一 p1)+(1 一 p2)5 以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将C，C，E ，E，I，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 ；(
3、4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 P(A)=a， P(B)=b，P(A+B)=c，则 P(AB)= ( )（A）a 一 b（B） cb（C） a(1b)（D）a(1 一 c)7 设 0P(B)1，P(A 1)P(A2)0 且 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)，则下列等式成立的是 ( )（A）（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1A2)=P(A1B)+P(A 2B)（D）P(B)=P(A 1)P(BA 1)+
4、P(A2)P(BA 2)8 设 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A 1A2B)=0（B） P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A 2B)（C）（D）9 设 X1，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1(x)一 F2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1(x)F 2(x)10 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f2(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，
5、f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知，则 ( )（A）a=1 ，b=0（B）（C）（D）二、填空题11 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_12 事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 _13 设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为_14 设 A，B 是任意两个事件，则=_15 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取
6、两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_16 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_17 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功 ”不止一次的概率为 _18 设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_19 设随机变量 X 的分布函数为 则 A，B 的值依次为_20 设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)=4PX=2)，则 PX=3)=_21 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为则常数 k=_三、解答题解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤。21 设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：22 A=“某指定的五个盒子中各有一个球“ ；23 B=“每个盒子中最多只有一个球 ”；24 C=“某个指定的盒子不空 ”25 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率26 设 试证明：P(A)+P(B)一 P(C)127 设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相
8、互独立不能同时成立28 证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C 独立29 袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率30 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率31 有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 .甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?32 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(
9、每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?33 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率34 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 1 答案
10、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，因此 AB=A，而 0P(B)1，所以 P(A)=P(AB)=P(B)P(AB)P(AB)故选 A【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 用文氏图，如果 A，B 满足 则 相容，所以 A 错误如果A，B 满足 则 ，所以 B 错误由于 ，而 P(A)P(B)不一定为 0，所以 C 错误但是，P(AB)=P(A) 一 P(AB)=P(A)，故选择 D【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解
11、析】 设 A=“成品零件”，A i=“第 i 道工序为成品”，i=1，2P(A 1)=1 一p1，P(A 2)=1 一 p2，P(A)=P(A 1A2)=P(A1)P(A2)=(1 一 p1)(1 一 p2)=1p 1 一p2+p1p2故选 C【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=“他们的生日都不相同”，则 (2)设 A2=“至少有
12、两个人的生日在同一个月”，则考虑对立事件，(3)设 A3=“恰好排成 SCIENCE”，将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 C72 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两个位置，共有 C62 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3 1 种，故基本事件总数为C72C523!=1 260，而 A3 中的基本事件只有一个，故 (4)设A4=“最小号码为 5”，则 正确综上所述，有 3 个结论正确，选择C【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答
13、案】 B【试题解析】 P(A 1U A2B )=P(A 1B)+P(A 2B)一 P(A1A2B)=P(A 1B)+P(A2B)P(A 1A2B)=0P(A 1A2B)=0，P(A 1BUA2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)，故选 B【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2=，得 P(A1A2)=0，于是选 C【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由 ，知四个选项均满足这个
14、条件，所以再通过 确定正确选项，由于【知识模块】 概率与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 已知事件 A 与 B 独立，且【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 (1 一 a)(1-b)【试题解析】 1【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 A i 表示“第 i 次取的是次品”，i=1， 2则有由全概率公式得【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，设 X=“掷五次硬币，正面出现的次
15、数”，则X ，而 Y=5 一 X 为 5 次中反面出现的次数记 A=“正面、反面都至少出现两次”，则【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=“成功”，则 P(A)=p，X=“n 次试验中A 发生的次数”，则 XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 记 A=X2) ，Y=“对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数”【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 1，0【试题解析】 由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又于是，B=0，A=1【知识模块】
16、 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 PX1)=P(X=0)+PX=1)=e 一 1+e 一 ， 由 P(x1)=4P(X=2知 e 一 +e 一 =一 22e 一 ，即 22 一 一 1=0，解得 =1，故【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 因为 所以，【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 55个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5!个，所以【知识模块】 概率与数理统计23 【正
17、确答案】 事件 B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C105 种选法)，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法)，由乘法法则，事件 B 包含 C1055!个基本事件，所以【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球 ”，即“5 个球都放入其他 9 个盒子中” ，C 包含的基本事件数为 95，所以【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 设事件 Ai=“从 10 件产品中任取两件，有 i 件不合格品” ，i=0，1 ，2记 B=A1U A2，按题意，所求概率为 P(A2B)而【知识模块】 概率与数理统计26 【正确
18、答案】 因为 ，所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AUB)P(A)+P(B)-1，故 P(A)+P(B)-P(C)1【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 一方面，若 A、B 互不相容，则 AB=，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A、B 不相互独立；另一方面，若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是 AB，即 A、 B 不是互不相容的【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 P(A U B)C)=P(AC U BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)一 P(A)P(B)P(C)=P(A
19、)+P(B)一 P(AB)P(C)=P(A U B)P(C)，即 A U B 与 C 相互独立P(A 一 B)C)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)=P(A 一 B)P(C)，即 AB 与 C 相互独立【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 设 A=发现是同一颜色 ，B= 全是白色 ，C=全是黑色，则A=B+C，所求概率为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 设 A=从乙袋中取出的是白球 ，B=从甲袋中取出的两球恰有 i个白球 ，i=0，1，2由全概率公式【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 令 A=第 i 次命中目标 ，i=1，2，所以【
20、知识模块】 概率与数理统计32 【正确答案】 令 A=第 i 次中奖i=1，2，520 ，p=P 在一次购买彩票中中奖则事件 A1，A 2， ，A 520 相互独立，且 p=10-5所以【知识模块】 概率与数理统计33 【正确答案】 (1)该随机试验分为两个阶段：选入，A 甲 ，A 乙 ； 射击，B=目标被命中则(2)该随机试验不分阶段，【知识模块】 概率与数理统计34 【正确答案】 (1)设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件次品)(i=0，1，2)，则A0，A 1，A 2 构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设B=一次通过验收，则(2)由贝叶斯公式得【知识模块】 概率与数理统计
