1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有( )（A）如果 P(A)=0，则 P(B)=0（B）如果 P(A)=0，则 P(B)=1（C）如果 P(A)=1，则 P(B)=0（D）如果 P(A)=1，则 P(B)=12 对于任意两事件 A 和 B，若 P(AB)=0，则( )（A）（B）（C） P(A)P(B)=0（D）P(AB)=P(A)3 设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B|A)=1 不等价于( )（A）P(A 一 B)=0（B） P(B 一 A)=0（C）
2、 P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)4 对于任意两事件 A 和 B( )（A）若 B ，则 A，B 一定独立（B）若 AB ，则 A，B 有可能独立（C）若 AB= ，则 A，B 一定独立（D）若 AB= ，则 A， B 一定不独立5 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数( )（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点6 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 的指数分布，Y 的分布律为PY=1=PY=一 1= ，则 X+Y 的分布函数( )（A）是连续函数（B）恰有一个间断点的阶梯函数（C）恰有一个间
3、断点的非阶梯函数（D）至少有两个问断点7 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 均服从分布 B(1， )，则( )（A）X 1+X2 与 X3+X4 同分布（B） X1 一 X2 与 X3 一 X4 同分布（C） (X1，X 2)与(X 3，X 4)同分布（D）X 1，X 22，X 33，X 44 同分布8 设随机变量 已知 X 与 Y 的相关系数 =1，则PX=0，Y=1的值必为( )（A）0（B）（C）（D）19 已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)= ， D(X)=D(Y)=2，X 与 Y 的相关系数 0，则 X 与 Y( )（A）独立且有相同的分布（B）独立且有不同的
4、分布（C）不独立且有相同的分布（D）不独立且有不同的分布10 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n 一 1(n1)，根据大数定律，当 依概率收敛到零，只要X n：n1( )（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布11 设随机变量 Xt(n)(n1) ，Y= ，则( )（A）Y 2(n)（B） Y 2(n 一 1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n)12 设 为未知参数 的无偏一致估计，且 是 2 的( )（A）无偏一致估计（B）无偏非一致估计（C）非无偏一致估计（D）非无偏非一致估计二、填空题13 设工厂
5、A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 l和 2，现从由 A 和 B 的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 4 生产的概率是_14 已知 X 的概率密度 f(x)= ，aX+b N(0 ，1)(a0)，则常数A=_；a=_；b=_15 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X已知PX029=075，则满足 PYk=025 的常数 k=_16 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，已知 3PX15=2pX15，则P|X 一 1|2=_17 已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y) =
6、a(0a1) ，则 Pmin(X，Y)=_18 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，其中 X1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2服从正态分布 N(0， 2)，X 3 服从参数为 3 的泊松分布，则 D(X1 一 2X2+3X3)=_19 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0 一 1 分布，且 E(XY)= ，则 PX+Y1_20 设随机变量 X 概率分布为 PX=k= (k=0，1，2)，则 E(X2)=_21 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而22 设总体 X 的密度函数 S2 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 E(S2)=_23 已
7、知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，如果 =a+(23a)S2 是 的无偏估计，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(A B)， P(A)+P(B)，按由小到大的顺序排列，用符号联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求常数 A 及条件概率密度fY|X(y|x)26 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，如果 X 服从标准正态分布，Y 的概率分布为PY=一 1= (
8、)Z=XY 的概率密度 fZ(z)；()V=|XY| 的概率密度 fV()27 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相对独立，当出现 1 个不合格产品时即停机检修设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)28 设总体 X 服从伽玛分布： 其中参数0， 0如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，()求参数 与 的矩估计值；( )已知 =0，求参数 的最大似然估计值29 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计30 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态
9、分布 N(440，005 2)，某日测得 5 炉铁水的含碳量如下： 434 440 442 430 435 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否显著降低?(取显著性水平 =005)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)故应选 D不难证明选项A、B、C 不成立设 XN(0，1)，A=X0，B=X0，则 P(AB)=0，从而 A 项和 C 项不成立若 A 和 B 互为对立事
10、件， 故选项 B 也不成立【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 ，然而 P(BA)=P(B)一P(AB)，所以选项 B 正确容易验证其余三个选项与已知条件是等价的事实上，【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB 不能推得 P(AB)=P(A)P(B)，因此推不出 A、B 一定独立，排除选项 A若 AB= ，则 P(AB)=0，但 P(A)P(B)是否为零不能确定，因此选项C、D 也不正确，故选 B【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Y=minX，2= 所以 Y 的分布函数为计算得知 FY(y)只在 y=2 处
11、有一个间断点，应选D【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 依题意要通过确定 Z=X+Y 分布函数 FZ(z)有几个间断点来确定正确选项由于 FZ(z)在 Z=a 间断 FZ(a)一 FZ(a0)0 PZ=a0，因此可通过计算概率 PZ=a来确定正确选项根据全概率公式可知，对任意的 aRPX+Y=a=PX+Y=a，y=l+PX+y=a，Y=一 1=PX=a1，Y=1+PX=a+1，Y=一 1PX=a 一 1+PX=a+1=0，所以 X+Y 的分布函数是连续函数，选择 A【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案
12、】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，故 XN(， 2)，Y N(， 2)，即X 与 Y 有相同的分布，但是 0，所以 X 与 Y 不独立，选 C【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立，选项 A 缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B事实上，若 E(Xn)=，D(X n)=2 存在，则根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 因
13、Xt(n)，故根据 t 分布定义知 其中 UN(0 ，1)，V 2(n)于是 (F 分布定义)故选 C【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 C【试题解析】 根据无偏估计，一致估计概念，通过简单计算便可选出正确选项，事实上已知的无偏一致估计，选择 C【知识模块】 概率与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=抽到的产品为工厂 A 生产的，事件 B=抽到的产品为工厂 B 生产的 ，事件 C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(C|A)=0 01，P(C|B)=0 02，【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
14、 概率与数理统计15 【正确答案】 071【试题解析】 由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1 一 PX1 一 k=0 25，所以 PX1 一 k=1025=0 75又因 PX029=075，得 1 一k=029，即 k=071【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 06826【试题解析】 求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知 =2，需先求出 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 a【试题解析】 Pmax(X ， Y)=PX 1 3Y =PX+Py 一PX，Y= 一 Pmin(X，Y)=Pmin(X，Y)【知识模块】 概率
15、与数理统计18 【正确答案】 46【试题解析】 由题设可知，D(X 1)= =3，D(X 2)=22=4，D(X 3)=3，于是D(X1 一 2X2+3X3)=0(X1)+40(X2)+90(X3)=3+44+93=46【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 01 分布，可以列出(X，Y) 的联合分布如下：又已知 E(XY)= 即 P22= 从而 PX+Y1=P11+P12+P21=1 一 P22=【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 Xi 是一次伯努利试验结
16、果，X i 相互独立所以X1+X2+Xn 可以看成 n 次独立重复试验即【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 A、AB、AB 之间的所属关系为 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 根据概率密度的性质 一 +一 +f(x，y)dxdy=1 ，可知X 的边缘概率密度为【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 () 根据题意 且 X 与Y 相互独立，所以 Z=XY 的分布函数为即 Z=XY 服从标准正
17、态分布，所以其概率密度为【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 令 q=1 一 p，所以 X 的概率分布为 PX=k=qk 一1p，(k=1，2，)故 X 的数学期望为【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 () 伽玛分布的一阶和二阶原点矩分别为分别用样本的一阶原点矩的观测值 和二阶原点矩的观测值 作为上述两个等式的观测值，得 解上述方程组，并结合二阶中心矩的实际值 得到参数 与 的矩估计值()根据题意，当 =0 时，密度函数为两边同时取对数，并对参数 求导，令结果为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 设 E(X)=，D(X)= 2，则【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 根据题意，原假设和备择假设分别为H0：=440 ，H 1： 4 40根据已知数据计算得样本均值为 X=4362，选取的 统计量为 已知 0=440， 0=005，n=5，并将样本均值 =4362 代入得 显著性水平 =005，因此临界值为 Z=005 =1645因为 Z一 Z，所以拒绝原假设而接受备择假设，可以认为该日铁水含碳量的均值显著降低【知识模块】 概率与数理统计
