1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0P(C)1，且 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，则下列正确的是( )（A）P(A+B| )（B） P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)（C） P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)（D）P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)2 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 A+C 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）A+B 与 A+C 相互独立3 设随机
2、变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（A）F(x 2)（B） F(x)（C） 1F(x)（D）F(2x1)4 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=minX，Y的分布函数为( ) （A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=minFX(z)，F Y(z)（C） FZ(z)=11F X(z)1F Y(z)（D）F Z(z)=FY(z)5 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，12)，Y N(1 ，12)，则与Z=YX 同分布的随机变量是( )（A）XY（B） X+Y（C） X
3、2Y（D）Y2X6 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）1（B） 0（C） 12（D）1二、填空题7 设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 14，则 P(A)=_8 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 则P(X+2Y4)=_9 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_10 设 X1，X 2，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 P( )_11 设总体 XN(0，8) ，Y N(0
4、 ，2 2)，且 X1 及(Y 1，Y 2)分别为来自上述两个总体的样本，则 _12 设 XN(， 2)，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率14 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 Xi (i=1，2，3，4)，求 X= 的概率分布14 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)=1 3，i=1 ，2，3设随机变量
5、 U=maxX，Y，V=minX ，Y15 求二维随机变量(U，V)的联合分布；16 求 Z=UV 的分布；17 判断 U，V 是否相互独立?18 求 P(U=V)19 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值20 设 X1，X 9 为来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，令Y1=16(X 1+X6)，Y 2=13(X 7+X8+X9)，S 2=12 (X
6、iY 2)2，Z=证明：Zt(2)21 设总体 XU( 1， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，求 1， 2 的矩估计和最大似然估计22 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： S2=为参数 2 的无偏估计量22 设 100 件产品中有 10 件不合格，现从中任取 5 件进行检验，如果其中没有不合格产品，则这批产品被接受，否则被拒绝求：23 在任取 5 件产品中不合格产品件数 X 的数学期望和方差；24 这批产品被拒绝的概率25 某种元件使用寿命 XN(，10 2)
7、按照客户要求该元件使用寿命不能低于1000h，现从该批产品中随机抽取 25 件，其平均使用寿命为 =995，在显著性水平=005 下确定该批产品是否合格?考研数学一（概率统计）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)，因为 P(A+B|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)，所以 P(AB|C)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试
8、题解析】 在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0(x)1； (2)(x)单调不减；(3)(x)右连续；(4)()=0 ，(+)=1显然只有 F(2x1)满足条件，选 (D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=P(minX，Yz)=1P(minX，Yz) =1 P(Xz ，Yz)=1 P(Xz)P(Yz)
9、=11P(Xz)1P(Yz)=1 1F X(z)1F Y(z)，选(C) 【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 Z=Y X N(1，1)，因为 XYN(1，1)，X+YN(1，1)，X2YN(2，52) ， Y2XN(1 ，52)，所以选 (B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p) ，Y=nX B(n，1p)，E(X)=np，D(X)=np(1 P)，E(Y)=n(1 p)，D(Y)=np(1p)，Cov(X ，Y)=Cov(X，nX)=Cov(X，n)=Cov(X，X)，因为 Cov(X，n)=E(nX) E(n
10、)E(X)=nE(X)nE(X)=0，Cov(X，X)=D(X)=np(1 p)，所以 XY= =1，选(A)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 12【试题解析】 根据题意得 P(A B)=14，因为 P(A )=P(A)P(AB) ，P( B)=P(B) P(AB)，所以 P(A)=P(B)，再由独立得 P(A)=P2(A)=14，解得 P(A)=1 2【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 046587【试题解析】 P(X+2Y4)=P(Y=1)P(X42Y|Y=1)+P(Y=2)P(X42Y|Y=2)+P(Y=3)P(X42Y|Y=3)【知识模块】 概率统计9 【正确答案】
11、 5【试题解析】 X 的分布律为 P(X=k)=0208 k 1，k=1 ，2，【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 08413【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 【试题解析】 18X 12 2(1)，14(Y 12+Y22) 2(2)，【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 036【试题解析】 在 2 已知的情况下， 的置信区间为 ( )，其中z2 =196于是有 2=036【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设 A1=甲数为 5，A 2=甲数为 10，A 3=甲数为 15，B=甲数大于乙数 ， P(A1)=P
12、(A2)=P(A3)=13，P(B|A 1)=414，P(B|A 2)=914，P(B|A 3)=1， 则 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=914【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 =X1X4X 2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且 U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为1，0，1P(X= 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=01344，P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01344，
13、P(X=0)=120 1344=07312，于是【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)19，i=1，2，3；P(U=2，V=1)=P(X=2 ，Y=1)+P(X=1，Y=2)=29； P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)=29；P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)=2 9；P(U=1，V=2)=P(U=1 ，V=3)=P(U=2 ，V=3)=0所以 (U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 P(Z
14、=1)=P(W=1)=P(U=1，V=1)=19；P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)=2 9；P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)+P(U=3，V=1)=2 9；P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)=1 9；P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)=2 9；P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)=1 9。所以Z 的分布律为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)=19，P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1
15、)+P(X=1 ，Y=2)+P(X=1 ，Y=3)=5 9 而 P(U=1)P(V=1)= P(U=1，V=1)=1 9，所以 U，V 不相互独立【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 (U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)=13【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有 R因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 故 E(R)=1020dy10y500(x+y)dx+1020dyy201000y dx= +7500141667(元)【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 Y
16、1N(， 26)，Y 2N( ， 23)，2S 2 2 2(2)，则Y1Y 2N(0， 22) 与 2S2 2 相互独立，由 t 分布的定义得【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 (2)f(x； 1， 2)L(x1，x 2，x n； 1， 2)lnL(1， 2)=nln( 2 1)，而1 xi因为 lnL(1， 2)是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 令 S12= 因为 E(S12)=E(S22)=2，即 S2=)2为参数 2 的无偏估计量【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ，4，5，其分布律为 P(X=i)i=0，1，2，3， 4，5则 E(X)= iP(X=i)=05025，D(X)=E(X 2)E(X) 2=04410【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 这批产品被拒绝的概率为 P(X1)=1P(X=0)=0417【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 令 H0：1000，H 1： 1000因为总体方差已知，所以选取统计量 左临界点为z 005 =1645，因为所以拒绝 H0，即该批产品不合格【知识模块】 概率统计
