1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X2Y的方差是（A）8（B） 16（C） 28（D）442 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 X Y 与 X Y 不相关的充分必要条件为（A）E(X)E(Y)（B） E(X2) E(X)2E(Y 2)E(Y) 2（C） E(X2) E(Y2)（D）E(X 2)EE(X) 2E(Y 2)EE(Y) 23 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向
2、上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）1（B） 0（C）（D）14 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差 20，令Y ，则（A）cov(X 1，Y)（B） cov(X1，Y) 2（C） D(X1Y) 2（D）D(X 1Y) 25 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X()，f Y(y)分别表示X，Y 的概率密度，则在 Yy 的条件下，X 的条件概率密度 fXY (y)为（A）f X()（B） fY(y)（C） fX()fY(y)（D）6 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY1，则（A）PY2X11（B） P
3、Y 2X11（C） PY 2X11（D）PY2X117 设随机变量 X 的分布函数为 F()03()07( )，其中 ()为标准正态分布的分布函数，则 EX（A）0（B） 03（C） 07（D）1二、填空题8 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 f() 则EX_，DX_9 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且随机变量 Z3X2，则EZ_10 设随机变量 X 服从均值为 2、方差为 2 的正态分布且 P2X403，则，PX0_11 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 E(Xe 2X)_12 设 X 表示 10 次独立重复射击命中日标的次数。每次射中日标的概率为04则 E
4、(X2)_13 设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0， )的随机变量，则F( ) _14 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX _15 设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则 PXEX 2_16 设随机变量 X 的概率分布为 PXk ，k01，2，则EX2_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设随机变量 X 与 Y 独立H XN(12)，YN(0，1)，试求随机变量Z2X Y3 的概率密度函数18 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0 1， y 内服从均匀分布，求笑于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z2X1 的方差 DZ19 设随机变量 X 的
5、概率密度为 f() e-， (1)求 EX 和 DX； (2)求X 与X的协方差，并问 X 与X是否不相关? (3)问 X 与X 是否相互独立?为什么?20 已知随机变量 XN(1，3 2)YN(0 ，4 2)而(X，Y)服从二维正态分布且 X 与Y 的相关系数 XY ，设 Z (1)求 EZ 和 DZ； (2) 求 X 与 Z 的相关系数 XZ； (3)间 X 与 Z 是否相互独立?为什么?21 设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为，P(i) ，i1，2，3 ，又设 Xmax(，)，Ymin(，) (1)写出二维随机变量(X，Y) 的分布律； (2)求 EX22
6、从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 X 为途巾遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望23 设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 的正态分布，求XY的方差24 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 的次数，求 Y2 的数学期望25 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放人乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数 X 的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是
7、次品的概率26 设 A，B 为随机事件，且 P(A) ，P(BA) ，P(AB) ，令求()二维随机变量(X，Y) 的概率分布； ()X 与 Y 的相关系数 (X，Y) 27 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 PX2Y 21 ()求二维随机变量(X，Y) 的概率分布； () 求 ZXY 的概率分布； ()求 X 与 Y 的相关系数 XY考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 DX4，DY2，且 X 与 Y 独立，故 D(3X2Y)9DX4DY944244【知识模
8、块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 cov( ，)cov(XY，XY) DXDYEX 2(EX) 2EY 2(EY) 2 而“cov(，)0”等价于“ 与 不相关”，故选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 XYn， Yn X 故 DYD(nX) DX，cov(X，Y)cov(X，nX) cov(X，X)DX X 和 Y 的相关系数 XY1【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由(X，Y) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，故 X 与 Y 独立， (X，Y)的概
9、率密度 f(，y) f X().fY(y)， (，y) R2 得 fXY (y)f X() 故选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 如果选项 A 或 C 成立，则应 XY 1，矛盾；如果选项 B 成立，那么 EY2EX11，与本题中中 EY1 矛盾只有选项 D 成立时，XY1 ，EY2EX11，DY4DX4，符合题意，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 1； 【试题解析】 f() ， R1 可见 XN(1 ， )，故EX1，DX 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 4【试
10、题解析】 EX 2， EZE(3X2)3EX232 24【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 02【试题解析】 XN(2， 2)， N(0，1) 03P(2X4)05 ( )08 故P(X0) 10802【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的密度为： 且知 EX1 Ee-2X e-2f()d 0 e-2.e-d 故 E(Xe -2X)EX Ee -2X1【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 184【试题解析】 由题意得：XB(10，04)，EX,10044 DX1004(104)24 所以 EX2DX(EX) 2244 2184【
11、知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 由 EX2DX(EX) 211 22，故 PXEX 2)PX2【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2【试题解析】 由 e ，( ，) 得 e(取 1 即得)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 EX1，DX2，EY0，DY1 EZE(2XY3)2EX EY 321 0 35 DZD(2XY3)4DXDY4219 由正态分布的性质知：ZN(5，9) 故 Z 的概
12、率密度为：f(z) ， z R1【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 D 的面积(见图 46)为 2 121 (X，Y) 的概率密度为：关于 X 的边缘概率密度 fX() (，y)dy 当0或 1时， fX()0； 当 01 时，f X() 1dy2 故 fX()EX f()d 01.2d 故EX2 2f()d 012.2d DXEX 2(EX) 2故 DZD(2X1)4DX 4【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 本题出现的积分，可验证均收敛 (1)EX f()d .e d0 而 EX2 2f()d 2. e d 0 2e-d 2e- 0 2 0 ed2 e - 0
13、0 ed 2.(e - 0 )2 DXEX 2(EX) 220 22 (2) EX0，EX存在，故 cov(X，X )E(XX )EX.E XE(XX) f()d . e d0 故可见 X 与X不相关 (3)P(X1) 1f()d 1 e d1 1 ed1 又 P(X1) -11f()d -11 e d 01ed0 故 P(X1，X1)P( X 1)P( X1)P(X1) 可见 X 与X不独立【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 (1)显然 EX1，DX9，EY 0 ，DY16 而 cov(X，Y) XY.6故 PXZ (3)由 XZ0，知 X 与 Z 不相关 又且 N，故 N(.
14、) 故知 X 与 Z 相互互独立【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)(X， Y)的分布律见下表 (2)由(X Y)的分布律可得关 X 的边缘分布律为：X： 故 EX1【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意，XB(3， ) 故 EX3 及 P(Xk)C 3k.，k0，1，2，3 可写成： 分布函数 F() P(X) 当 0 时，F()0 当 01 时，F()PX0 当 12 时，F() P(X0) P(X 1) 当 23 时，F()P(X0)P(X1)P(X2) 当 3时，F()1，故【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 记 X Y 由 XN(0
15、 ， )， YN(0 ， )，及E0，DDXDY1 知 N(0 ，1) EX YE E() 2E 2D (E)210 21 故 D(XY)D E() 2E 21【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因为故YB(4， )，得 EY4 2，DY4 (1 )1 所以 EY2DY(EY)212 25【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)X 可能取的值为 0，1，2，3 可算得： PXk ，k0，1，2，3 或写成故 E(X)0(2)记 A从乙箱中任取一件产品是次品，由全概率公式得： P(A) P(AXk)P(Xk) 0【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ，
16、P(AB)， 又 ，P(B)2P(AB)2 ()P(X1，Y1)P(AB) ， P(X0，Y1)P( B)P(B)P(AB) ， P(X1，Y0)P(A )P(A)P(AB) ， P(X0，Y0)P( )1P(AB)1P(A)P(B) P(AB) 1故(X，Y)的概率分布为：()由() 易得关于 X、Y 的概率分布(列)分别为：故：EX ，E(X 2) ，DXE(X 2)(EX) 2 ， EY ，DYE(Y 2)(EY) 2而由(X，Y)的概率分布可得：【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 由 P(X2Y 2)1，可得： P(X 0，Y1)P(X1，Y0)P(X0，Y1)0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，Y)的联合(含边缘) 分布列如表所示()由(X，Y) 的联合分布列易知 ZXY 可能取的值为1，0，1，易得： ()由(X ， Y)的分布 (及 X，Y 的分布)，易知：E(XY)0(1)000 0101( 1) 10011 0 而 E(X2)0 2， E(Y) 2( 1) 2 ， DXE(X 2)(EX) 2 ， DYE(Y 2)(EY) 2 ， 故 XY 0【知识模块】 概率论与数理统计
