1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (99 年 )设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则2 (02 年 )设 X1 和 X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则（A）f 1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度（B） f1(x).f2(x)必为某一随机变量的概率密度（C） F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x).F2(x)必为
2、某一随机变量的分布函数3 (04 年 )设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1) ，对给定的 (0，1)，数 u满足PXu =，若 P|X|x=，则 x 等于4 (05 年 )设二维随机变量 (X，Y) 的概率分布为已知随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则（A）a=0 2 ，b=03（B） a=0.4，b=01（C） a=03，b=02（D）a=0 1 ，b=045 (06 年 )设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，Y 服从正态分布 N(2， 22)，且 P|X 一 1|1P(|Y 一 2|1 则必有（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 26 (08 年 )设随
3、机变量 X， Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则Z=maxX，Y的分布函数为（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C） 1 一1 一 F(x)2（D）1 一 F(x)1 一 F(y)7 (09 年 )设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= 记 FZ(z)为随机变量 Z=XY 的分布函数，则函数 FZ(z)的间断点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (10 年 )设随机变量 X 的分布函数 F(x)= ，则 PX=1=9 (10 年 )设 f1(x)为标准正态分布的概率密度， f2(x)为一
4、 1，3上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4（C） a+b=1（D）a+b=210 (11 年) 设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（A）f 1(x)f2(x)。（B） 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)11 (12 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P(XY)=12 (13 年) 设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N
5、(0，1)，X 2N(0，2 2)，X3N(5 ，3 2)，p i=P-2Xi2(i=1，2，3)，则（A）p 1p 2p 3（B） p2p 1p 3（C） p3p 1p 2（D）p 1p 3p 2二、填空题13 (93 年) 设随机变量 X 服从 (0，2) 上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率分布密度 fY(y)=_14 (94 年) 设相互独立的两个随机变量 X 与 Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为则随机变量 Z=maxX，Y) 的分布律为_15 (95 年) 设 X 和 Y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= PX0=PY0= 则Pmax(X，y)0=_16
6、(98 年) 设平面区域 D 由曲线 y= 及直线 y=0，x=1，x=e 2 所围成，二维随机变量(X ， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为_.17 (99 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处18 (02 年) 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)( 0)，且二次方程 y2+4y+X=0 无实根的概率为 ，则 =_19 (03 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为则 PX+Y1=_20 (05 年
7、) 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2=_21 (06 年) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_22 (13 年) 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布， a 为常数且大于零，则PYa+1|Ya=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 (95 年) 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX的概率密度 fY(y)24 (01 年) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互
8、独立以 Y 表示在中途下车的人数，求(1)在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；(2)二维随机变量 (X，Y)的概率分布25 (05 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为求：(I)(X，Y) 的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；()Z=2X Y 的概率密度 fZ(z)26 (06 年) 设随机变量 X 的概率密度为 令Y=X2，F(x ， y)为二维随机变量 (X，Y)的分布函数求 (I)Y 的概率密度 fY(y)；27 (07 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为(I)求 PX2Y)； ()求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(z)28 (08 年) 设
9、随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布 PX=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 fY(y)= 记Z=X+Y ()求 Z 的概率密度 fZ(z)29 (09 年) 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数(I)求 PX=1 | Z=0；()求二维随机变量 (X， Y)的概率分布30 (10 年) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为 一x+，一y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每
10、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 Z 的分布函数 FZ(x)=PZx=Pmax(X，Y)x=PXx，Yx=PXx).PYx=F2(x)，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【知识模
11、块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 F1(x)=f1(x)，F 2(x)=f2(x)，且 F1(x)F2(x)为分布函数，那么F1(x)F2(x)=f1(x)F2(x)+F1(x)f2(x)为概率密度，故选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正
12、确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 4【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 1e -1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 Y 的分布函数 FY(y)=P(Yy)=P(eXy)当 y0 时，F Y(y)=0f Y(y)=FY(y)=0 当 y0 时，F Y(y)=P(Xlny)=-lnyfX(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】
13、由贝努里概型知(1)所求概率为 P(Y=m | X=n)=Cnmpm(1 一 p)n-m (m=0，1，n)(2)P(X=n，Y=m)=P(Y=m | X=n)P(X=n)=Cnmpm(1 一 p)n-m. m=0，1，n； n=0，1，2，【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)f X(x)=-+f(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X(x)=0；当 0x1 时，fX(x)=02x1dy=2x，故 当 y0 或 y2 时，f Y(y)=0；()Z 的分布函数为：F Z(z)=PZz)=P2XYz= 当 即z2 时， FZ【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】
14、 (I)Y 的分布函数为： FY(y)=P(Yy)=P(X2y) y0，F y(y)=0，f Y(y)=FY(y)=0【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()fZ(z)=-+f(x,zx)dx于是，f Z(z)=01f(x，zx)dx z 0 时，f Z(z)=0；0z1 时，f Z(z)=0z(2 一 z)dx=z(2 一 z) 1z2时，f Z(z)=z-1【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 Z 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 ()X 和 Y可能取得值均为：0，1，2得：【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为：当一x+时，【知识模块】 概率论与数理统计
