1、考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(BA)P(B )，则必有（A）P(AB)P( B)（B） P(AB)P( B)（C） P(AB)P(A)P(B) （D）P(AB)P(A)P(B) 2 设 A，B 为随机事件，且(B)0，P(AB)1则比有（A）P(AB) p(A)（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)P(A)（D）P(AB) (B) 3 某人向同一目标独立重复射击，每次射出命中目标的概率为 P(0p1) ，则此人第 4 次射击恰好
2、第 2 次命中目标的概率为（A）3p(1 p) 2（B） 6p(1p) 2（C） 3p2(1p) 2（D）6p 2(1p) 24 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)05，P(AB)03，则 P(BA)（A）01（B） 02（C） 03（D）045 若 A，B 为任意两个随机事件，则（A）P(AB)P(A)P(B) （B） P(AB)P(A)P(B)（C） P(AB)（D）P(AB)6 设 A，B 为随机事件若 0P(A)1，0p(B)1，则 P(AB)P(A )的充分必要条件是（A）P(BA)(B )（B） P(BA) P(B )（C） P( A)P(B )（D）P( A)P(BA
3、)二、填空题7 设在一次试验中 A 发生的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为_；而事件 A 至多发生一次的概率为 _8 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1 个球，这个球为白球的概率等于_已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为_9 设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等若已知 A 至少出现一次的概率等于 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为_ 10 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则事件“ 两数之和小于 ”的概率
4、为_11 已知随机事件 A 的概率 P(A)05，随机事件 B 的概率 P(B)06 及条件概率 P(BA)08，则和事件 AB 的概率 P(AB)_12 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 06 和 05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_13 设随机事件 A，B 及其和事件 AB 的概率分别是 04，03 和 06若 表示 B 的对立事件，那么积事件 AB 的概率 P(AB)_14 随机地向半圆 0y (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比则原点与该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_15 已知 P(A)P(B)P(C) ，P(AB
5、)0，P(AC)P(BC) ，则事件 A、B、C全不发生的概率为_16 一批产品有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_17 已知 A、B 两个事件满足条件 P(AB)P( )，且 P(A)p，则 P(B)_18 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 厂和 B 厂的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A 厂生产的概率是_19 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球今有两人依次随机地从袋中各取一 3 求，取后不放回，则第 2 个人取得黄球的概率
6、是_20 设两两相互独立的三事件 A，B 和 c 满足条件：ABC ，P(A)P(B) P(C)，一且已知 P(ABC) ，则 P(A)_ 21 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的慨率相等，则 P(A)_22 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为_23 设 A，B，C 是随机事件件， A 与 C 互不相容，P(AB) ，P(C) ，则P(AB )_24 设随机事件 A 与 B 相互独立，A 与 C 相互独立，BC 若 P(A)(B) ，P(ACAB C) 则 P(C)_三、解答题解答应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤。25 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(，y)A ， ， y 求常数 A 及条件概率密度fY X(y)26 设随机变量 X 的概率密度为 f() 令随机变量 Y() 求 y 的分布函数； () 求概率 PXY27 设二维随机变量(X，Y)在区域 D( y) 0 1， 2y )上服从均匀分布，令 U ()写出(X，Y) 的概率密度； ()问 U 与 X 是否相互独立?并说明理由； ()求 ZUX 的分布函数 F(z)考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
8、C【试题解析】 由 P(BA)P(B )，得 化简得 P(AB) P(A)P(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由 1P(A B) ，得 P(B)P(AB) 故 P(AB)P(A) (B)P(AB)P(A)选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 P第 1 次射击恰好第 2 次命中口标P前 3 次射击恰中 1 枪，第 4次射击命中目标 P 前 3 次射击恰中 1 枪.P第 4 次射击命中日标 C 31p(1p)2.p3p 2(1p) 2【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 独立， P(AB)P(
9、A)P(B) 故 03P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B) P(A)1 P(B)P(A)(105) 05(P(A) 得 P(A)06， P(BA) P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)05060 502【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB A，AB B 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B) ，两式相加即得： P(AB) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 P(A B) P(AB)P(A)P(B) 而选项(A) P(AB)P(A)P(B)，可见选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】
10、 1(1p) n；(1P) nnp(1P) n-1【试题解析】 由贝努里概型的概率计算公式，A 至少发生一次的慨率为 1P(A 发乍 0 次)1C n0(1p) n-p1(1P) n 而 P(A 至多发生 1 次)P(A 发生 O 次)P(A 恰发生 1 次) C n0p0(1p) n-cC n1p1(1p) n-1 (1p) nnp(1p) n-1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 A i(取的是第 i 个箱子)，i1，2，3 B(从箱中取出的是白球) 则 P(A1)P(A 2)P(A 3) ，P(BA 1) ，P(B A 2) ，P(B A 3) 第一问由全概率公
11、式： P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)P(A 3)P(BA 3) 第二问由贝叶斯公式：【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 设在每次试验中 A 出现的概率为 p则， P(A 至少出现 1 次)1P(A 出现 0 次)1C 30p0(1p) 3-01(1p) 3，解得 p 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 068【试题解析】 设这两个数为 和 y，则(，y)的取值范围为图 41 中正方形 G，那么“两数之和 ，”即“y ”使(，y)的取值范围为图 41 中阴影部分D本题为等概型几何概率题，所求概率为 p 而 G 的面积为 1，D
12、 的面积为 1 08 2068故 p068【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 07【试题解析】 由 08P(BA) ，得 P(AB)08P(A)080 504故 P(AB)P(A)P(B) P(AB)05060407【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 075【试题解析】 记 A(甲命中目标)，B(乙命中门标 )，C(目标被命中)则由题意知： P(A)06，P(B)05，A 与 B 独立且 CA B，ACA 故 P(C)P(AB)P(A)P(B) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)0605060508 所求概率为 P(AC) 075【知识模块】 概率论与数
13、理统计13 【正确答案】 03【试题解析】 由已知得： 06P(AB)P(A)P(B) P(AB)0403P(AB) 得 P(AB)01 故 P(A ) P(AB)P(A)P(AB)040103【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 记图 42 中半圆区域为 G，阴影部分区域为 D，面积分别记为SG，和 SD，则 S G ，S D 所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 ABC AB， 0P(ABC)P(AB)0，P(ABC)0 所求概率为 P()1P(A BC) 1P(A)P(B)P(C)P(AB)一 P(AC)P(BC)(ABC)
14、1 30 20【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 记 Ai(第 i 次取得次品)，i1，2 则由已知得由全概率公式得： P(A 2)P(A 1)P(A2A 1)P( )P(A2) 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 1p【试题解析】 由 P(AB)P( )1P(AB) 1P(A)P(B)P(AB) 1PP(B) P(AB) 故 P(B)1p【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 记 C(取的产品是 A 厂生产的)，D(取的是次品)由题意知：P(C)06，P( )04，P(DC)001，P(D )002故【知识模块】 概率论与数理
15、统计19 【正确答案】 【试题解析】 记 Ai(第 i 人取得黄球)，i1，2则有 故P(A2)P(A 1)P(A2A 1)P( )P(A2 ) 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 知知：P(ABC)0 P(AB) P(A)P(B)，P(AC) P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C) 若记 P(A)，可得 P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC)P(BC) P(ABC) 33 2 解得 (由题意，舍去)和 ，故 P(A) 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 题意得，P(A )( B) 得 P(A)P(AB)P(
16、B) P(AB) P(A)P(B) 1P(AB)1P(A) P(B)P(AB) 12P(A)P(A)2 解得 P(A) (另一个解 1，舍去)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数分别为 ，y，则二维点(，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(而积为 1)而符合要求(即题中“两数之差的绝对值 ”)的点集合(，y)：01，0y1，y 为图中阴影部分 G，而 G 的面积为 故所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【试题解析】 AC ，A ，得 P(AB )P(AB) ， 又 P( )1P(C) ，故【知识模块】 概率论与数理统计24 【
17、正确答案】 【试题解析】 解得P(C)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为：得：1 fX()d A 故 A 当时，【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()Y 的分布函数为 FY(y)P(Yy) Y1 时，F Y(y)0； y2 时，FY(y)1； 1Y2 时， F Y(y)P(YyX1)P(X1)P(Yy1X 2)P(1X2)P(YyX2)P(X2) 而 P(YyX1)P(2yX1)0，P(YyX2)P(1yX2)1， P(Yy1X 2)P(Xy1X2)代入得 FY(y)P(1 Xy) P(
18、X 2) 故 Fy(y) ()P(XY)P(XYX1)P(X1)P(Xy1X2)P(1X 2)P(XYX2)P(X2) 而P(XYX1)P(X2 X1) 1， P(XY1X2)P(XX1 X2) 1， P(XY X2)P(X1X2) 0， 代入得 P(XY)P(X1)P(1X2)P(X2)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 区域 D 如图(a)，面积为 ，由题意，(X，Y) 的概率密度为()由题意， P(U0)P(U0)P(XY)D1见图(b)，G 见图 (c)，G 1 见图(d) 可见， 故 U 与 X 不独立 ( )F(z)P(Zz)P(UXz)P(UXz，U 0)P(UXz，U1)P(Xz，XY) P(Xz 1，XY) 可见，z 0 时，F(z)0； z2 时，P(Xz，XY) P(X Y)，P(Xz1，XY) P(XY) 所以 F(z)P(XY)P(XY)1； 0z1 时，由1z10，知 P(Xz1，XY)0， 而P(Xz，XY) ， G2 见图(e) 故 F(z) 3z2z 3； 1z 2 时，P(X2，XY) P(XY) ， 这时 0z11，有 P(Xz1，XY)， G3 见图(f) 所以 F(z)【知识模块】 概率论与数理统计
