1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列事件中与 A 互不相容的事件是( )2 设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是( )3 A，B，C 三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件( )（A）A，B，C 两两独立。（B） P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。（C） P(A-B)=1。（D）P(A-8)=0。4 连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 则其中的常数 a 和 b 为( )（A）a=1 ，b=1。（B） a=1，b=-1。（C） a=-1，b=
2、1。（D）a=0 ，b=1。5 设随机变量 XN(，4 2)，YN( ，5 2)；记 p1=PX-4，p 2=PY+5，则( )（A）p 1=p2。（B） p1p 2。（C） p1p 2。（D）因 未知，无法比较 p1 与 p2 的大小。6 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )7 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X-1)(X-2)=1，则 =( )8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且方差 D(X)0，D(Y)0，则( )（A）X 与 X+Y 一定相关。（B） X 与 X+Y 一定不相关。（C） X 与 XY 一定相
3、关。（D）X 与 XY 一定不相关。9 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n-X2n-1(n1)，根据大数定律，当n时 依概率收敛到零，只要X n：n( )（A）数学期望存在。（B）有相同的数学期望与方差。（C）服从同一离散型分布。（D）服从同一连续型分布。10 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X 2，X 10 是取自总体 X 的简单随机样本，统计量 (1i10)服从 F 分布，则 i 等于( )（A）5。（B） 4。（C） 3。（D）2。11 设 X1，X 2，X 3 是取自 XP()的简单随机样本，则可以构造参数 2 的无偏估计量( )二、填空题12 若在
4、区间(0，1) 上随机地取两个数 u，v，则关于 x 的一元二次方程 x2-2vx+u=0有实根的概率为_。13 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A 和 8 的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A 厂生产的概率是_。14 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P-1X1= ，则 a=_，b=_ 。15 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布， 则PX+Y=0=_； =_。16 设平面区域 D 由曲线 y= 及直线 y=0，x=1，x=e 2 所围成，二维随机变量(X， Y)在区域 D 上服从均匀分布，则 (X，Y)关于 X
5、 的边缘概率密度在 x=处的值为_。17 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为则 X2 和 Y2 的协方差 Cov(X2，Y 2)=_。18 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)，如果随机变量 Y=X1X2X3 的方差 D(Y)= ，则 2=_。19 设总体 X 的密度函数 又 ，S 2 分别为取自总体 X容量为 n 的样本的均值和方差，则 =_； =_；E(S 2)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)= 求：()常数 A；()X 的密度函数 f(x)；()21 设随机变量 X 的
6、概率密度为 f(x)= 令随机变量()求 Y 的分布函数；()求概率 PXY。22 设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= ，i=1，2， 3。又设 X=max(，)，Y=min( ，)。()写出二维随机变量的分布律： ()求随机变量X 的数学期望 E(X)。23 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒。记 X 为 1 号邮筒内信的数目，Y 为有信的邮筒数目。求：()(X，Y) 的联合概率分布；()Y 的边缘分布；()在 X=0 的条件下，关于 Y 的条件分布。24 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求 PX2Y；()求 Z=X+Y 的概
7、率密度。25 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在从中随机抽取一件，记 试求：()随机变量 X1与 X2 的联合分布；() 随机变量 X1 和 X2 的相关系数 。26 设总体 X 的分布函数为 其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： () 的矩估计量； () 的最大似然估计量。27 设总体 X 的概率分布为其中 0(0，1)未知，以 Ni(i=1，2，3)表示取自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数，试求常数 a1，a 2，a 3 使 为 的无偏估计量，并求 T 的方差。考研数学一（概
8、率论与数理统计）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，不可能事件 与任何一个事件 A 都相互不相容，即综上分析，选项D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 0P(A)1，0P(B) 1，所以 A 与 B 相互独立，正确选项是 C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 当 P(A-B)=1 成立时， ，得 P(A)=1。同理， =1，故 P(B)=0。再由多个事件相互独立的条件，易知 A，B，C相互独立。【知识模块】 概率论与数理统计4 【
9、正确答案】 B【试题解析】 (a+be-x)=a=1。F(x)为连续型随机变量 X 的分布，故 F(x)必连续，那么 F(x)在 x=0 连续。所以 ，即 a+b=0，b=-1，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 p 1=PX-4= =(一 1)=1-(1)，p 2=PY+5=1-PY+5= =1-(1)。 计算得知 p1=p2，故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 P1max(X，Y)2=Pmax(X ，Y)2-Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2-PX1，Y1 =PX2PY2-PX1PY1故选项 C
10、正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 因 X 服从参数为 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=。则 E(X-1)(X-2)=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2， 其中 E(X 2)=D(X)+E(X)2=+2， 代入得 2-2+1=0，故 =1。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 A【试题解析】 直接根据计算协方差来判断，已知 X 与 Y 独立，故 Cov(X，Y)=0， Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Cov(X，Y)=D(X) 0。 所以 X 与 X+Y 一定相关，应选 A。 又由于 Cov(X，XY)=E(X 2Y)-E
11、(X).E(XY) =E(X2).E(Y)-(EX)2.E(Y) =E(X2)-E2(X)E(Y) 故选项 C、D 有时成立，有时不成立。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立。选项 A 缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E(Xn)=，D(X n)=2 存在，则根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，统计量 YF(m，n)，所以 ，解得 i=2，选择 D。【知识模块】 概率
12、论与数理统计11 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=“方程 x2-2vx+u=0 有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D 内的点一一对应(如图 3-1-3 所示)，其中D：(u，v) 0u 1，0 v1。事件 A=(u，v)(2v) 2-4u0，(u ，v) D，阴影D1 满足事件 A，其中 D1=(u，v)v 2u，0u，v1。利用几何型概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=抽到的产品为工厂 A 生产的，事件 B=
13、抽到的产品为工厂 B 生产的 ，事件 C=抽到的产品是次品，则 P(A)=06，P(B)=04，P(CA)=0 01，P(CB)=002， 根据贝叶斯公式可知【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(-1+0)=F(-1)，即又因 PX=1=P-1X1-P-1X1=F(1)-F(-1)- 于是有 F(1-0)=F(1)-PX=1= 即 a+b= 联立与解得 a=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 已知 Xf(x)= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=-X=PX1=PX1+PX-1= 根据全概率公
14、式，可得【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 的面积为 因此(X ，Y)的联合概率密度是 且其关于 x 的边缘概率密度为因此可知 fx(2)=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 -002【试题解析】 由 X 和 Y 的联合概率分布得于是有 E(X2)=1205=0 5，E(Y 2)=1206=06，E(X 2Y2)=12028=028，所以 Cov(X2，Y 2)=E(X2Y2)-E(X2)E(Y2)=028-030=-0 02。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 已知随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，则 相
15、互独立。又因E(Xi)=0， =D(Xi)=2。故 D(Y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2-E2(X1X2X3) 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，E(S 2)=D(X)，则【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 () 因 X 是连续型随机变量，故其分布函数 F(x)在 x=1 处连续，即 所以 A=1。 ()当 x0 时，F(x)=0，所以f(x)=F(x)=0； 当 0x1 时，r(x)=x 2，所以 f(x)=F(x)=2x； 当 x1 时，F(x)=1 ，所以 f(x)=F(x
16、)=0。综上所述 ()【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 () 根据题意可知随机变量 y 的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F(y)=PYy。 当 y1 时，F(y)=0 ；当 y2 时，F(y)=1 ；当 1y2 时，F(y)=PYy=Py1+P1Yy =PX2+P1Xy所以 Y 的分布函数为()根据概率的性质，可得 PXY=1-PXY=1-PX2=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 () 根据 X=max(，)，Y=min(，) 的定义可知，PX Y=0 ，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0 ， 同时有，PX=1，Y=1=P
17、=1，=1=P=1.P=1= PX=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2= PX=3，Y=3=P=3，=3=P=3.P=3= PX=2，Y=1=P=1 ，=2+P=2，=1= PX=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2=PX=3，Y=1= 所以所求的分布律为()X 的边缘分布为因此 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 () 根据题意，(X，Y) 的全部可能取值为 (0，1)，(0 ，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2) ，(3，1)，再分别计算相应的概率。 事件X=0 ，Y=1表示“三封信均投入后 3 个邮筒中的某一个邮筒内 ”。根据古典概型
18、公式，样本空间所含样本点数为 43=64，有利于事件X=0，Y=1 的样本点数为 =3，于是类似地可以计算出各有关概率值，列表如下：()从表中看出 Y 只取 1，2，3 三个可能值，相应概率分别是对表中 pij 的各列求和。于是Y 的边缘分布为表中最下行值。()PX=0=在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 已知 X，Y 的概率密度，所以()先求 Z 的分布函数：F Z(z)=P(X+YZ)= (1)当 z0 时，F Z(0)=0；(2)当 0z1 时，FZ(z)= (3)当 1z2 时，F Z(z
19、)=1-P(X+YZ)=(4)当 z2 时，F Z(z)=1。故 Z=X+Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 ()(X 1， X2)是二维离散型随机变量，其可能的取值为 (0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 。 当(X 1，X 2)=(0，0)时，说明随机抽取的一件不是一等品，也不是二等品，则必为三等品，故 PX1=0，X 2=0=PX3=1=01。 类似地PX1=0，X 2=1=PX2=1=01， PX 1=1，X 2=0=PX1=1=08， PX1=1，X 2=1= =0，故 X1 与 X2 的联合分布：()由()知，X 1 和 X2 的边缘分布均为
20、 0-1 分布。由 0-1 分布的期望和方差公式得 E(X1)=PX1=1=08，D(X 1)=PX1=1PX1=0=0802=016， E(X 2)=PX2=1=01， D(X2)=PX2=1PX2=0=0109=009， E(X 1X2)=0001+0101+1008+110=0， Cov(X 1，X 2)=E(X1X2)-E(X1)E(X2)=-008，则相关系数【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 X 的概率密度为 ()因为()似然函数为 当xi1(i=1，2，n)时，L()0，取对数可得【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 根据题知 N1，N 2，N 3 分别服从二项分布 B(n，1-) ，B(n，- 2)，B(n， 2)，则有 E(N 1)=n(1-)，E(N 2)=n(-2)，E(N 3)=n2，E(T)=a1n(1-)+a2n(-2)+a3n2=，于是 a1n=0，a 2n-a1n=1，a 3n-a2n=0，解得 a1=0，a 2= 即【知识模块】 概率论与数理统计
