1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 ，则必有（A）P(C)P(A)+P(B)一 1 （B） P(C)P(A)+P(B)一 1（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)2 设 0P(A)1，0P(B)1，P(A | B)+ =1，则 A 与 B 必（A）不相容（B）对立（C）独立（D）不独立3 设三事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是：（A）A 与 BC 独立（B） AB 与 A C 独立（C） AB 与 AC 独立（D）A B 与 A C 独立4 设三事件
2、A，B，C 相互独立且 0P(C)1，则下述事件中不独立的是：5 设事件 A 与 B 独立且不相容，则 minP(A)，P(B)=_（A）1（B） 0（C）（D）不能确定6 对事件 A，B,已知 P(A)=1，则必有：（A）A= （B）（C） A 与 B 独立（D）P(B)P(A)7 抛 n 次硬币(该币每次出现正面的概率均为 p)，则共出现偶数次正面的概率为：8 设 XN(， 2)，则随着 的增大，P|X 一 |：（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定9 设随机变量 X 的密度为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，xR 1又设 X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a
3、，F(-a) 等于（A）1 一 0af(x)dx（B）（C） F(a) （D）2F(a)一 1二、填空题10 对事件 A，B，已知 ，则 P(A)=_，P(B)=_ =_11 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_12 对二事件 A、B。已知 P(A)=06，P(B)=0 7，那么 P(AB)可能取到的最大值是_P(AB)可能取到的最小值是_13 设一批产品中一、二、三等品各占 60，30，10现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_14 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ，一x+ ，问
4、X 服从什么分布(若有参数须答出)?且常数 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设考生的报名表来自三个地区，各有 10 份、15 份、25 份报名表，其中女生表分别为 3 份、7 份、5 份现随机抽一个地区的报名表，从中先后任取 2 份(1)求先取的一份是女生表的概率；(2)已知后取的一份是男生表，求先取的一份是女生表的概率16 将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n将这 n 个小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?17 在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和
5、为 5 的结果出现在它们的点数和为 7 的结果之前的概率18 某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占 07，需调试的占 03，调试后可出厂的占 08，不能出厂的(不合格品)占 02现生产了 n(n2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有 2 台不能出厂的概率；(3)至少有 2 台不能出厂的概率19 袋中有 a 白 b 黑共 a+b 只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止求袋中所剩之球全为白球的概率20 设事件 A、B、C 两两独立，且 ABC=,P(A)=P(B)=P(C)=p，问 p 可能取的最大值是多少?21 3 架飞机(一
6、长二僚) 去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸成功的概率22 将一枚均匀硬币连掷 3 次，X 为这 3 次抛掷中正面出现的次数， Y 为这 3 次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值试写出(X，Y) 的分布列和关于 X，Y 的边缘分布列，并判断 X 与 Y 是否独立23 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为： 一x+ ，一y+求：(1)常数 A，B，C ； (2)(X，Y)的概率密度 f(x，y)； (3)关于 X 和 Y 的边缘密度 fX(x)和fY(y)24 甲袋
7、中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放人对方袋中，共交换 3 次用 X 表示 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列25 设随机变量 X 的概率密度为 ，一 x+，求：(1)常数 C； (2)X 的分布函数 F(x)和 P0X1)； (3)Y=e -|X|的概率密度 fY(y)26 某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现这 10 件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)记X 为一天中调整设备的次数，试求 X 的分布列27 设随机变量 ，i=1，2；且 P(X1X2=0=1则 PX1=X2)等于
8、28 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求(X，Y) 的联合分布函数 F(x，y)29 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，P(X=一 1)= ，P(X=1)= ，在一 1X 1出现的条件下，X 在区间(一 1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X 的分布函数 F(x)30 设一设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t的泊松分布，求：(1)相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布；(2)在设备已无故障工作 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率31 设随机变量 X1,X2,X3,X4 独立同分布，P(X 1=0)=06，P(X
9、1=1)=04求 X=的概率分布考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 “两两独立”指 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C) ，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述 3 个式子，另加 P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共 4 个式子成立注意 P(ABC)=P(A(BC)，只有(A)可选【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析
10、】 AB 与 中都含 C 的运算(即有公共的事件 C)，无法保证独立，而另 3 项选择却都是“相互独立”的【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 AB=，得 0=P(AB)=P(A)P(B)，可见 P(A)与 P(B)中至少有一个为0，故 minP(A)，P(B)=0【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 “概率为 0 或 1 的事件与任一事件独立”，可见应选(C)注意由“P(A)=1”推不出 “A=”，而有可能 B= 呢!故另 3 个选项不行【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【知
11、识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 记 A=取的 2 件产品中至少有 1 件是不合格品，B=取的 2 件产品都是不合格品，则 P(A)=1-，有 AB=B所求概率为 P(B | A)=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0.6,0.3【试题解析】 注意 ，P(AB)P(A)=0 6，而若 (这与 P(A)=0 6 P(B)=07 不矛盾)，则 P(AB)=P(A)=06，可见 P(AB)可能取的最大值是06；又1P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=1
12、3 一 P(AB)，P(AB)03 而当 A B= 时，P(AB)=03，或见 P(AB)可能取的最小值是 03【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 2/3【试题解析】 记 Ai=取得 i 等品，i=1，2，3则 =09，而=P(A1)=06，故【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 记 Ai=取的是第 i 区的报名表，i=1，2，3，B i=从报名表中第 i次取的是女生表)，i=1， 2则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17
13、 【正确答案】 记 Ai=第 i 次抛时点数之和为 5，B i=第 i 次抛时点数之和为 7，则又记 C1=A1，C k=前 k 一 1 次抛掷时点数之和非 5 非 7，第 k 次抛掷时点数之和为5 k=2，3，而 C1，C 2，两两不相容.【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 对一台仪器而言，记 A=可直接出厂，B=最终能出厂 ，则，P(A)=07，P(B | A)=0 8，P(B)=P(A)+ =094，故(1)Cnn.0 94n.(1094) n-1=094 n；(2)C nn-2.094 n-2.006 2；(3)1 一 Cnn【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案
14、】 我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则 P袋中全剩白球=P最后一只取白球=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)=3p 一 3p2，又 P(A B C)P(A B)=P(A)+(B)一 P(AB)=2p 一 p22pp 23p一p2，解得 P (p=0 显然无意思)；取 =1， 2， 3， 4，p( i)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 P(X=k)= ,而 Y=|X 一(3 一 X)|=|X-3|
15、，得(X， Y)的分布如下表，并算出边缘分布列P(X=0，Y=1)=0 一 P(X0)P(Y=1)，X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 记 Ai=经过 2 次变换后甲袋中有 i 个白球，i=0，1，2则 P(A0)=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 Y 的分布函数为 F Y(y)=PYY=Pe-Xy显然，y0 时，F Y(y)=0，y1 时，F Y(y)=1，这时 fY(y)=FY(y)=0，当 0y1 时，F Y(y)=P-|X|lny=P|X|一 lny=1 一PlnyX-lny=1一 lny
16、-lnyf(x)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 yB(10，01)而XB(6，p) ，其中 p=P(Y1)=1P(Y=0)一 P(Y=1)=1C100.01 0.09 10-0 一C101.0 11.09 10-1=0263 9，故 P(X=k)=C6k.0263 9 k【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由已知可得(X 1，X 2)的联合及边缘分布列如下表由 P(X1X2=0)=1可推出其中的 4 个 0(如：0P(X 1=1，X 2=1)P(X1X2=1)P(X1X20)=1一 P(X1X2=0)=0，P(X
17、 1=1，X【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 F(x，y)= -xdu-y故 x0或 y0时，F(x,y)=0；X1，y1 时，F(x，y)= 01du014uvdv=1；x1，0y1 时，F(x， y)=01du0y4uvdv=y2(图中阴影部分即为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 F(x)=P(Xx)，由已知得：x-1 时，F(x)=0;x1 时，F(x)=1;F(-1)=P(X-1)=P(X=一 1)= ，当一 1x1 时，有 P一 1Xx|一 1X 1=k(x+1)，而 P(一 1X1)= ，可化得 P(一 1Xx)=k(x+1) ，其中 (待定)，故P
18、(Xx)=P(一 1Xx)=P(X=一 1)+P(一 1Xx)= +k(x+1)，又由 =P(X=1)=F(1)一 F(10)=1 一( +2k)，得 ，即一 1x1 时，F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (1)t 0 时，P(Tt)=1 ；t0 时，p(T t)=PN(t)=0)= =e-t，故 T 的分布函数为 F(t)=P(Tt)=1一 P(Tt)= (2)取 T 的单位为小时，所求概率为 PT16|T8=【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 X=X 1X4 一 X2X3 可能取的值为：一 1，0，1P(X=一 1)=P(X1X4一 X2X31)=P(X1X4=0)P(X2X3=1)=1 一 P(X1=1，X 4=1)P(X2=1)【知识模块】 概率论与数理统计
