1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 相互独立，且 则( )（A）C 与 D 相互独立（B） C 与 D 不独立（C） C 与 D 互不相容（D）C 与 D 可能独立，也可能不独立2 设 X 是连续型随机变量，其分布函数为 F(x)若数学期望 E(X)存在，则当x+时，1F(x)是 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小3 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 0P(A)1，0P(B) 1，令( )X 与 Y 的相关系数为 ，则( )（A）=0（B
2、） =1（C） 0（D）04 对于任意二个随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(XY)=E(X)E(Y)（B） Cov(X，Y)=0（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)5 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，C 为任意常数，则( ) 6 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN( ， 2)的样本，则 2+2 的矩法估计量为( )7 设总体 XN(， 2)， 2 未知，x 1，x 2，x n 为来自总体 X 的样本观测值，现对 进行假设检验，若在显著水平 =005 下拒绝了 H0：
3、= 0，则当显著水平改为 =001 时，下列说法正确的是( )（A）必接受 H0（B）必拒绝 H0（C）第一类错误的概率必变大（D）可能接受，也可能拒绝 H0二、填空题8 已知事件 A，B 满足 P(A)+P(B)=1，且 A 与 B 均不发生的概率等于 A 与 B 恰有一个发生的概率，则 A，B 同时发生的概率为_ 9 在 n 重贝努利试验中，若每次试验成功的概率为 p，则成功次数是奇数的概率为_10 设随机变量 XF(n，n)，则 P(X1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 假设目标出现在射程之内的概率为 07，这时一次射击命中目标的概率为06，试求两次独立射击至
4、少有一次命中目标的概率12 设有 3 箱同型号产品，分别装有合格品 20 件，12 件和 15 件，不合格品 5 件，4 件和 5 件，现在任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率是 004，每件不合格品被误检为合格品的概率是 004，试求：(1)取到的一件产品经检验定为合格品的概率；(2)若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实真是合格品的概率13 向半径为 r 的圆内投掷一随机点，假设点一定落入圆内，而落入圆内的任何区域的概率只与该区域的面积有关且与之成正比试求：(1)落点到圆心距离 R 的分布函数 F(x)；(2)落点到圆心距离 R 的
5、密度函数 f(x)14 设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，试求 k 使得概率 P(X=k)为最大15 设随机变量 X 的分布函数 FX(x)为严格单调增加的连续函数，Y 服从0，1上的均匀分布，证明：随机变量 Z=FX1 (Y)的分布函数与 X 的分布函数相同16 假设随机变量的分布函数为 F(y)=1e y (y0) ，F(y)=0(y0)考虑随机变量求 X1 和 X2 的联合概率分布17 假设随机变量 X 的概率密度为 而随机变量 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布试求：(1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)；(2)随机变量 Y 的概率密度 fY(y)17 假
6、设随机变量 X 和 Y 的联合密度为18 试确定常数 c；19 试求随机变量 X 和 y 的概率密度 f1(x)和 f2(y)；20 试求随机变量 Y 关于 X 和 X 关于 y 的条件概率密度 f21 (yx)和 f12 (xy)21 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 1 的泊松分布，Y 服从参数为 2 的泊松分布，令 Z=max(X，Y)，计算 P(1Z3)22 假设 X=sinZ，y=cosZ，其中 Z 在区间 ，上均匀分布，求随机变量 X 和Y 的相关系数 试说明 X 和 Y 是否独立22 设连续型随机变量 X 的密度函数为23 常数 a，b ，c 的值；24 Y=ex
7、 的数学期望与方差25 假设随机变量 X1，X 2，X 5 独立同服从正态分布 N(0，2 2)，且Y=aX12+b(2X2+3X3)2+c(4X45X 5)2问常数 a，b，c 取何值时随机变量 Y 服从 2分布?自由度为多少 ?25 设总体 X 的分布律为 其中0 1，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本26 求 的最大似然估计量 ；27 判断 的无偏性和一致性考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 C=A， D=B，显然 A 与 B 独立，即有 C 与 D 独立
8、； 另外，令P(C)0，P(D)0，且 则 C 与 D 一定不独立，因为此时P(CD)P(C)P(D)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 的密度函数为 f(x)，因为 E(X)存在，于是 +xf(x)dx 所以 =xx+f(t)dt=x+xf(t)dtx+ tf(t)dt0(x+)，即故 1F(x)为 的高阶无穷小故选 B【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 A 与 B 互不相容，即 于是 P(X=1，Y=)=P(AB)=0， P(X=0，Y=)= P(B)， P(X=1，Y=0)= =P(A)， P(X=0，Y=0)=1P
9、(A) P(B) 因此 Cov(X，Y)=E(XY) E(X)E(Y)=P(A)P(B)， D(X)=P(A)(1P(A)， D(Y)=P(B)(1 P(B)所以故选 C【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由不相关的定义易得 A、B、D 均是 X 与 Y 不相关的充要条件另外，即使已知 X 与 Y 独立，也推不出 D(XY)=D(X)D(Y)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 2+2=E2(X)+D(X)=E(X2)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计7 【
10、正确答案】 D【试题解析】 此时的拒绝域为 其中 t/2(n1)表示 t 分布的上 2 分位数由于 t0.005(n1)t 0.025(n1) 故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 应填【试题解析】 因为 1P(A)P(B)+P(AB)=P(A)P(AB)+P(B)P(AB)，即 3P(AB)=2P(A)+P(B)1故【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 应填【试题解析】 设 X 表示 n 次试验中成功的次数，则 X 服从二项分布 B(n，p)由于 P(X=k)=C nkpk(1p) nk ，k=0，1，n又 Cnkpk(1p) nk =1 Cnk(p)
11、k(1p) nk =(12p) n 得所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 应填【试题解析】 由 XF(n，n)，故 同分布因此 P(X1)=于是 P(X 1)=P(X 1)P(X=1)=0，得 P(x1)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 设 A=目标进入射程 ，B i=第 i 次射击命中目标，i=1，2 ，B=两次独立射击至少有一次命中目标 于是，所求概率 P(B)=P(AB)+=P(AB) =P(A)P(BA) =P(A)P(B 1B2A)=P(A)P(B 1A)+P(B 2A)P(B 1B2A)=0
12、 7(06+060606)=0588【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设 Ai=打开第 i 个箱子，i=1，2，3 B 1=取到的一件产品确为合格品 ， B=取到的一件产品经检验定为合格品 (1)B 1 与 构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B)=P(B 1)P(BB 1)+ 由已知得 P(BB 1)=096 ， 又 A1，A 2，A 3 构成一个完备事件组，于是再次利用全概率公式得 (2)由贝耶斯公式得所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 试验为一个几何概型，样本空间为半径为 r 的圆域于是(1)R 的分布函数 (2)R 的密度函数【知识模块】 概
13、率论与数理统计14 【正确答案】 P(X=k)=C nkp(1p) nk ，k=0 ，1， ，n考虑比值因此，若(n+1)p 为正整数，则当 k=(n+1)p 或(n+1)p1 时，P(X=k)达到最大；若(n+1)p 不是整数，则当 k=(n+1)p时， P(X=k)达到最大【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由 Y 服从0，1上的均匀分布知 y 的分布函数为Z 的分布函数为 FZ(z)=P(Zz) =P(FX1 (Y)z) =P(YFX(z) =FX(z) (因为 0FX(z)1)即 Z 与 X 有相同的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 P(X 1=0
14、，X 2=0)=P(Y1，Y2) =P(Y1) =1e 1 P(X 1=0，X 2=1)=P(Yl，Y 2) =0 P(X 1=1，X 2=0)=P(Y1，Y2) =P(1Y2) =F(2) F(1) =1e 2 (1 e 1 ) =e1 e 2 P(X 1=1，X 2=1)=P(Y1，y2) =P(Y2) =1P(Y2) =1(1 2 ) =e2 故 X1 和 X2 的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布，即有条件密度(x0)(1)X 与 Y 的联合密度为(2)Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数
15、理统计18 【正确答案】 由 + +f(x，y)dxdy=1 得【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 f 1(x)= +f(x，y)dy【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 当1x1 时，Y 关于 X 的条件密度为当 0y1 时，X 关于 Y 的条件密度为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 P(1Z3)=P(Z3)P(Z1) =P(max(X ，Y)3) P(max(X，Y)1) =P(X3，Y3)P(X1 ， Y1) =P(X3)P(Y3)=P(X1)P(Y1)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E
16、(Y)=0因此 X 与 Y 的相关系数 =0又故即 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由 +f(x)dx=1，即 02ax2dx+24(cx+b)dx=1，得 2a+2b+6c=1， 由 E(x)=02axdx+24(cx+b)xdx=2，得【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 E(Y)=E(e X)= +exf(x)dx【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由正态分布的线性性质得 2X 2+3X3N(0，52)，4X445X 5N(0，164) ，于是【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 总体 X 的分布律可以表示为 P(X=k)=C 2k1 (1)k1 3k ，k=1，2，3似然函数 L(x1，x 2，x n；)=P(X=x 1)P(X=x2)P(X=x n)【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 另外，由大数定律可知叉依概率收敛到 32，于是 为 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计
