1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布（A）N(1 ，1)（B）（C）（D）N(0 ，1)2 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为3 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，已知 X=Y，且都服从标准正态分布如有 F(a，b)= 则（A）a=0 ，b=0（B） a=0，b0（C） a=0，b0（D）min(a，b)=04 已知 X，Y 的概率分布
2、分别为 PX=1=PX=0=则 PX=Y=二、填空题5 已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_(099 8004475)6 袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)7 设随机变量 X1 服从参数为 p(0p1)的 01 分布，
3、X2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为 2p 的泊松分布，已知 X1 取 0 的概率是 X2 取 0 概率的 9 倍，X1 取 1 的概率是 X2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0=_，PY=1=_ 8 设随机变量 X 与一 X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则 b=_9 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率10 设离散型随机变量 X 的概率分布为则随机变量 Y=3X25 的概率分布为_11 若 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_12 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一1X1= 则 a=_,b
4、=_13 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，已知 3PX15=2PX 15 ，则P|X1|2=_14 设随机变量 X 的概率密度 f(x)= 且 P1X 2=PX3，则 A=_，B=_；P|2X4=_；分布函数 F(x)=_15 已知随机变量 Y 一 N(， 2)，且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 ，则未知参数 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度17 设离散型随机变量 X 只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是a2，一 a 与 a2，求 X 的分布函数18
5、 已知随机变量 X 的概率分布为且 PX2= 求未知参数 及 X 的分布函数 F(x)19 已知袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4 次白球为止试求抽取次数 X 的概率分布20 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 P|X=0= 已知当 X0 时，X 在其他取值范围内服从均匀分布，求 X 的分布函数 F(x)21 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码(I)求 X 的分布律；()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4
6、，求PY222 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e -5=0007)23 设随机变量 X 的分布函数为 已知求|Y|的分布函数24 设离散型随机变量 X 服从参数为 p(0p1)的 01 分布(I)求 X 的分布函数 F(x)； ( )令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)25 已知随机变量 X 的分布函数 FX(x)= (0)，Y=lnX(I)求 Y 的概率密度 fY(y)；()计算26 已知随机变量 XN(0，1)，求：(I)Y= 的分布函数；()Y=
7、e X 的概率密度；()Y=|X|的概率密度(结果可以用标准正态分布函数 (x)表示)27 设连续型随机变量 X 的分布函数为其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 ,求 Y 的密度函数28 设随机变量 X 服从参数 的指数分布，令 Y=min(X，2)，求随机变量 Y 的分布函数 F(y)29 设(X，Y)的联合分布函数为 其中参数 0，试求 X 与 Y 的边缘分布函数30 设二维离散型随机变量只取(一 1，一 1)，(一 1，0)，(1，一 1)，(1 ，1)四个值，其相应概率分别为 (I)求(X ，Y)的联合概率分布；() 求关于 X 与关于Y 的边缘概率分
8、布；() 求在 Y=1 条件下关于 X 的条件分布与在 X=1 条件下关于Y 的条件分布31 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1 一 )2，EX=2(1 一 )( 为未知参数)(I) 试求 X 的概率分布；()对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值32 已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2(I) 求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)；()求 的矩估计量 和最大似然估计量 ()利用上述结果求 b 的最大似然估
9、计量考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 设 X 的分布函数为 F(x)，|X| 的分布函数为 F1(x)，则 当 x0时，F1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=0； 当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=P一 xXx=-xxf(x)dx=F(x)一 F(一 x)，从而有 f 1(x)=f(x)+f(一 x) 由上分析可知，应选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，X 与 Y 的
10、分布函数为 (x)，据二维随机变量分布函数的定义及已知条件有 F(x， y)=PXx，Yy=PXx ，Xy=PXmin(x，y)=(min(x，y)，又 F(a， b)=(min(a，b)= ，则有 min(a，b)=0故选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查联合分布与边缘分布的关系由题设知 PXY=1=PX=1，Y=1= 又已知 X，Y 的分布，从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X ， Y)的概率分布 所以，PX=Y=PX=0，Y=0+PX=1 ， Y=1= 。故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 0.55【试题解
11、析】 如果用 X 表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1 一 PX=0显然 0X8，如果将 “检验一次”视为一次试验，那么 X 就是 8 次试验，事件 A=“10 件产品中至少有一件次品 ”发生的次数，因此XB(8，p)，其中 p=P(A)如果用 Y 表示 10 件产品中次品数，则YB(10，001)， p=P(A)=PY1=1PY=0=1 一(1001) 10=1 一099 10所求的概率为 PX1=1 一 PX=0=1 一 (1 一 p)8=1 一 099 80=1 一04475055【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 若记 A
12、i=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai 相互独立，根据超几何分布知 再由几何分布即得【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 若 XUa，b，则一 XU一 b，一 a，由 X 与一 X 同分布可知a=一 b，即 XU 一 b，b于是有由题设 f2(x)也是概率密度，则由【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX=一 2=PY=3X2 一
13、 5=PY=3(一 2)2 一 5=PY=7=0 1， PX=一 1=PY=一 2=02，PX=0=PY=一 5=01， PX=1=PY=一 2=03，PX=2=PY=7=02， PX=3=PY=22=01，因此 Y 可能取值为一 5，一 2，7，22，其概率分布为 PY=一 5=01，PY=一 2=0 2+03=05， PY=7=01+02=03，PY=22=01，于是 Y=3X2 一 5的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有，(一 1+0)=F(
14、一 1)，即【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 0.6826【试题解析】 求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数与 ，题设中已知 =2，需先求出 由于【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 由于 1=-+f(x)dx=12Axdx+23Bdx= ，又 P1X2=P2X3，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 已知 YN(， 2)，且 P方程有实根=P1 一 4Y0=，即【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 用分布函数法先求 Y 的分布函数 FY(
15、y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度 fX(x)与分布函数 FX(x)分别为FY(y)=PYy=PsinXy当一 1y1 时，F Y(y)=PXaresiny=FX(aresiny)=当 y一 1 时，F Y(y)=0； 当 y1 时，F Y(y)=1因此 Y 的概率密度为fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 应用离散型随机变量分布律的基本性质 与pi0，i=1 ，2 ，有 则 X 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 由 PX2=1 一 PX=1=12= 又 PX=2=2(1)0，故取 从而得 X 的概率分布于是
16、X 的分布函数【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 显然 X 可能取的值为 4，5， k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“ 取到白球”的概率 p 不变，并且都是 ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=p4，PX=5=P前 4 次抽取取到 3 个白球 1 个黑球，第 5 次取到白球 =C43p3(1 一 p)4-3p=C43(1 一 p)p4，同理 PX=6=C 53p3(1 一p)5-3p=C53(1 一 p)5-3p4， PX=k=C k-13(1 一 p)(k-1)-3p4=Ck-13(1 一 p)k-4p4(k4)，故 X 的概率分布为 PX=k=Ck-
17、13(1 一 p)k-4p4，其中 k=4，5，且【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)依题意P|X|1=P一 1X1=1， 又除 0 点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 ，故有当 x一 1 时，F(x)=0；当 x1 时，F(x)=1 ；当一 1x0 时，F(x)=PXx=PX一 1+P一 1Xx=当 0x1 时， F(x)=PXx=PX0+P|X=0+P0Xx【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (I)随机变量 X 的可能取值为 1，2，3
18、，4，设事件 Ai 表示第 i 个盒子是空的(i=1，2，3， 4)，则于是 X 的分布律为 ()由于当X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故 PY2|X=1=PY2|X=2=1，由全概率公式即得【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 记事件 A=“100 次独立测量中至少有 3 次测量误差 X 的绝对值大于 196”=“100 次独立测量中，事件|X|196至少发生 3 次”，依题意，所求=P(A)如果记事件 C=|X|196，Y 表示 100 次独立测量中事件 C 发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中 p=P(C) p=P(C)=P|X|196=1
19、 一P|X|196=1 一 P一 196X196= =21-(196)=20025=0 05，因此所求的概率 =P(A)=PY3=1 一 PY3 =1一 PY=0一 PY=1一 PY=2，其中 PY=k=C100kpk(1 一 p)100-k=C100k005 k095 100-k 由于 n=100 充分大，p=005 很小，np=100005=5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为 Y 近似服从参数为 5 的泊松分布因此其中 =np=5，于是【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 从 X 的分布函数 F(x)可知：X 只取一 2，一 1 与 1 三个值，其概率分别为 03，03，0
20、4，因此随机变量其相应概率分别为 03，03 与 04因此|Y|的分布律为 ，|Y| 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (I) F(x)=PXx= ()PY=0=PX0=0， PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一 P， PY=1=PX1=PX=1=P ，于是 Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (I)由题设知 X 的概率密度 fX(x)= 所以 Y 的分布函数 F Y(y)=PYy=PlnXy(yR)由于 PX1=1，故当 y0 时 FY(y)=0；当y0 时，F Y(y)=P1Xe y= =1 一 e-y于是故 Y
21、=lnX 的概率密度 可见 Y服从参数为 的指数分布()PYk= k+e-kdy=e-k，由于 0，0e -1，故【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 先用定义法求分布函数，而后再求概率密度 (I)由题设知 Y 是离散型随机变量，其概率分布为 PY=一 1=PX1=(1)， PY=1=PX1=1 一PX1=1 一 (1)=(一 1)，故 Y 的分布函数()Y=e X 的分布函数F(y)=PYy=PeXy，故当 y0 时，F(y)=0 ；当 y0 时，F(y)=PXlny=(lny)，即 ()Y=|X|的分布函数 F(y)=P|X|y，当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时， F(
22、y)=P|X|y=P一 yXy=(y)一 (一 y)=2(y)一 1，【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 当 y0 时，F Y(y)=0；当 y0 时，所求 Y 的分布函数为 将 FY(y)对 y 求导数，得到 Y 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 Y 的取值一定不小于 0 且不大于 2，即 P0Y2=1由于 X 服从参数 的指数分布，因此当 x0 时，PXx= 当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy= 于是， Y 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 当
23、x0 时，F X(x)=PXx=F(x，+)=1 一 e-x；当 x0 时，F X(x)=0，因此关于 X 的边缘分布函数为 类似地，关于 Y的边缘分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 (I)依题意，(X ，Y)的联合概率分布如下表所示()关于 X 与关于 Y 的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行()由于 PX=1= ，且在 Y=1 条件下，X 只取 1，因此关于 X 的条件概率分布为在 X=1 条件下，Y 取一 1 和 1 两个值，其条件概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (I)设 X 的概率分布为 PX=0=p0，PX=1=p 1，PX=
24、2=p 2，由题设知 p2=(1 一 )2，又 EX=2(1 一 )=0p0+1p1+2p2=p1+2p2=p1+2(1 一 )2，解得p1=2(1 一 )一 2(1 一 )2=2(1 一 )，而 p0+p1+p2=1，所以 p0=1 一 p1 一 p2=2，X 的概率分布为 ()应用定义求矩估计值、最大似然估计值令 =EX=2(1 一 )，解得 = 于是 的矩估计量将样本值代入得 的矩估计值为即 的矩估计值 又样本值的似然函数 L(x1，x 10； )= PX=xi， =2(1 一 )5(1 一 )64=259(1 一 )11，lnL=5ln2+9ln+11ln(1 一 )，【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (I)直接应用公式 Eg(X)=-+g(x)f(x)dx 计算()令 =EX，其中样本X1，X n 的似然函数为()由于 是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计
