1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 则 Px12 设离散型随机变量 X 的概率分布为 PXicp i，i1，2，其中 c0 是常数，则（A） （B） .（C） Pc1.（D）0p1 的任意实数.3 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 YminX，2的分布函数（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点4 设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数5 设随
2、机变量 X 的概率分布为 PXk ，k0，1，2，则常数 a6 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随 的增大，概率 pX 一 （A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定7 设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2)，YN( ， 52)；记 P1PX 一 4，P2PY5，则（A）P 1P 2（B） P1P 2（C） P12（D）因 未知，无法比较 P1 与 P2 的大小8 设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)，Y一 2X3，则 Y 的密度函数为9 设 F1(x)与 F2(x)分别是随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)aF 1(x)一 bF2(x)是
3、某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取二、填空题10 设离散型随机变量 X 的概率函数为 PXiP i1 ，i0，1，则 P_11 设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x) 则随机变量X的分布函数为_12 假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y1 一 X已知PX029075，则满足 PYk 025 的常数 k_13 设 f(x)ke x22x3 (一 x)是一概率密度，则 k_14 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ，若 k 满足概率等式PXk ，则 k 的取值范围是_15 设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX30975，则 PX一092
4、 _ 16 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，且二次方程 y24yX0 无实根的概率为 05，则 _.17 设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 F(xa)一 F(x)dx_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 袋中装有大小相同的 10 只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“ 大于 5”，“等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X，并写出X 的分布率和分布函数.19 设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X 的四个值，已知至少有一个大于 a 的概率为 0.9，问 a 是多少？2
5、0 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X 的概率函数21 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(一，0，(0，1和(1，)的概率分别为 02，0.5 和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随机点落入(一，0得 0 分，落入 (1，) 得 1 分，而落入(0 ，1坐标为 x 是点得 x 分，试求得分 X 的分布函数 F(x).22 设随机变量 X 服从a，a 2上的均匀分布，对 X 进行 3 次独立观测，求最多有一次观测值小于 a1 的概率 .23 设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为01，02，03，若各部件的状态相互独
6、立，求同时需调整的部件数 X 的分布函数.24 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： (I)Y1e X； ()Y 2一 2lnX； (III)Y 3 ； (IV)Y 4X 225 设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 的概率密度考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 PXxF(x)一 F(x 一 0)，可知 PX1F(1)一 F(10)1 一 e1 一 一 e1 故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 排除法：
7、若 0 1，故(C)不对若 c1，p 21，(D)不对所以选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 yminx，2 所以 Y 的分布函数为计算得知 FY(y)只在 y2 处有一个间断点，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)PXx f(t)dt，因此 f(x)一定是可积函数，但是 f(x)可以是分段函数，比如：a，6上的均匀分布随机变量 X 属连续型，而其概率密度 f(x)在(一，) 内不是单调函数，且在 xa，b 两点不连续，当然亦不可导，因此不能选(B)、(C)、
8、(D)，应选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 由泊松分布知，PXk 当 a(e1)l 即 a 时，XP(1)，故应选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 若 XN(， 2)，则 N(0 ，1) ，因此 PX (1)1该概率值与 无关，应选 (C)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A【试题解析】 p 1PX 一 4 (一 1)1 一 (1)，p2P Y51 一 PY ，计算得知 P1P 2，应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 y：一 2x3 是 x 的单调可导函数，其反函数
9、 xh(y) ，h(y) ，根据随机变量函数的公式(216)，应选(B)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 对任何 x，为保证 F(x)0，a 与一 b 均应大于 0，又 F()aF 1()一 bF2() ab1，应选(A) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由于 PX0 PX1pp 21 ，所以 p2p 一 10解得 p(方程的负根 不合题意，舍去)【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由于分布函数 F(x)只在 x一 1，0， 1 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与X的概率分布分别为X
10、的分布函数 FX (x)为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 071【试题解析】 由于 PYkP1 一 XkPX1 一 k1 一 PX1 一 k025，可见 PX1 一 k1025075由 PX029075，得 1 一 k029，k071【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 将 f(x)ke x22x3 作变换，得 f(x)e x22x3 ke2 将其与正态分布 N(1，12)的密度比较，可得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 1，3【试题解析】 当 x0 时，PXx 0，PXx1;当 0x， PXx ；当 1x3 时，PX，PXz ；当
11、3x6 时，PX，PXx ；当 x6 时，PXx1，PXx0此满足 PXk 的 k 的取值范围是 1，3【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 0025【试题解析】 由 PX3 (3 一 ) 0975，可知 3 一196，104于是 PX一 092 (一 092 一 ) (一 196)0025【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 4【试题解析】 设事件 A 表示方程 y24yX0 无实根，依题意 P(A)P164X0 PX41 一 05 ，即 05，可知 4 一0， 4【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 a【试题解析】 F(x a)F(x)dx f(y)dy
12、dxaf(y)dya【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 设随机变量 Y 表示从 10 个球中任取一只，其球上的号码数，令则有 PYi01，i0，1，9，PX 005，PX101，PX204于是 X 的分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 依题意 0a1 且 PXa1 一 a，PXaa，且 a410901，a 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易见 X 是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，则相应概率分别为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 以 H1，H 2，H 3 分别表示
13、事件：随机点落入(一 ，0，(0 ，1和(1， )，它们构成完备事件组由条件知 P(H1)0.2，P(H 2)0.5，P(H 3)0.3 易见 于是，由全概率公式即得 F(x)PXx【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 设 Y 表示对 X 进行 3 次独立观测，其观测值小于 a1 的次数，PPX 3 0505 2 05【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 X 只取 0，1，2，3 各值，为计算概率 PXi，i0，1，2，3，设 Ai第 i 个部件需要调整，i1，2，3依题意，A1，A 2，A 3 相互独立，且 P(A1)01，P(A 2)02，P(A 3)03PX0 0
14、9080 70504，PX 3P(A 1A2A3)P(A 1)P(A2)P(A3) 010 203 0006，PX 1 010807090 207090803 0398，PX21 一 PX0一 PX1一 PX30092于是 X 的分布函数 F(x)为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 依题意，X 的概率密度为 fX(x) (I)ye x 在(0，1)内是 x 的单调可导函数，其反函数 xh(Y) lny 的定义域为(1，e)，xh(y) 0，用公式(216)即得 Y 的概率密度为 ()y一 2lnx 在(0，1) 内单调可导，其反函数 xh(y) 的定义域为(0，)，h(y) 0
15、，根据公式(216)，Y 2 的概率密度为()y 在(0，1)内单调可导，其反函数 xh(y) 的定义域为(1，)，当 yl 时，其导数 h(y) 0，应用公式(216)，Y3 的概率密度为 ()yx 2 在(0，1)内单调可导，其反函数xh(y) 的定义域亦为(0，1) ，且 h(y) 0应用公式(216)，Y 4 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 X 是只取非负值的随机变量，所以在 (0，) 内 y 是 x的单调可导函数，其反函数 xh(y)y 2 的定义域为(0，)，h(y)2y0，根据公式(2 16) ， 的概率密度 fY(y)为【知识模块】 概率论与数理统计
