1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 58 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f1(x)，f 2(x)，它们的分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则( )（A）f 1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数（B） f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数（C） F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数（D）F 1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数2 设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )3 设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有(
2、)4 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则Z=minX，Y的分布函数为( )（A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=minF X(z)，F Y(z)（C） FZ(z)=1 一1 一 FX(z)1 一 FY(z)（D）F Z(z)=FY(z)二、填空题5 从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a11 的概率为 ，则n=_6 设随机变量 X 的分布律为 X ，则 c=_7 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2)= ，则n=_， P=_8 设 X，Y 为两个随机变量，D(X)=4，D(Y)=9 ，相关系
3、数为 ，则 D(3X 一 2Y)=_9 设 X 为总体，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX=2，令 S02= ，则 E(S02)=_10 设总体 X 的分布律为 X ( 为正参数)， 1，2，1，1，2 为样本观察值，则 的极大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(Xk)=ak(k=1，2，3，4) 证明：当 n 充分大时，随机变量 Zn= Xi2 近似服从正态分布，并指出其分布参数12 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= (1)求常数 A；(2)求 X
4、在(0， )内的概率；(3)求 X 的分布函数 F(x)12 设 X，Y 的概率分布为 X ，且 P(XY=0)=113 求(X，Y)的联合分布；14 X，Y 是否独立?14 设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= ，设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)= 15 求：a；16 17 某流水线上产品不合格的概率为 p= ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及 D(X)18 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 E(X)=D(X)= 2，用切比雪夫不等式估计 PX 一 3 19 某厂生产某种产
5、品，正常生产时，该产品的某项指标服从正态分布N(50， 38 2)，在生产过程中为检验机器生产是否正常，随机抽取 50 件产品，其平均指标为 =5126( 设牛产过程中方差不改变)，在显著性水平为 =005 下，检验生产过程是否正常20 某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率21 设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数21 设随机变量(X，Y) 的联合密度函数为 f(x，
6、y)= 22 求 P(X2Y)；23 设 Z=X+Y，求 Z 的概率密度函数24 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 Pmax(X，Y)0及Pmin(X ，Y)025 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，yE(4) ，令 U=X+2Y，求 U 的概率密度26 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系： 问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?27 设 X1，X 9 为
7、来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，令28 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，令 T= ，求E(X1T)29 设总体 X 在区问(0，)内服从均匀分布，X 1，X 2，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： 都是参数 的无偏估计量，试比较其有效性考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 58 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不
8、对，又函数 F(x)为分布函数必须满足： (1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(一)=0，F(+)=1 ，显然选择(D)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0， 4)分布，所以 xYN(0，8)，从而 ，故(C) 、(D) 都不对； Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0 =1一 P(X0，Y0)=1 一 P(X0)P(Y0)因为 XN(0，4) ，YN(0，4)，所以 P(X0)=P(y0)= ，从而有 Pmax(X，Y) 0= ，(A) 不对；Pmin(x，Y)0 =P(X0，Y0)=
9、P(X0)P(Y0)= ，选(B) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有 =P(B)一 P(AB)=P(B)选(B) 【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一P(Xz，Yz)=1 一 P(Xz)P(Yz) =1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一FX(z)1FY(z)，选(C) 【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 9【试题解析】 n 阶行列式有 n！项，不含 a11 的项有 (n1)(n 1
10、)！个，则 ，则n=9【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 由 cc 2+c+ =1 得 c= 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 n=15，p=【试题解析】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X)2=np(1 一 p)+n2P2，所以 np=5，np(1 一 p)+n2p2= 【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 36【试题解析】 Cov(X，Y)=XY =3，D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)一12Cov(X，Y)=36【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 【试题解析】 E(S 02)= 【知识模块】 概率统计
11、10 【正确答案】 【试题解析】 L()= 2(12)2=4(12)，lnL()=4ln+ln(1 一 2)令【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以 X12，X 22，X n2 也独立同分布且 E(Xi2)=2，D(X i2)=4 一 22，当 n 充分大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Zn 近似服从正态分布，两个参数为 =2， 2= 【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一
12、 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0 ，【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 因为 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= ，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p，于是2pp 2= ，而 P(Xa)=【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p)k1 p(k=1，2，)【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 P X 一 3 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】
13、 令 H0：50，H 1：50 ，取统计量 U= N(0，1)，当=005 时，z 0025 =196，H 0 的接受域为(一 196，196)，因为 ，所以在显著性水平为 =005 下 H0 被拒绝，即生产过程不正常【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 令 Ak=第 k 次拨通对方电话 (k=1，2，10)，【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设三个元件正常工作的时间为 Ti(i=1，2，3)，T 1，T 2，T 3 相互独立且其分布函数都是 F(x)= 当 t0 时，令 A=T 1t，B=T 2t，C=T 3t，且 A，B ，C 独立，则 FT(t)=P(Tt)=P(A+B+C)
14、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)，P(A)=P(B)=P(C)=1 一 et ，F T(t)=3(1 一 et )一 3(1 一 et )2+(1 一 et )3，于是 FT(t)= 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 P X 2Y= 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 F Z(z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy当 z0 时，F Z(z)=0；当 0z1 时，F Z(z)=0zdy0zy (2xy)dx=z 2 一 ；当 1z2 时，F Z(z)=1 一z 11dyzy
15、 1(2 一 xy)dx=1 一 ；当 z2 时，F Z(z)=1因此 fZ(z)=【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 P max(X，Y0)=1 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1 一 P(X=0)P(Y=0)=1 一 e1 e2 =1 一 e3 。 Pmin(X，Y)0 =1 一Pmin(X ，Y)=0 ， 令 A=X=0，B=Y=0，则 min(X，Y)=0=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e1 +e2 一e1 e 2 =e1 +e2 一 e3 ， 故 Pmin(X，Y)0=1 一 e1 一 e2
16、 +e3 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 F U()=P(U)=P(X+2Y)=P(X=1)P(X+2yX=1)+P(X=2)P(X+2YX=2)【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12) 一 5P(X12)=一 (10)+20(12)一 (10)一 51(12)=25(12 一 )一 21(10 一 )一 5【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立同分布，所以有 E(X1T)=E(X2T)=E(KnT)【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为FU()=P(U)=Pmax(X 1，X 2，X 3)=P(X 1，X 2，X 3)=P(X1)P(X2)P(X3)= F ()=P(V)=Pmin(X 1，X 2，X 3)=1 一P(min(X1，X 2，X 3)=1P(X 1 ，X 2，X 3)=1 一 P(X1v)P(X 2)P(X3)=1 1P(X 1)1 一 P(X2)1 一 P(X3)【知识模块】 概率统计
