1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)，如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（A）F(x)=F( 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(一 x)2 设 X，Y 为两个随机变量， ，则 Pmin(X，Y)1 =( )3 设(X 1，X 2，X 3)为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（A） （B） kX12(1k)X 22X 32 （C） X122X 2
2、2X 33（D）4 设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(B C)，则下列正确的是( )（A）（B） P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)（C） P(A+B)=P(AC)P(BC)（D）P(C)=P(A)P(CA)P(B)P(C A)5 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则Z=maxX， Y的分布函数为( )（A）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)=FX(z)FY(z)（C） FZ(z)=maxF X(z)，F Y(z)（D）F Z(z)=FY(z)二、填空题6 设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则
3、 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为_，A 至多发生一次的概率为_ 7 设随机变量 xN(， 2)，且方程 x2+4xX=0 无实根的概率为 ，则=_8 随机变量 X 的密度函数为 f(x)=kex (一 x+)，则 E(X2)=_9 设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY= ，则E(X 一 2Y+3)2=_10 设正态总体 X 的方差为 1，根据来自总体 X 的容量为 100 的简单随机样本测得样本的均值为 5，则总体 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为_11 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 ，且 E(X)=0，E
4、(Y)=1 ，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于 095？13 设 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(a)+F(a)与 1 的大小关系13 设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0P1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数14 求在发车时有 n
5、 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；15 求(X，Y)的概率分布16 设试验成功的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望16 设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 Xi= 17 求(X 1，X 2)的联合分布；18 求 X1，X 2 的相关系数19 设 X 为一个总体且 E(X)=k，D(X)=1 ，X 1，X 2，X n 为来自总体的简单随机样本，令20 某批木材的直径服从正态分布，从中随机抽取 20 根，测得平均直径为=325cm，样本标准差为 15问在显著性水平为 005 下，是否可
6、以认为这批木材的直径为 30cm?21 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率22 设 X 的密度函数为 23 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 独立同分布，且 Xi (i=1，2，3，4)，求 X=的概率分布23 设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，Y U(0 ，x)24 求 X，Y 的联合密度函数；25 求 Y 的边缘密度函数26 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可
7、从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值27 设总体 XN(0，1) ，(X 1，X 2，X m，X m1 ，X mn )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 所服从的分布28 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)(0)，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 Y= X i 一 ，求 Y 的数学期望与方差29 设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，(X 1，X 2，X m)与(Y1，Y 2，Y n)分别为来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： S2= 为参数2 的无偏估计量考研数学一（概率论与数理统计）
8、模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 F X(x)=P(Xx)= xf(t)dt，F X (x)=P(-Xx)=P(X一 x)=1 一 P(X一x)=1 一 f(t)dt，因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 xf(t)dt=1 一 x f(t)dt，两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(C)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为统计量为样本的无参函数，故选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 B【试题解析
9、】 由 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，因为 P(A+BC)=P(AC)+P(BC) 一 P(ABC)，所以 P(ABC)=0，从而 P(ABC)=0，故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F Z(z)=P(Zz)=Pmax(X，Yz=P(Xz，Yz)=P(Xz)P(Yz)=FX(z)FY(z)，选(B) 【知识模块】 概率统计二、填空题6 【正确答案】 A 至少发生一次=1 一(1 一 p)n，A 至多发生一次=(1 一 p)n1 1+(n一 1)p【试题解析】 令 B=A
10、 至少发生一次，则 P(B)=1 一 Cn0p0(1 一 p)n=1 一(1 一 p)n， 令 C=A 至多发生一次， 则 P(C)=Cn0p0(1 一 p)n+Cn1p(1 一 p)n1 =(1 一 p)n 11+(n 一 1)p【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 4【试题解析】 因为方程 x2+4x+X=0 无实根，所以 164X0，即 X4由XN(， 2)且 P(x4)= ，得 =4【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)dx=1，所以 kex dx=2k0 ex dx=2k=1，解得k= ，于是 E(X2)= x2f(x)dx= 20 x2ex dx=
11、 =2！=2 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 25【试题解析】 E(X 一 2Y+3)=E(X)2E(Y)+3=2，D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)，由 Cov(X，Y)=XY =2，得 D(X 一 2Y+3)=D(X)+4D(Y)4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是 E(X 一 2Y+3)2=D(X 一 2Y+3)+E(X 一2Y+3)2=21+4=25【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 (4804，5196)【试题解析】 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)=E(X 2)一E(X) 2
12、=4，D(Y)=E(Y 2)一E(Y) 2=9，Cov(X，Y)=XY =2，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X ，Y)=4+9+4=17，则 E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2=17+1=18【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 Xi= (i=1，2，300)令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X= ，E(X)=300006=18，D(X)=3000 0564=1692设至少需要安装n 条外线，由题意及中心极限定理得 P(0Xn) 095，解得1645，n248，所以至少要安装 25 条外线才能保证每台分机需要
13、使用外线时不需要等待的概率不低于 095【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 则当 0 时，F(a)+F( a)1；当 =0 时，F(a)+F(一 a)=1；当 0 时，F(a)+F(-a)1【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车) ，则 P(BA)=P(Y=m X=n)=C nmpm(1 一 p)nm (0mn)【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 P(X=n ，Y=m)=P(AB)=P(BA)P(A)=C nmpm(1 一 p)nm e (0mn，n=0，1，2，)【知识模块】 概率统计16 【正
14、确答案】 设试验的次数为 X，则 X 的分布律为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 (X 1，X 2)的可能取值为(0，0) ，(0 ，1)，(1 ，0)，(1，1)P(X 1=0，X 2=0)=P(X3=1)=01，P(X 1=0，X 2=1)=P(X2=1)=01， P(X1=1，X 2=0)=P(X1=1)=08，P(X 1=1， X2=1)=0(X 1，X 2)的联合分布律为【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 E(X1)=E(X12)=08，E(X 2)=E(X22)=01，E(X 1X2)=0，则D(X1)=016 ，D(X 2)=0 09，Cov(
15、X 1，X 2)=一 008，于是 X1X2= 【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 令 H0：=30，H 1：30 已知总体 XN(, 2)， =325，因为 2 未知，所以取统计量 t(n1)，查表得 t0025 (19)=2093，则 H0 的接受域为(一 2093，2093)，而 (2093，2093)，所以 H0 被接受，即可以认为这批木材的平均直径为 30cm【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 设 A1=甲数为 5，A 2=甲数为 10，A 3=甲数为 15，B=甲数大于乙数， P(A1)=P(A2)=P(A3)= =1则 P(B
16、)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3)= 【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 X= =X1X4 一 X2X3，令 U=X1X4，V=X 2X3，且 U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1=1，X 4=1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一1，0，1P(X= 一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0 1344，P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=0160 84=01344 ，P(X=0)=1 201344=07312，于是 X
17、【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 因为 XU(0，1)，所以 fX(x)= ，又在 X=x(0x1)下，YU(0 ，x) ，所以 fYX (yx )= ，故 f(x，y)=f X(x)fYX (yx)= 【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 f Y(y)= f(x，y)dx，当 y0 或 y1 时，f Y(y)=0；当 0y1 时，fY(y)= 【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有 R= ，因为 X，Y 相互独立且都服从0 ，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
