1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P(A)1，则下列结论中一定成立的是（A）AB=（B） =（C） A=B（D）2 同时抛掷三枚匀称的硬币，正面与反面都出现的概率为（A）14（B） 13（C） 23（D）343 假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点4 设 F1(x)与 F2(x)分别是随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F(x)=aF1(x)bF 2(x
2、)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取5 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，Y) 未必服从正态分布6 假设随机变量 X 在区间1，1上均匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关系数等于（A）1（B） 0（C） 05（D）17 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 1n Xi 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 p 的 01
3、分布8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差，则二、填空题9 设事件 A 与 B 相互独立，已知它们都不发生的概率为 016，又知 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 A 与 B 都发生的概率是_10 设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则PX092=_11 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_12 随机从数集1，2，3， 4，5 中有返回的取出 n 个数 X1，X 2，x n，则当n时 Xi 依概率收
4、敛于_；1n Xi2 依概率收敛于_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 一个班内有 20 位同学都想去参观一个展览会，但只有 3 张参观票，大家同意通过这 20 位同学抽签决定 3 张票的归属计算下列事件的概率： ()“第二人抽到票”的概率 p1； ()“第二人才抽到票”的概率 p2； ()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”的概率 p3； ( )“前两人中至少有一人抽到票 ”的概率 p414 向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05 和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随机点落入(， 0得 0 分，落入(1，+
5、)得 1 分，而落入(0，1坐标为 x 的点得 x 分试求得分 X 的分布函数 F(x)。15 某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6 次若 6 次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布16 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中 D=(x，y)|x+y|1，|xy|1，求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下，关于 Y 的条件密度fY|X(y|0)16 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：17 常数
6、 k1，k 2 的值；18 Xi，Y i(i=1，2)的边缘概率密度；19 PXi2Y i (i=1，2)20 设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4 台，求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间) 等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命21 写了 n 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y 表示地址恰好写对的信的数目，求 EY，及 DY22 设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：22 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分
7、别为与 S223 如果 EX=，DX= 2，试证明：X i 与 Xj (ij)的相关系数 =24 如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=025 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?26 设有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 () 若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 ()在情况( )下，检验员从该批产品中再随机检测 100
8、个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3 的概率(注： (57)=076)考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 AB= =，应选 (B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 设 Bk 表示三枚中出现的正面硬币个数，k=0，1，2，3，P(A)为所求概率，依题意 P( )=P(B0B3)=P(B0)+P(B3)= =14，P(A)=1P( )=3 4应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 Y=minX，2=
9、 所以 Y 的分布函数为计算得知 FY(y)只在 y=2 处有一个间断点，应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 对任何 x，为保证 F(x)0，a 与b 均应大于 0，又 F(+)=aF1(+)bF 2(+)=ab=1，应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y=X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X 和Y 不相关”二者等价故应选(D)虽然
10、随机变量 X 和Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，Y)未必服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 U=arcsinX 和 V=8rccosX 满足下列关系：arcsinX= arccosX ，即 U=V+ ，由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =1应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 (D)同时满足后面的两个条件，应
11、选(D)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题9 【正确答案】 0.36【试题解析】 016=P( )=04，P(AB)=P(A)P(B)=06 2=036【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 0.025【试题解析】 由 PX3=( )=(3)=0975 ，可知3=196，=104于是 PX092=(092)=(196)=0 025【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 1348【试题解析】 由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且PX=i=14，i=1
12、 ，2，3 ，4条件概率 PY=2|X=1=0，PY=2|X=i=1 i，i=2，3，4根据全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 3；11【试题解析】 依题意 X1，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX i=k=1 5(k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i=15(1+2+3+4+5)=3根据辛钦大数定律，当 n 时， Xi 依概率收敛于 3同理，X 12，X n2 相互独立且 PXi2=k2=15(k=1，2，3，4，5)，EX i2=15(1+4+9+16+25)=11，当n时 1n Xi2 依概率收敛于 11【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题
13、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 设事件 Ai=“第 i 人抽到票”，i=1 ，2()如果是填空题，可以根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关直接填写 p1=P(A2)=320；作为计算题，应写出解题步骤根据全概率公式 p1=P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P( )P(A2|) ()事件“ 第二人才抽到票” 表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票” ，根据乘法公式()“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票” 表示已知事件 A1 发生，再考虑事件 A2 出现p 3=P(A2|A1)=219 ()根据加法公式与乘法公式 p4=P(A1A2)=P(A1)+P(A
14、2)P(A 1A2)=P(A1)+P(A2)P(A 1)P(A2|A1)【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 以 H1，H 2，H 3 分别表示事件：随机点落入( ，0，(0 ，1和(1，+) ，它们构成完备事件组由条件知 P(H1)=02，P(H 2)=05，P(H 3)=03于是，由全概率公式即得 F(x)=PXx= P(Hk)PXx|Hk【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 设该人在选拔赛中跳的次数为 X，显然 X 是一个离散型随机变量，其全部可能取值为 1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有PX=1=0 6，PX=2=0406，PX=3=0
15、4 206，PX=4=04 306 ，PX=5=04 406，PX=6=0 4 5即 X 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD=2，因此(X ，Y)的联合密度是fX(x)= +f(x，y)dy 根据公式 fY|X=F(x，y)f X(x)(fX(x)0)，当 x=0 时，有 fY|X(y|x)=fY|X(y|0)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由 1= + +f1(x，y)dxdy= 0+dy0+k1e
16、(x+y) dx=k1，得 k1=1；又由 1= + +f2(x，y)dxdy= 0+dyy+k2e(x+y)dx=0+k2e2y dy=k22，得 k2=2因此(X 1，Y 2)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 PX 12Y 1= f1(x，y)dxdy= 0+dy2y+e(x+y)dx=0+e3y dy=13；PX 22Y 2= f2(x，y)dxdy= 0+dy2y+2e(x+y)dx=20+e3y dy=23【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设服务器首次失效时间为 X，
17、则 XE()()由题设 XE()可知，X 为连续型随机变量由于连续型随机变量取任何固定值的概率是 0，因此P(A)=0(详细写作：因 p=PX=E(X)=0，故 P(A)= C4kpkqnk =0)( )由于XE()则 E(X)=1 ，即服务器的期望寿命为 1 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 p0=01 ex dx=1e 1 而每台服务器的寿命可能小于 E(x)，也可能超过 E(X)，从而 4 台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 P(B)=C41p0(1p 0)3=4e3 (1e 1 )【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】
18、 EX k=FXk=1=1n，DX k=1n(1 )=(n1)n 2，k=1 ， ，n，E(X kXl)=PXk=1，X l=1=PXk=1PXl=1|Xk=1= Cov(Xk，X l)=E(XkXl)EX kEXl【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布，且 与 S2 相互独立，于是又因 2(n1) ，且 W 与 S2 相互独立，所以=FF(1 ，n1)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X
19、 同分布，故 EXi=，DX i=2，D =2n，【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于总体 XN(0， 2)，故 EXi=0，DX i=2=1n 2Cov(X1，X 12)+ Cov(X1，X 1Xj)=1n 2(EX13EX 1EX12)+ (EX12XjEX 1EX1Xj)=0，故 Cov(X1，S 2)=0【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 记 EX=，DX= 2，则DX=EX2(EX) 2 计算可知是 的有偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p)()由 =EX=np，即 105=2 5n，得 =80 =C1001(C1002)3C1003p10(1p) 490，lnL=lnC 1001(C1002)3C1003+10lnp+490ln(1p)，()在情况() 下，X B(100，150)，由中心极限定理知 X 近似服从 N(2，1925)，于是 PX3=1076=024【知识模块】 概率论与数理统计
