1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )2 已知随机变量 Xn(n=1，2，)相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 =( )(结果用标准正态分布函数 (x)表示)（A）(0)（B） (1)（C）（D）(2)3 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的样本，则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是( )4 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2，X n 是取自总体
2、的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从 2(n)的随机变量为 ( )5 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y= = ( )二、填空题6 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_7 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为：则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为_8 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1B，则 EX1(X1+X2-X3)为_9
3、设随机变量 X 与 Y 的分布律为且相关系数 ，则(X， Y)的分布律为 _10 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0 ，3)，Y N(0 ，4) ，相关系数 则(X，Y)的概率密度 f(x，y)为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1，X 2，X n 求参数 的矩估计和最大似然估计12 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计13 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X 2，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计14 设总体 X 的分布列为截尾几
4、何分布 PX=l= k-1(1-)，k=1，2，r， PX=r+1=r， 从中抽得样本 X1，X 2，X n，其中有 m 个取值为 r+1，求 的极大似然估计14 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是其样本15 求 C 使得 (Xi+1X i)2 是 2 的无偏估计量；16 求 k 使得 为 的无偏估计量17 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个样本是 的相合(一致) 估计量18 设 X1，X 2，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：Tn=maxX1，X 2，X n是 的相合估计18 已知 X 具有概率密度19 求未知参数 的矩估计和最
5、大似然估计；20 验证所求得的矩估计是否为 的无偏估计21 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自 X 的样本，试证：估计量都是 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效22 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数 C，使 -CS2 为 2 的无偏估计23 设总体服从 U0， ，X 1，X 2，X N 为总体的样本证明： 为 的一致估计24 设从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，b，是 的无偏估计量，并确定常数 a，b，使得方差
6、DT 达到最小25 设 X1，X 2，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p1=1-，p 2=-2，p 3=2-3，p 4=3，记 Nj 为 X1，X 2，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1+N2+N3+N4=n确定 a1，a 2，a 3，a 4 使 为 的无偏估计25 设总体 XN( 1， 2)， YN( 2， 2)从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为m，n 的样本 X1，X m 和 Y1，Y N 记样本均值分别为是 2 的无偏估计求：26 C；27 Z 的方：差 DZ28 设有 K 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为i， i=1
7、，2，K，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到X1，X 2，X k，设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=，i=1，2，k，试求：a1，a 2，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 最小?考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 ，于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知 EXn=0，DX n= 由中心极限定理，对任意 x 有【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)【
8、知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，所以 与 S2 独立，由 2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2(1)的随机变量因为，选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 应用 t 分布的典型模式由于，U 与 V 相互独立，由 t 分布的典型模式【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3=D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =DX1+
9、DX2+DX3+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =DX1+DX2+DX3=3【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 PZ=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 EX 1(X1+X2-X3)=E( +X1X2-X1X3)=E( )+EX1EX2-EX1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2-EX1EX3=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 设(X，Y) 的分布律为 (X，Y) 的边缘分布律也表示于表中)，则
10、E(EY)=p11 从而有由此得所以(X，Y) 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 先求矩估计：再求极大似然估计：【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 解之得 N=1P ，【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 解似然方程 得 的极大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与
11、数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 T n=X(n)的分布函数为 Tn 的密度为 f T(t)=FT(t)=nf(t)Fn-1(t)=由切比雪夫不等式有 当 n时，故 Tn 是 的相合估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 先求矩估计再求最大似然估计得a 的最大似然估计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 对矩估计 是a 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22
12、 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 .由切比夫不等式有：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由题意得： 故 T 是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 NiB(n，p i)，i=1，2，3， 4，所以 ENi=pi，从而有：ET=a1n(1-)+a2n(-2)+a3n(2-3)+a4n3 =na1+n(a2-a1)+n(a3-a2)2+n(a4-a3)3若使 T 是 的无偏估计，即要求 解之得：a 1=0，a 2=a3=a4=即 T= 是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 令函数 g(a1，a 2，a k)= ，问题归结为多元函数 g(a1，a 2，a k)在条件之下的最小值 作拉格朗日函数：G(a 1，a 2，a k，)=g(a1，a 2，a k)+(a1+a2+ak-1)【知识模块】 概率论与数理统计
