1、考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E T，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C） E（D）E+ T2 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(AE)=(A 一 E)(A+E)3 设 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1 +B1 )1 =（A）A+B（B） A1 +B1 （C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 1 4 设 A，B 均是 n 阶矩阵
2、，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0且 B0（C） AB=0 A=0 或B=0 （D）AB0 A0 且 B0 5 设 A= P1=，则 B=（A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题6 若 A= ，则 A2=_，A 3=_7 若 A= ，则 A*=_，(A *)*=_8 设 A= ，则 A1 =_9 设矩阵 A= ，B=A 2+5A+6E，则 =_10 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22A+E=0，则(A+2E) 1 =_11 若 A= ，则 (A*)1 =_12 若 A1 = ，则(3A) *= _13 设 A=
3、 不可逆，则 x= _14 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则B 一2E=_15 设 A2 一 BA=E，其中 A= ，则 B=_16 设 XA=AT+X，其中 A= ，则 X=_17 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A1 +2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 AE 可逆19 已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XYT 可逆20 设 AB 是 n 阶矩阵，EAB 可逆，证明 EBA 可逆21 设 H= ，其中 A，B
4、分别是 m 阶和 n 阶可逆矩阵，证明：矩阵日可逆，并求其逆 H1 22 已知 A ，求 A23 已知 ，求 X24 设 3 阶方阵 A，B 满足 A1 BA=6A+BA，且 A= ，则B=_25 设 4 阶矩阵 满足关系式 A(EC1 B)TCT=E， 求 A26 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA1 =BA1 +3E 求矩阵B27 已知 A= ，若 A*B( A*)*=8A 1B+12E， 求矩阵 B28 设 A1 = ，求 (A*)1 29 设 A= 求 An30 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB)(E+AB) 1 A31 设 A，B，C 均为
5、 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C1 ，证明 BAC=CAB32 若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA33 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 E 一 A 可逆34 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P=其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵( )计算并化简 PQ；()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b35 设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A)1 是正交矩阵考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
6、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E T)(E+2T)=E+2T 一 T 一 2TT=E+T 一2T(T)【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE， A mAp=ApAm=Am+p，(A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A2 一 E，所以(A)、(B)、(D)均正确而 AAT=，故(C)不正确【知识模块】 矩阵及其运算3 【正确答案】 C【试题解析】 (A 1 +B1 )1 =(EA1 +B1 )1 =(B1 BA1 +B1 )1 =B1 (BA1 +AA1 )1 =B1 (B+A)A1 1 =(A1 )1 (B+A)
7、1 (B1 )1 =A(A+B)1 B 故应选(C)【知识模块】 矩阵及其运算4 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0，但 AB=0，所以(A) ，(B)均不正确又如 A= ，有 AB0，但A=0 且B=0 可见(D) 不正确由AB=0 有AB=0，有 A.B=0故A=0 或B=0 应选(C) 注意矩阵 A0 和行列式A0 是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 矩阵及其运算5 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵B，A 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A)、(B)中选择而 P3= 表示第 1
8、和 3 两列互换，所以选(B)【知识模块】 矩阵及其运算二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵及其运算7 【正确答案】 0 【试题解析】 用定义A 11=3，A 12=6，A 13=3，A 21=6，A 22=12 ，A 23=6，A 31=3，A 32=6，A 33=3，故 因为 r(A*)=1，A *的二阶子式全为 0，故(A *)*=0【知识模块】 矩阵及其运算8 【正确答案】 【试题解析】 利用易见【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B1 ，故【知识模块】 矩阵及其运算10 【正确答案】 【试题解析】
9、 由(A+2E)(A 一 4E)+9E=A22A+E=0 有(A+2E). (4EA)=E所以 (A+2E)1 = (4EA)【知识模块】 矩阵及其运算11 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)1 = 所以(A *)1 =【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，故(3A) *=32A*，又 A*=A A 1 ，而A 1 =从而(3A) *=9A*=【知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 4 或5【试题解析】 A 不可逆 A=0而故 x=4 或x= 5【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB 一 2AB
10、+2E=2E，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)=2E，则 (AE)(B 一 2E)=2E于是 AE.B 一 2E=2E=8，而A E= =4，所以 B 一 2E=2【知识模块】 矩阵及其运算15 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2 一 E，又 A 可逆，则有 B=(A2 一 E)A1 =AA1 故【知识模块】 矩阵及其运算16 【正确答案】 【试题解析】 由 XAX=AT 有 X(AE)=AT,因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆故 X=AT(AE)1 =【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移
11、项得 (A E 一 2A)X=E故 X=(AE 一 2A)1 由A =4 知 X=(4E 一 2A)1 =【知识模块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由 AB=A+B 有 ABBA+E=E，于是(AE)B 一(AE)=E故 (A E)(BE)=E所以按定义知 AE 可逆【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 记 A=XYT，则 A2=(XYT)(XYT)=X(YTX)YT=0，于是 A 的特征值全是 0，那么 E+A 的特征值全是 1，所以 E+XYT 可逆【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】 (反证法) 如EBA=0 ，则齐次
12、方程组(E 一 BA)x=0 有非零解，设 是其非零解，则(EBA)=0，即 BA=，且 0 (*)对于齐次方程组(E AB)x=0，由于(EAB)A=A一(AB)A=A 一 A(BA) =A一 A=0，从(*)式易见 A0这样(EAB)x=0 有非零解 A，这与 EAB 可逆相矛盾【知识模块】 矩阵及其运算21 【正确答案】 因为 A，B 均可逆，由拉普拉斯展开式 (16)有H= =A B0，所以矩阵 H 可逆：解得X=A1 ，Y=O，Z=B 1 CA1 ，W=B 1 故【知识模块】 矩阵及其运算22 【正确答案】 由于 =10，矩阵可逆，且所以【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】
13、记 A= 用初等行变换(214) ，得从增广矩阵的第一列解出 x 3=2， x 2=t，x 1=3t1同理 y 3=0，y 2=u，y 1=43u，z 3=5，z 2=v， z 1=3v11，故 ，其中 t，u，v为任意常数【知识模块】 矩阵及其运算24 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，A 可逆然后在题设关系式两端右乘 A1 有：A1 B=6E+B，在该式两端左乘 A，得 B=6A+AB移项得(E 一 A)B=6A，则B=6(EA)1 A于是由 得【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 由于 A(EC1 B)TCT=AC(EC1 B)T=A(CB)T，于是【知识模块】 矩阵及其运算
14、26 【正确答案】 由A *=A n1 ，有A 3=8，得A=2 又因(A E)BA1 =3E，有 (AE)B=3A，左乘 A*，得(AEA *)B=3A E ，即 (2E 一 A*)B=6E故 B=6(2EA*)1 所以【试题解析】 对矩阵方程化简，右乘 A 得 ABB=3A (AE)B=3A由于已知条件是 A*，可继续变形，用 A*左乘上式并用关系式 AA*=A*A=AE 得B=3A( AE A*)1 因此，应先求出A，再求逆【知识模块】 矩阵及其运算27 【正确答案】 由于A=4，用矩阵 A 左乘方程两端，有 AA*B( A*)*=8B+12A因为 AA*=AE=4E ， AA=A，故4
15、BA=8B+12A，即 B(A 一 2E)=3A那么 B=3A(A 一 2E)1 由得到【试题解析】 由于(kA) *=kn1 A*， (A *)*=A n2 A，可见又 AA*= AE，只要先求出A 的值，就可把矩阵方程化简【知识模块】 矩阵及其运算28 【正确答案】 因为(A *)1 =【知识模块】 矩阵及其运算29 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知【知识模块】 矩阵及其运算30 【正确答案】 (E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB)1 ABAB(E+AB)1 A =E+BA 一 B(E+AB)(E+AB)1 A=E+BABA=E【知
16、识模块】 矩阵及其运算31 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABAC=E，即 A1 =BAC又 CABA=E，得 A1 =CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 矩阵及其运算32 【正确答案】 因为 AT=A，B T=B，那么(AB) T=BTAT=BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=BA=AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 矩阵及其运算33 【正确答案】 由 Am=0，有 EAm=E于是 (EA)(E+A+A 2+Am1 )=EAm=E 所以 EA 可逆，且(E 一 A)1 =E+
17、A+A2+Am1 【知识模块】 矩阵及其运算34 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A 1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 =A 2(b 一 TA1 )因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b 一 TA1 ) 由此可知，Q可逆的充分必要条件是 b 一 TA1 0，即 TA1 b【知识模块】 矩阵及其运算35 【正确答案】 (EA)(E+A) 1 (EA)(E+A)1 T =(EA)(E+A)1 (E+A)1 T(EA)T =(EA)(E+A)1 (E+A)T1 (E+A) =(EA)(E+A)1 (EA)1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A)1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA)1 (E+A) =(EA)(EA)1 (E+A)1 (E+A)=E 同理 (E A)(E+A)1 T(EA)(E+A)1 =E 所以 (EA)(E+A) 1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵及其运算
