1、考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A ，那么矩阵 A 的三个特征值是( )（A）1，0，2（B） 1，1，3（C） 3，0，2（D）2，0，32 已知 A 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，1，2，4，那么不可逆矩阵是( )（A）AE（B） 2AE（C） A2E（D）A4E3 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是( )（A）A T（B） A2（C） A-1（D）AE4 已知 (1，2，3) T 是矩阵 A 的特征向量，则( )（A）a2
2、 ，b6（B） a2，b6（C） a2，b6（D）a2 ，b65 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量口是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P-1AP (3)AT (4)E A 肯定是其特征向量的矩阵共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是( )（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量
3、7 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2线性无关，而A33A2A 2，那么矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量是( )（A）（B） A2（C） A2A（D）A 22A3二、填空题8 设三阶方阵 A 的特征值分别为2，1，1，且 B 与 A 相似，则2B _9 设 3 阶矩阵 A 的特征值分别为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A -1E_10 设 3 阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P(3 3， 1，2 2)，则 P-1AP_ 11 已知 A 有一个特征值2，则 BA 22E 必有一个特征值是 _12 设 A 是
4、 n 阶矩阵， 2 是 A 的一个特征值，则 2A23A5E 必定有特征值_13 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_14 已知 A ，A *是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_15 矩阵 A 的三个特征值分别为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 11， 2 31，对应于 1 的特征向量为1 ，求 A17 设矩阵 BP -1A*P，求 B2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵18 设 3 阶方阵 A 的特征值为 12， 22， 31；对应的特征向量依次为
5、求 A19 设 3 阶对称阵 A 的特征值 11， 21， 30；对应 1， 2 的特征向量依次为 求 A20 设 a(a 1， a2，a n)T，a 10，Aaa T， (1)证明 0 是 A 的 n1 重特征值； (2)求 A 的非零特征值及 n 个线性无关的特征向量21 已知 A 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P-1AP22 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1 1 2 3，A 22 2 3，A 32 23 3 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)求可逆矩阵 P 使得 P-1AP 23 设矩阵 A 与 B 相
6、似，且 求可逆矩阵 P，使 P-1APB24 已知矩阵 A 有特征值 5，求 a 的值；并当 a0 时，求正交矩阵Q，使 Q-1AQ 25 设 A ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第一列为(1， 2，1) T，求 a，Q考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据特征值的性质： ia ii 现在a ii1(3)11，故可排除选项 C 显然，矩阵 A 中第 2、3 两列成比例，易知行列式A0，故0 必是 A 的特征值，因此可排除选项 B 对于选项 A 和选项 D
7、，可以用特殊值法，由于 说明 1 不是 A矩阵的特征值故可排除选项 A所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1，1，2，4，所以 A*8，又A *A n-1，因此A 38，于是A 2 那么，矩阵 A 的特征值是：2，2，1， 因此，AE 的特征值是 3，1，2， ，因为特征值非 0，故矩阵 AE 可逆 同理可知，矩阵 A2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A2E 不可逆所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 A【试题解析】 由于E AT(EA) TEA，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 A
8、T 有相同的特征值 由 A ，0 可得到： A2 2，A -1 -1，(AE)(1)， 说明 A2、A -1、A E 与 A 的特征值是不一样的(但 A 的特征向量也是它们的特征向量)所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有 所以4，a 2，b6，故应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A，0，有 A2A()A 2，0 ，即 必是 A2属于特征值 2 的特征向量 又 知 必是矩阵 E A 属于特征值 1 的特征向量关于(2)和(3)则不一定成立这是因为 (P
9、 -1AP)(P-1)P -1AP -1， 按定义，矩阵 P-1AP 的特征向量是 P-1因为 P-1 与 不一定共线，因此 不一定是 P-1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的 线性方程组(EA)0 与(EA T)0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即(2A) ，0 那么 A ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 由于(E A)0 与(EA T)0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量 例如 上例还说明当矩阵 A 不
10、可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量所以应选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A32A 23A0故 (A3E)(A 2A)00(A 2A)，因为 ，A，A 2 线性无关，那么必有 A2A0，所以 A2A 是矩阵 A3E属于特征值 0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量所以应选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题8 【正确答案】 16【试题解析】 因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有 2B2 3 8(2) 16【知识模块】 矩阵
11、的特征值和特征向量9 【正确答案】 3【试题解析】 根据已知条件 A 的特征值为 1，2， 2，A -1 的特征值为 1， ，因此进一步可得 4A-1E 的特征值为 3，1，1，所以 4A-1E3113【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 3 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 P -1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 6【试题解析】 因为 2 是 A 的特征值，所以根据特征值的性质， 22(2)226 是 BA 22E 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量12 【正确答案】 7【试题解
12、析】 如果 是 A 的一个特征值， 是对应于 的一个特征向量，则A ，因此有 A 2A()A 2a 因此可知 (2A 23A5E)2A 23A 5 (2 235)， 所以 22232 57 一定是 2A23A5E的一个特征值【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量13 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 5，化为矩阵形式，可得 满足 ，故矩阵 A 一定有一个特征值为 5【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量14 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 根据矩阵 A 的特征多项式可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1 又因为A i，可得A7因为如果 A，则有A* ，因此 A*的特征
13、值是 1，7，7【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 2，1【试题解析】 EA (2)( 1 )(1 )， 所以 A 的特征值为 12， 21 ， 31【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 假设对应于 2 31 的特征向量为 ( 1， 2， 3)T，根据题设，A 为实对称矩阵，因此 T10，即 2 30，解得 2(1，0，0)T， (0，1，1) T 又由 A(1， 2， 3)( 11， 22， 33)，故有 A( 11， 22， 33)(1， 2， 3)-1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答
14、案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A由于A70，所以 0 又因 A*AAE ，故有 A* 于是有 B(P -1)p -1A*P(P-1) (P-1)， (B2E)P -1( 2)P -1 因此， 2 为 B2E的特征值，对应的特征向量为 P-1 由于EA ( 1) 2(7)， 故 A 的特征值为1 21， 37 当 1 21 时，对应线性无关的两个特征向量可取为当 37 时，对应的一个特征向量可取为 3 由因此，B2E的三个特征值分别为 9，9，3 对应于特征值 9 的全部特征向量为 k 1P-11k 2P-12 ，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数； 对应于特征值 3
15、 的全部特征向量为 k 3P-13k 3 ，其中 k3 是不为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 因为 A 的特征值互异，故 p1，P 2，P 3 线性无关，令 P(p1，p 2，p 3)，P 是可逆矩阵，则 P-1AP 从而 APAP -1 因为 P-1所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量19 【正确答案】 因为 A 为对称阵，故必存在正交阵 Q(q 1，q 2，q 3)，使 QTAQ Q-1AQ 由题意，可将 1、 2 的特征向量单位化，得 由正交矩阵的性质，q3 可取为 0 的单位解向量，则由 可知q3 ，因此【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20
16、【正确答案】 (1)A 为对称阵，故 A 与对角阵diag( 1， 2， n)相似，其中 1， 2， n 是 A 的全部特征值 因为 Aaa T 且 a0，所以 r(A)1，从而r()1，于是 只有一个非零对角元，因此 0 是 A 的 n1 重特征值 (2)设1a Ta， 2 n0 因为 Aaaa Ta(a Ta)a 1a，所以 p1a 是对应于1a Ta 的特征向量对于 2 n0，解方程 A0，即 aaT0 已知a0，因此 aT0，即 a11a 22a nn0，所以其余 (n1) 个线性无关特征向 P2(a 2，a 1，0，0) T， P 3(a 3，0，a 1， ，0) T， Pn(a n
17、，0，0，a 1)T【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 A 的特征多项式为：则 A 的特征值为 12n 1， 2n1，其中 n1 为重根 当 12n1 时，解齐次方程组( 1EA) 0，对系数作初等变换，有得到基础解系1 (1，1， ，1) T 当 2n1 时，齐次方程组( 2EA)0 等价于1 2 n0，得到基础解系 2(1，1，0，0)T， 3(1，0，1，0) T， n(1，0，0，1) T 则 A 的特征向量是：k 12 和 k22k 33k nn【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 (1)由已知可得 A( 1， 2， 3)( 1 2 3，2 2
18、3，2 23 3)( 1， 2， 3) 记 P1( 1， 2， 3)，B ，则有 AP1P 1B 由于 1， 2， 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以 P1-1AP1B，因此矩阵 A 与 B 相似，则 EB ( 1) 2(4)， 矩阵 B 的特征值是1，1，4，由相似矩阵的性质，故矩阵 A 的特征值为 1，1，4 (2)由(E B)0，得矩阵 B 对应于特征值 1 的特征向量 1(1，1，0) T， 2(2，0，1) T；由(4EB)0，得对应于特征值 4 的特征向量 3(0，1，1) T 令P2( 1， 2， 3) ，得 P2-1BP2 则 P2-1P1-1AP1P2即当 PP 1P2(
19、 1， 2， 3)( 1 2，2 1 3， 2 3)时，有 P -1AP【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 由于 AB，则有， 于是得a5，b6 且由 AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是1 22， 36 当 2 时，解齐次线性方程组(2EA)0 得到基础解系为1 (1，1， 0)T， 2(1，0，1) T，即属于 2 的两个线性无关的特征向量 当6 时，解齐次线性方程组(6EA)0，得到基础解系是 (1，2，3) T，即属于6 的特征向量 那么，令 P( 1， 2， 3) ，则有 P-1APB【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因
20、人=5 是矩阵 A 的特征值，则由 5EA 3(4a 2)0， 可得 a2 当 a2 时，则由矩阵A 的特征多项式 EA (2)(5)( 1)， 知矩阵 A 的特征值是 1，2，5 由(EA) 0 得基础解系 1(0，1，1) T； 由(2EA) 0 得基础解系 2(1，0，0) T； 由(5EA)0 得基础解系3 (0，1，1) T 即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3 由于实对称矩阵不同特征值的特征。向量相互正交，故只需单位化，有那么， 令 Q( 1， 2， 3) ，则有 Q-1AQ【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 知矩阵 A的特征值是：2，5，4 对 5，由(5EA) 0，对系数矩阵作初等变换得出基础解系 2(1，1，1) T 对 4，由(4EA) 0，对系数矩阵作初等变换 得基础解系 3 (1， 0，1) T 因为 A 是实对称矩阵，不同的特征值特征向量相互正交，故只需单位化 1， 2 有 2 (1，1，1) T， 3 (1，0，1) T 那么令 Q，则有 QTAQQ -1AQ【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
