1、考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (02 年 )设有三张不同平面的方程 ai1x+ai2y+ai3z=b，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为2 (03 年 )设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解；则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B
2、)则 Ax=0 与 Bx=0 同解以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）3 (11 年 )设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 44 (15 年 )设矩阵 ，若集合 =1，2 ，则线性方程组Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为二、填空题5 (98 年 )设 A 为 n 阶矩阵， |A|0，A*为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A有特征值 ，则(A*) 2+E 必有特征值是_6 (9
3、9 年 )设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 (01 年 )设 1， 2， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t13， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系8 (02 年 )已知方阵 A=1 2 3 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的解9 (03 年 )已知平面上
4、三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+Zby+3c=0 l 2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=010 (04 年) 设有齐次线性方程组 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解11 (05 年) 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a ，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B=(k 为常数) 且 AB=O，求线性方程组 AX=0 的通解12 (06 年) 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(I)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；() 求 a，b 的值及方程组的通解13 (07 年) 设线性
5、方程组 与方程()：x 1+2x2+x3=a 一 1有公共解，求 a 的值及所有公共解14 (08 年) 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中(I)证明行列式|A|=(n+1)an；() 当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；() 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解15 (09 年) 设 (I)求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；()对(I)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关16 (10 年) 设 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解(I)求 ，a；( )求方程组 Ax=b 的通解17 (12 年) 设 (I
6、)计算行列式 |A|；()当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解18 (13 年) 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C.19 (14 年) 设 ，E 为 3 阶单位矩阵 (I)求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B20 (16 年) 设矩阵 当 a 为何值时，方程 Ax=B 无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时，求解此方程21 (88 年) 已知矩阵 (1)求 x 与 y；(2)求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P22 (89 年) 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1)
7、 为 A-1 的特征值；(2) 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值23 (92 年) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为(1)将 用 1， 2， 3 线性表出(2)求 An(n 为自然数 )24 (95 年) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为 1=(0，1，1) T，求 A25 (97 年) 已知 的一个特征向量(1)试确定参数 a、b 及特征向量 所对应的特征值；(2)问 A 能否相似于对角阵?说明理由26 (99 年) 设矩阵 其行列式|A|=1 ，又 A 的伴随矩阵 A*有一个特征值为 0
8、，属于 0 的一个特征向量为 =(一 1，一 1，1) T，求 a、b、c 和0 的值27 (00 年) 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量 (1)求 的关系式并写成矩阵形式： (2)验证 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；(3)28 (02 年) 设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)
9、 的逆命题不成立(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立29 (03 年) 设矩阵 矩阵 B=p-1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵30 (04 年) 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论A 是否可相似对角化考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设由三个平面方程联立所得线性方程组为 Ax=b，则由题设条件知Ax=b 有解，且因其导出组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 3 一 r(A)=
10、32=1，故 Ax=b 的通解具有如下形式： 这显然是一空间直线的方程，故此时三个平面必交于一条直线，因而只有(B)正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a 一 1)(a 一 2)=0，即 a=1 或 a=2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 因 为 A 的特征值，故存在非零列向量 X，使
11、AX=X 两端左乘 A*并利用 A*A=|A|E，得|A|X=A*X 因为 A 可逆，故 0，两端同乘 得两端左乘 A*，得 两端同加X，得【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1=n， 2=3= n=0【试题解析】 由即得 A 的特征值为 1=n， 2=3= n=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由 A1=A(t11+t22)=t1A1+t2A2=0+0=0，知 1 为 Ax=0 的解，同理可知 2， 3， s 均为 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 s 个向量，故Ax=0 的任何 s 个线性无关的解都可作为 Ax=0 的
12、【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 得 x11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将 1=22 一 3 代入上式，整理后得(2x 1+x2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则二元线性方程组=3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2及(a-b) 2+(b-c)(c-a)20，(否则 a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以 a+b+c=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：(1)当 a=0时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x
13、2+xn=0 由此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n-1=(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由 AB=O 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0必有非零解，要求其通解只要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3 一 r(A)，所以需要先确定 A 的秩 r(A)由于 AB=O，故 r(A)+r(B)3，又由a，b，c 不全为零，可知 r(A)1当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1；当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=1 或 r(A)
14、=2(1) 当 k9 时，因 r(A)=1，知 Ax=0 的基础解系含2 个向量又由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1=1 一 2， 2=1 一 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由及 1， 2， 3 线性无关，知向量组 1， 2 线【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 方程组(I)的系数矩阵 A 的行列式为(1)当|A|0，即 a1且 a2 时，方程组(I)只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1 且a2 时， (I)与
15、() 无公共解；(2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换得方程组(I)的通解为 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，()是(I)的一个方程，(I)的解都满足() 所以，当 a=1时，(I)与( )的所有公共解是 x=c(1，0，一 1)T【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (I)记 Dn=|A|，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an当 n=1 时，D1=2a，结论成立；当 n=2 时， 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得=2aDn-1a2Dn-2 (代入归纳假设Dk=(k+1)ak， kn)=2ana【知识模块
16、】 线性代数15 【正确答案】 (I)设 2=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由得 x1=一 x2，x 3=12x2(x2 任意)令自由未知量 x2=一 c1，则得设 3=(y【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (I)因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有|A|=0 ，而|A|=( 一 1)2(+1)，于是 =1 或 =一 1当 =1 时，因为 r(A)rA|b，所以 Ax=b无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1当=一 1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ax=b 有解，所以a=一 2(II)
17、 当 =一 1、a=一 2 时， 所以，任意，令自由未知量 x3=k，则得 Ax=b 的通解为【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (I)按第 1 列展开，得|A|=1+a(-1) 4+1a3=1-a4()若方程组 Ax= 有无穷多解，则|A|=0由(I)得 a=1 或 a=一 1当 a=1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)r(A|)，故方程组Ax= 无解；当 a=一 1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)=r(A|)=34，故方程组 Ax= 有无穷多解，其通为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设矩阵 ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 AC
18、CA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a一 1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解当 a=一 1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为综上，当且仅当 a=一 1 且b=0 时，存在满足条件的矩阵 C，且【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (I)对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选取 x4 为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=一 x4，x 2=2x4，x 3=3x4(x4 任意)令 x4=1，则得方【知识模块】
19、 线性代数20 【正确答案】 对矩阵A|B施以初等行变换(1)当 a1 且 a一 2 时，矩阵 A 的秩等于矩阵A|B的秩且等于 3，故此时方程AX=B 有唯一解，由得方程 Ax=B 的唯一解为 (2)当 a=1 时，由于所以此时方程 AX=B 有无穷多解，且(3)当 a=一 2 时，由 可知矩阵 A 的秩小于矩阵A|B 的秩，所以此时方程 AX=B 无解【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)因 A 与 B 相似，故|E 一 A|=|E-B|，即亦即 ( 一 2)(2 一 x 一 1)=( 一 2)2+(1 一 y)-y，比较上式两端关于 的同次幂的系数，得 x=0，y=1(2) 由
20、(1)，有 计算可得 A 的对应于特征值 2，1，一 1 的特征向量分别可取为 因 p1，p 2，p 3 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关令矩阵 则P 可逆，且有 P-1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由已知，有非零向量 满足 A=，两端左乘 A-1，得 =A-1因 0，故 0，于是有 A-1= 为 A-1 的一个特征值( 为对应的一个特征向量)(2)由于为 A*的特征值【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)设 =x11+x22+x33，即得唯一解 x1=2，x 2=一 2，x 3=1，故 =21 一 22+3(2)A n=An(21 一 22【知识模块】
21、线性代数24 【正确答案】 对应于 2=3=1 有两个线性无关的特征向量 2， 3，它们都与 1正交，故可取【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由解得 a=一 3，b=0 ，= 一 1(2) 由 知 =一 1是 A 的 3 重特征值但 从而 =一 1 对应的线性无关特征向量只有 1 个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题设，有 A*=0 两端左乘 A，并利用 AA*=|A|E=一 E(已知|A|=一 1)，得一 =0A解之得0=1，b= 一 3，a=c 由|A|=-1 和 a=c，有 故a=c=2因此 a=2，b= 一 3，c=2， 0=1【知识
22、模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)由题设，有(2)由于 1与 2 的对应分量不成比例，故 1 与 2 线性无关因 A1= =1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值为 1=1因 故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值为 (3)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)由 A， B 相似知，存在可逆方阵 P，使 P-1AP=B，故|E 一B|=|E-P-1AP|=|P-1EPP-1AP|=|P-1(E 一 A)P|=|P-1|E 一 A|P|=|P-1|P|E 一 A|=|E一 A| |E-A|=2=|E-B|但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P-1【知识模块
23、】 线性代数29 【正确答案】 经计算可得于是由 B+2E 的特征方程 得 B+2E 的特征值为 1=2=9， 3=3对于 1=2=9，由 得对应的线性无关特征向量可取为 所以对应于特征值1=2=9 的全部特征向量为 k11+k22=k1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A 的特征多项式为=( 一 2)(2 一8+18+3a) (1)若 =2 是 f()的二重根，则有( 2 一 8+18+3a)|=2=22 一 16+18+3a 一3a+6=0，解得 a=一 2当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA=的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化(2)若 =2 不是 f()的二重根，则 2 一 8+18+3a 为完全平【知识模块】 线性代数
