1、考研数学一（随机事件与概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2006 年试题，二) 设 A，B 为随机事件，且 PB0，P(AB)=1，则必有( )（A）P(AUB)P(A)（B） P(AUB)P(B)（C） P(AUB)=P(A)（D）P(AUB)=P(n)2 (1998 年试题，二) 设 A， B 是两个随机事件，且 00，P(BA)= ，则必有( )（A）（B）（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)3 (2007 年试题，一) 某人向同一目标独立重复
2、射击，每次射击命中目标的概率为p(0=若 PX（A）（B）（C）（D） 1-10 (2012 年试题，一) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为4 的指数分布，则 Px0)，且二次方程y2+4y+X=0 无实根的概率为 ，则 p=_25 (1998 年试题，一) 设平面区域 D 由曲线 及直线 y=0，x=1，x=e 2 所围成，二维随机变量(X，Y) 在区域 D 上服从均匀分布，则(X，Y)关于 X 的边缘概率密度在x=2 处的值为_.26 (2003 年试题，一) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为则 PX+Y1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤。27 (2005 年试题，一) 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2=_28 (1997 年试题，九) 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 没 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变最 X 的分布律、分布函数和数学期望28 (2006 年试题，22) 设随机变量 X 的概率密度为 令Y=X2，F(x ， y)为二维随机变量 (X，Y)的分布函数求29 Y 的概率密度 fy(y)；30 30 (2012 年试题，三) 设二维离散型随机变量 X、Y 的概率分布为31 求
4、 PX=2Y；32 求 Cov(XY，Y)与 xy32 (2011 年试题，三) 设随机变量 X 与 y 的概率分布本别为且 P(X2=Y2)=133 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；34 求 Z=XY 的概率分布；35 求 X 与 y 的相关系数 xy35 (2009 年试题，22) 袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数36 求 PX=1Z=0；37 求二维随机变量(X，Y)概率分布37 (2001 年试题，十一) 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位
5、乘客在中途下车的概率为 p(02Y；45 求 Z=X+Y 的概率密度45 (2005 年试题，22) 设二维随机变量(X，Y) 的概率密度为求：46 (X， Y)的边缘概率密度 fX(x)fY(y)；47 Z=2XY 的概率密度 fZ(Z)48 (2006 年试题，一) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1=_.考研数学一（随机事件与概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 根据乘法公式和加法公式有 P(AB)=P
6、(B)P(AB)=P(B)e(aB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)故选 C【知识模块】 随机事件与概率2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 ，有 ，由 及，有，化简为P(AB)=P(A)P(B)，选 C由 知，事件 A 是否发生不影响事件 B 发生的条件的概率，故而事件 A 和 B 相互独立除此之外，事件 A 与 B 独立的充要条件还有：(1)P(AB)=P(A)P(B)(独立性定义)；(2) ；(3)P(AB)=P(A)；(4)A 与 独立或 与 B 独立或 与 独立【知识模块】 随机事件与概率3 【正确答案】 C【试题解析】 此人第 4 次射击恰好第 2 次命中，则前 3
7、 次射击中只有一次命中目标，则此概率为：C 31(1 一 p)2.p=3p2(1 一 p)2，故应选 C【知识模块】 随机事件与概率4 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D 项有，故选 D【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 A【试题解析】 依题意可知, 根据概率密度的基本概念知，即有 2a+3b=4，故正确答案为 A【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 C【试题解析】 故正确答案为 C【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，X 1 与 X2 独立 f1(x)及 f2(x)是相应的概率密度， F1(x)与 F2(x)是相应的分布函数，由于
8、因此 f1(x)+f2(x)不是某一随机变量的概率密度，A 可排除 f1(x).f2(x)也不是概率密度，可举反例说明，如设 且 f2(x)=f1(x)，即 X1，X 2 皆为区间0， 2上的均匀分布，则 同时F1(x)+F2(x)=21，因此 F1(x)+F2(x)也不是某一随机变量的分布函数，故B，C 也不正确综上，只有 D 为正确，事实上，F 1(x).F2(x)单调不减，右连续，且有 F1(x)F2(x)=1 和 F1(x)F2(x)=0，所以 F1(x).F2(x)是某一随机变量的分布函数，选 D事实二，由结论“设随机变 X 与 y 相互独立，它们的分布函数分别为F1(x)与 F2(
9、x)，则 z=maxX，y 的分布函数为 FZ(z)=F1(x).F2(x)”知选 D【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 1854 由于以及 PX一 1PY 一 2 由此得 即 12故选A计算正态分布 N(， 2)中随机变量 X 在某一条件下的概率时，一般的做法是：先将 X 标准化， ，再计算相应的概率【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，XN(0，1)，则 PX=1 一 (u)=，即 (u)=1 一 ，其中 (x)为 N(0，1)的分布函数，从而,PX 综上知，选 C解析二本题也可采用以下方法求解，由于 XN(0，1)，则
10、 PX一 x=PXx由已知 PXu=知 PXx=12PXx= 因此 ，所以 本题考查了概率计算和标准正态分布概率密度的性质，实际上题中的u就是标准正态分布的上分位数【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意可知，X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 和参数为 4的指数分布，则有 因此 X 和 Y 的联合分布为: 那么。因此选 A【知识模块】 多维随机变量及其分布11 【正确答案】 A【试题解析】 因 X 与 Y 不相关，即相互独立，故 PX=x，Y=y=PX=x.PY=y则由定义知 两边求导，即得：f XY (x y)=fx(x)故应选 A对于连续型二(x
11、，y)=f x(x)fy(y) fYX (yx)=f y(y)fX Y(xy)=f x(x)【知识模块】 多维随机变量及其分布12 【正确答案】 B【试题解析】 F z(z)=P(XYz)=P(XYzY=0)P(Y=0)+P(XYzY=1)P(Y=1)因为随机变量 X 和 Y 相互独立，所以显然 z=0 是唯一间断点，故正确答案为 B本题虽要求间断点个数，实则考查的还是随机变量分布函数的求解【知识模块】 多维随机变量及其分布13 【正确答案】 A【试题解析】 设 Z 的分布函数为 G(x)因为随机变最 X，Y 独立同分布，所以有G(x)=P(Zx)=P(maxX,Yx)=P(Xx)P(Yx)=
12、F(x)F(x)=F2(x)故应选 A【知识模块】 多维随机变量及其分布14 【正确答案】 B【试题解析】 由已知，X，Y 独立且都服从正态分布，则 X+Y 也服从正态分布，且有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2 因此 X+Y 一 N(1，2)，又任何一般正态分布都可通过线性变换化为标准正态分布，因此，于是有综上，选 B解析二若随机变量 z 服从正态分布 N(， 2)，则一定有 ，又E(X+Y)=1，故正确答案为 B【知识模块】 多维随机变量及其分布15 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意有 PX=0，X+Y=1=PX=0，Y=1=aPX=0=PX
13、=0，Y=0+PX=0 ， Y=1=a+04PX+Y=1=PX=0，Y=0+PX=0 ，Y=0=a+b=05 解上面的方程组得 05(a+04)=a，a+b=05，得a=04 ，b=01所以选 B【知识模块】 多维随机变量及其分布二、填空题16 【正确答案】 设随机取到的两个数为 x,y则 的概率可以利用二维图形来做，0 的如图中阴影部分所示，概率为面积之比，即为.【知识模块】 随机事件与概率17 【正确答案】 定义 A1 为第 1 人取得黄球，A 2 为第 2 人取得黄球，则由全概公式，有 解析二由抽签原理知，第 1 个人和第 2 个人取得黄球的概率均为：；解析三记 A 为“ 第 2 个人取
14、得黄球” ，则由右典概型知，【试题解析】 这也是一道典型的抽签原理问题即一般地，设一个口袋中有 a 个白球，b 个黄球，不放刚地从中任意依次将球摸出，则第 k(1ka+b)次摸到黄球的概率为 ，是一个常数【知识模块】 随机事件与概率18 【正确答案】 由条件概率定义， 出题设 A，C 互不相容，则AC=，P(AC)=0 ，P(ABC)=0，而 ，得 ，而因此 【知识模块】 随机事件与概率19 【正确答案】 由题设， 且 及 A，B 独立，于是P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(AB)，即 P(A)=P(B)，此外解此二元一次方程，得P(A)=23【试题解析】 A 与 B、A 与 与 与 中
15、有一对相互独立，则其余三对亦相互独立但应清楚相互独立与互不相容之间没有包含关系【知识模块】 随机事件与概率20 【正确答案】 结合题设， ，且 A，B ，C 两两独立，则有从而 ，解得【试题解析】 方程 还有另一个解 ，因其与相矛盾，故而舍去【知识模块】 随机事件与概率21 【正确答案】 根据概率的基本性质可知 则 C=e-1故而 即随机变景 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 E(X)=D(X)=1，因而 E(X2)=D(X)+E(X)2=1+12=2【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 因为随机变量 x 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1，则 E(X2)=
16、D(X)+(E(X)2=1+1=2根据泊松分布的概率公式可得【试题解析】 本题考查了泊松分布的数字特征和概率公式，若考生没有记住；本题就无从下手了【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 由题设，X 服从参数为 A 的指数分布，则 ，且 X 的概率密度函数为 从而【试题解析】 本题考查了指数分布的期望和方差等数字特征以及有关概率的计算应熟知常见分布的数字特征及其概率计算【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 由题设，方程无实根的充要条件是根的判别式从而 4 一 =0，=4【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 由题设，应首先确定区域 D 的几何特征如图 33 一 1
17、 所示易求得面积 因此可得出(X，Y)的联合概率密度为再由边缘密度的计算公式，有因此【试题解析】 本题是一道综合题，涉及到的知识点有：(1)分析问题写出服从某区域上二维均匀分布的概率密度；(2)由联合概率密度求边缘概率密度；(3)用定积分或二重积分计算平面图形的面积【知识模块】 多维随机变量及其分布26 【正确答案】 由题设， 其中积分区域如图 333 所示，则【试题解析】 本题易错的地方在于积分区域的选取，实际的积分区域是 0xy1与 x+y1的交集，而不是简单的区域 x+y1【知识模块】 多维随机变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 由题意可知：
18、事件X=l，X=2,X=3，X=4是一个完备事件组，而且， 条件概率由全概公式可得【试题解析】 此题也可用乘法公式和联合概率分布公式求得【知识模块】 随机事件与概率28 【正确答案】 由题设，在每个交通岗遇见红灯独立，则 且 X 可能取值为 0，1，2，3， 从而 X的分布函数为 X 的数学期望为【知识模块】 随机变量及其分布【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 依题意，因为 P一 1当 y4 时，PYy=1 综上所述，Y 的分布函数为 y 的概率密度为【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 【知识模块】 随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布31 【正确答案
19、】 【知识模块】 多维随机变量及其分布32 【正确答案】 Cov(XY，Y)=Cov(X ，Y)一 Cov(Y，Y)=(EXY EXEY)一EY 2一(EY) 2由题可得 X，Y 及 XY 的分布 再分别求得 因此【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布33 【正确答案】 P(X 2=Y2)=1P(X 2Y2)=0 即 P(X=0，Y=1)=P(X=0，Y= 一 1)=PX=1，Y=0=0P(Y=1)=P(x=0，Y=1)+P(X=1，Y=1)= 故 P(X=1，Y=1)= 故得(X， Y)的概率分布如下表：【知识模块】 多维随机变量及其分布34 【正确答案】 Z
20、取值为一 1，0，1P(XY=一 1)=P(X=1，Y=一 1)= p(XY=0)=P(X=0，Y=0)+p(X=0，Y=1)+p(X=0，Y=一 1)+p(X=1，Y=0)= P(XY=1)=P(X=1，Y=1)= ,则有下表【知识模块】 多维随机变量及其分布35 【正确答案】 ，所以 XY=0.【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布36 【正确答案】 PX=1 Z=0表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，即相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中有 1 个为红球，1 个为黑球的概率故所求概率【知识模块】 多维随机变量及其分布37 【正确答案】
21、X，Y 取值范围为 0，1，2，则故二维随机变量(X，Y)概率分布可列表如下：【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布38 【正确答案】 由题设，已知发车时 X=n 条件下，每个乘客中途是否下车可视为一次伯努利试验，从而【知识模块】 多维随机变量及其分布39 【正确答案】 由已知 因此【试题解析】 本题的综合性很强，涉及的考点比较多，如条件概率公式、乘法公式、贝努利概型、泊松分布的概率计算公式以及二维离散型随机变量概率分布的计算等等，要求考生的知识面要广，要牢靠【知识模块】 多维随机变量及其分布40 【正确答案】 已知 X 与 Y 独立，则 pij=P(X=xi=y
22、j)=P(X=xi).P(y=yj)3，经简单四则运算，可得【试题解析】 本题考查了二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律之间的关系以及概率中的一些基本性质，比较简单【知识模块】 多维随机变量及其分布41 【正确答案】 随机变量(X，Y)的概率密度可变形为利用概率密度的性质可得 (利用正态分布的概率密度性质，即 ),则 随机变量(X，Y) 的概率密度为 ,X 的边缘概率密度为则条件概率密度为【试题解析】 求积分 时亦可利用泊松积分 来求解，即【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布42 【正确答案】 因为 Z=X+Y，所以【知识模块】 多维随机变量及其分布43
23、【正确答案】 因为 Z=X+Y，故随机变量 Z 的概率分布函数 F(z)=P(Zz)=P(X+Yz)显然当 z2 时，所有的 X，Y 均满足上式，即有 F(z)=1；相反当 z当一 1z当 0z当 1z故可得到随机变最 Z 的概率分布函数为【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布44 【正确答案】 其中 D 为 02y 的区域，求此二重积分可得【知识模块】 多维随机变量及其分布45 【正确答案】 F Z(z)=PZz=PX+YZ当 z0 时，F Z(z)=0；当 z2 时，Fz(z)=1；当 0 当 1于是解析二(I)同解析一(II) 直接求概率密度 fz(z)，即
24、当 z0 或 z2 时 fz(z)=0；当 0当 1z 故随机变量 Z=X+Y 的概率密度为：【知识模块】 多维随机变量及其分布【知识模块】 多维随机变量及其分布46 【正确答案】 根据题意，作图如图 332 所示(I)当 0当 x0 或 x1 时，f x(x)=0即有由此可计算得【知识模块】 多维随机变量及其分布47 【正确答案】 当 z0 时，F z(z)=0；当 z2 时，F z(z)=1；当 0Z 的概率密度为解析二(I)同解析一()因为P02XY12 时 fz(z)=0；当 0 1952 故随机变量 z 的概率密度为 解析三(I)同解析一()因为(X，Y) 的联合概率密度在直角三角形区域 D=(x，y)10 1 上取值的概率与该子区域面积成正比，即 求导得概率密度为【知识模块】 多维随机变量及其分布48 【正确答案】 由已知条件得解析二因为随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，所以二维随机变量(X ， Y)服从区间 S=(x，y)10x，y3上的二维均匀分布，从而有几何概率公式知：【知识模块】 多维随机变量及其分布
