1、考研数学一（随机变量及其分布）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是2 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（A）f(2x)（B） 2f(x)（C） f(x)（D）f(x )3 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布（A）N(1 ，1)（B） N(1， )（C） N(1， )（D）N(0 ，1) 4 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密 f1(x)为（A）f 1(x)=
2、 f(x)+f(一 x)（B） f1(x)=f(x)+f(一 x)（C） f1(x)=（D）f 1(x)=二、填空题5 抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= 则随机变量 X 在区间上取值的概率为_6 已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_(099 8004475)7 袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到
3、2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k=_(k=1，2，)8 设随机变量 X1 服从参数为 p(0P1)的 0-1 分布，X 2 服从参数为 n，P 的二项分布，Y 服从参数为 2p 的泊松分布，已知 X1 取 0 的概率是 X2 取 0 概率的 9 倍，X 1取 1 的概率是 X2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0=_，PY=1=_9 设随机变量 X 与一 X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则 b=_10 已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， 2)=_11 设离散型随机变量 X 的
4、概率分布为则随机变量 Y=3X25的概率分布为_12 若 aex2+x 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_13 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一 1X1= ，则 a=_，b=_14 设随机变量 X 服从正态分布 N(，2 2)，已知 3PX15=2PX 15 ，则PX 一 12=_15 设随机变量 X 的概率密度 f(x)= ，且 P1X 2=P2X3，则 A=_，B=_；P2X 4=_；分布函数 F(x)=_16 已知随机变量 YN(， 2)，且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 ，则未知参数=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设随机变量 X 的分
5、布律为 求 X 的分布函数 F(x)，并利用分布函数求 P2X6，PX4 ，P1X518 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 4594 试求：()常数C；()概率 P X1)；()X 的分布函数19 设随机变量 X 的分布函数为 求 P04X1 3，PX05，P17X2以及概率密度 f(x)20 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，求随机变量 Y 的概率密度21 设离散型随机变量 X 只取1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是a2，一 a 与 a2，求 X 的分布函数22 已知随机变量 X 的概率分布为且 PX2= ，求未知参数 及X 的分布函数 F(x)23 已知
6、袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4 次白球为止试求抽取次数 X 的概率分布24 随机地向半圆 0y (a 为正常数) 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用 X 表示原点到该点连线与 x 轴正方向的夹角，求 X 的概率密度25 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 PX=0= 已知当 X0 时，X 在其他取值范围内服从均匀分布，求 X 的分布函数 F(x)26 设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X 的分布律；()若当
7、X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布， k=1，2，3，4，求PY227 设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X 服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (0 1)据统计资料，该地段在一个月内发生 8 次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)28 假设测量的随机误差 X 一 N(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5=0007)29 设随机变量 X 的分布函数为 已知Y=sin
8、 ，求Y 的分布函数30 设离散型随机变量 X 服从参数为 p(0P1)的 0-1 分布()求 X 的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)31 已知随机变量 X 的分布函数 FX(x)= (0)，Y=lnX()求 Y的概率密度 fY(Y)；() 计算 PYk32 已知随机变量 XN(0，1)，求：()Y= 的分布函数；()Y=e X的概率密度；()Y=X 的概率密度(结果可以用标准正态分布函数 (x)表示)考研数学一（随机变量及其分布）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
9、 对于(A) ：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确对于(B)：由于 F(1+0)=1 =F(1)，即 F(x)在点 x=1 处不是右连续的，因此(B)不正确对于(C) ：由于 F(x)在(0，1)内单调减小，不满足分布函数 F(x)是单调不减这一性质，因此(C)不正确故选 (D)【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 C【试题解析】 根据概率密度的充要条件逐一判断对于(A)：1，故(A)不对对于 (B)： f(x)dx=21，故(B)不对对于(C)：f(一 x)=f(一 x)0，且故(C)满足概率密度的充要条件，选(C) 对于 (D)：f(x)dx，由于 2 f(x)
10、dx 不一定等于 1，故不选【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 B【试题解析】 正态分布 N(， 2)的概率密度函数为 f(x)= ，一x+ ，由于 f(x)的驻点是 x=，且 f()=所以 xN(1， )，故选(B)【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 D【试题解析】 设X的分布函数为 F1(x)，则当 x0时，F 1(x)=PX x=0 ，从而 f1(x)=0；当 x0 时， F1(x)=PXx=P一 xXx= f(x)dx=F(x)一F(一 x)，从而有 f 1(x)=f(x)+f(一 x)由上分析可知，应选 (D)【知识模块】 随机变量及其分布二、填空题5 【正确
11、答案】 【试题解析】 随机变量 X 的概率分布为 因为事件 X2=X=1 ，所以【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 055【试题解析】 如果用 x 表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1 一 PX=0显然 0X8，如果将 “检验一次”视为一次试验，那么 X 就是 8 次试验，事件 A=“10 件产品中至少有一件次品 ”发生的次数，因此XB(8，P)，其中 p=P(A)如果用 Y 表示 10 件产品中次品数，则YB(10，001)， p=P(A)=PY1=1 一 PY=0=1 一(1001) 10=1099 10 所求的概率为 PX1=1 一 PX
12、=0=1 一(1 一 P)8=1 一 099 80=104475055【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 【试题解析】 若记 Ai=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai 相互独立，根据超几何分布知 P(Ai)= ，再由几何分布即得【知识模块】 随机变量及其分布8 【正确答案】 【试题解析】 由于 Y 服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 P 的值PX 1=0=1 一 p q，PX 1=1=P，PX 2=0=qn， PX 2=1=npqn1 依题意有 于是 PY=0=e =【知识模块】 随机变量及其分布9 【
13、正确答案】 【试题解析】 若 xUa，b，则一 XU一 b，一 a，由 X 与一 X 同分布可知a=一 b，即 xU一 b，b于是有由题设 f2(x)也是概率密度，则由【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 P x0=1，Px0=0，应用全概率公式得【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 【试题解析】 由于 Px=2=PY=3X 25=PY=3(2) 25=PY=7=0 1， PX=1=PY= 2=02，PX=0：PY=5=01，PX=1=PY= 2=0 3， PX=2=PY=7=02，PX=3=PY=22=01，因此 Y 可能取值为5，2，7，22
14、，其概率分布为 PY=5=0 1PY=2=0 2+03=05，PY=7=01+02=03，PY=22=01，于是 Y=3X25 的概率分布为【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 aex2+x dx=1，又于是【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即一 a+b= 又因 PX=1=P一 1X1一 P一 1X1=F(1)一 F(一 1)一，于是有 F(10)=F(1)一 PX=1= 即 a+b= 联立 与解得 a=【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】
15、 06826【试题解析】 求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数与 ，题设中已知 =2，需先求出 由于 PX 15=从而依题意，查标准正态分布表，可得=1因 XN(1 ，2 2)，所以 N(0 ，1) ，于是 PX 一12=P 1=2(1)一 1=06826【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 【试题解析】 由于 1= A+B，又 P1X 2=P2X3，即 ，且且 P2X4=F(4 一 0)一 F(2)=1 一【知识模块】 随机变量及其分布16 【正确答案】 【试题解析】 已知 Y 一 N(， 2)，且 P方程有实根=P14Y0=PY ，即【知识模块】 随机
16、变量及其分布三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 X 为离散型随机变量，其分布函数为 F(x)= Pi，这里和式是对所有满足 xix 的 i 求和，本题中仅当xi=1， 4，6，10 时概率 PX=xi0，故有当 x1 时，F(x)=PXx=0；当 1x4时，F(x)=PXx=PX=1=26；当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36；当 6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=56；当 x10 时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1于是P2X6=F(6)一 F(2)=5613=12，PX4=F(4)PX
17、=4=121 6=13，P1X5=P1 X5+PX=1一 PX=5=F(5)一 F(1)+130=1 213+13=1 2【知识模块】 随机变量及其分布18 【正确答案】 () 由 1= ()P()分布函数 F(x)= f(t)dt，由于 f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行要注意的是不管 x 处于哪一个子区间，积分的下限总是“一”，积分 f(t)dt由(一 ，x) 的各个子区间上的积分相加而得当 x0 时，F(x)= 0dt=0：当 0x2 时，F(x)=当 x2 时，F(x)=因此【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 P04 X1
18、3=F(13)一 F(04)=(1 305)一=0 6，PX 05=1 一 PX05=1 一 F(05)=1 一=0 75 P17X2=F(2)一 F(17)=11=0；【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 用分布函数法先求 Y 的分布函数 Fy(y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度 fX(x)与分布函数 FX(x)分别为FY(y)=PYy=PsinXy当一 1y1 时，F Y(y)=PXarcsiny=FX(arcsiny)=arcsiny；当 y一 1 时，F Y(y)=0； 当 y1 时，F Y(y)=1因此 Y 的概率密度为 fY(y)为【知识模块】 随机
19、变量及其分布21 【正确答案】 应用离散型随机变量分布律的基本性质 pi=1 与pi0，i=1 ，2 ，有 2a2 一 a=1 ，a=1(舍去)则 X 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 由 PX2=1 一 PX=1=1 一 2= 又 PX=2=2(1 一 )0，故取 = ，从而得 X 的概率分布于是 X 的分布函数【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 显然 X 可能取的值为 4，5， k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“ 取到白球”的概率 P 不变，并且都是 P= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=P4，PX=5=P
20、前 4 次抽取取到 3 个白球 1 个黑球，第 5 次取到白球故 X 的概率分布为 PX=k= (1 一 p)k4 P4，其中 k=4，5， ，且 P=【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 设比例系数为 ，而点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 因此，当 0x 时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积 a2；分子面积 S 是三角形 BOA 与扇形 ABC 的面积之和，即 S= (2x+sin2x)因此，当 0x 时，F(x)=PXx= (2x+sin2x)综上分析所求的 X 的概率密度为 f(x)=【试题解析】 由图 21 看出，X 取值在(0，
21、 )内，由于 X 是一个连续型随机变量，我们通过它的分布函数 F(x)求其概率密度 f(x)【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)依题意PX1=P一 1X1=1， PX=0= ， PX0= 又除 0 点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 = ，故有当 x1 时，F(x)=0 ；当 x1 时，F(x)=1 ；当一1x0 时，F(x)=PXx=PX1+P一 1Xx= x 一(一 1)= (x+1)；当0x1 时，F(x)=PXx=PX0+PX=0+P0 Xx综上
22、得【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 () 随机变量 X 的可能取值为 1， 2，3，4，设事件 Ai 表示第 i 个盒子是空的(k=1，2，3，4) ，则 PX=1=1 一 P(A1)=1 一或 PX=4=1一 于是 X 的分布律为()由于当 X=k 时，随机变量 Y在0， k上服从均匀分布，故 PY2X=1=PY2X=2=1，PY2X=3= ，PY2 X=4= 由全概率公式即得【知识模块】 随机变量及其分布27 【正确答案】 先确定 X 的分布参数 ，由于 PX=8=25PX=10 ，即计算出 Y 服从参数为 的泊松分布，即 一个月内无重大交通事故的概率 p=PY=0=e03
23、 一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有 11 个月无重大交通事故，其概率为 Pz=11+Pz=12= e33 (1 一 e03 )+e36 =0142【试题解析】 此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数 Y 的概率分布，据此可求出概率 p=PY=0如果用 Z 表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z 服从二项分布 B(12，p)【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 记事件 A=“100 次独立测量中至少有 3 次测量误差 x 的绝对值大于 196”=“100 次独立测量中，事件X196 至少发生 3 次” ，依题意，
24、所求 =P(A)如果记事件 C=X196，Y 表示 100 次独立测量中事件 C 发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中 p=P(C)p=P(C)=PX19 6=1 一 PX196=1P一 196X196=1 一=21 一 (196)=20025=005，因此所求的概率=P(A)=PY3=1 一 PY3=1 PY=0一 PY=1一 PY=2，其中 PY=K=005 K095 100K 由于 n=100 充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理的条件，可见 Y 近似服从参数为 5 的泊松分布因此 PY=k e ，其中 =np=5，于是 1 一 e5
25、 5e5 一 e5 =1185e 5 =087【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 从 X 的分布函数 F(x)可知：X 只取一 2，一 1 与 1 三个值，其概率分别为 03，03，04，因此随机变量 Y= ，其相应概率分别为 03，03 与 04因此Y 的分布律为 PY=03，Y的分布函数为【试题解析】 显然 X 是离散型随机变量Y= 也是离散型随机变量，要求Y的分布函数，应先求出Y的分布律，而 Y 又是 X 的函数，因此我们应通过 X 的分布律求解【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 ()F(x)=PXx= () Y=F(X)=PY=0=PX0=0，PY=1 一
26、P=P0X1=PX=0=1 一P，PY=1=PX1=PX=1=P ，于是 Y 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 随机变量及其分布31 【正确答案】 () 由题设知 X 的概率密度 fX(x)= 所以 Y 的分布函数 FY(y)=PYy=PlnXy(yR)由于 PX1=1，故当 y0 时 FY(y)=0；当y0 时，F Y(y)=P1Xe y= x1 dx=1 一 ey 于是故 Y=lnX 的概率密度 ()PYk= ey dy=ek ，由于 0，0e 1，故【知识模块】 随机变量及其分布32 【正确答案】 先用定义法求分布函数，而后再求概率密度()由题设知 Y 是离散型随机变量，其概率分布为 PY=1=PX 1=(1)，PY=1=PX1=1一 PX1=1 一 (1)=(一 1)，故 Y 的分布函数 F(y)=PYy=()Y=e X 的分布函数 F(y)=PYy=PeXy，故当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时，F(y)=PXlny=(lny) ，即()Y=X的分布函数 F(y)=PXy，当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时，F(y)=PXy=P一 yXy=(y)一 (一 y)=2(y)一 1，即所以概率密度 f(y)=F(y)=【知识模块】 随机变量及其分布
