1、考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X 与 Y（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立2 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于任意二随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是（A）EXY=EXEY（B） Cov(X，Y)=0（C） DXY=DXDY（D）D(X+Y)=DX+DY4 假设随机变量 x 在区间一 1，1上均
2、匀分布，则 U=arcsinX 和 V=arccosX 的相关系数等于（A）一 1（B） 0（C） 05（D）15 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且方差 20，记的相关系数为（A）一 1（B） 0（C） （D）1二、填空题6 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i 名射手每次命中概率为 Pi(0P i1，i=1 ，2) ，则两射手均停止射击时脱靶(未命中) 总数的数学期望为_7 将长度为的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为_8 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为_9 设随机变
3、量 X 和 Y 的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2=EY2=2，则 E(X+Y)2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为()求 X 与 Y 的相关系数；()令 Z=XY，求 Z的数学期望与方差11 已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为()求(U，V) 的概率分布；()求 U 和 V 的相关系数 12 假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=cex (0，一x+) ，Y=X ()求常数 c 及 EX，DX； ()问 X 与 Y 是否相关?为什么? ()问 X 与 Y 是否独立?为什么?13 设某网络服务器首次失效时间
4、服从 E()，现随机购得 4 台，求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间) 等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命14 设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差：()Y 1=eX； ()Y 2=2lnX； ()Y 3= ； ()Y 4=X215 设 X 和 Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中 0， 0 是常数，引入随机变量 求 E(Z)和 D(Z)16 设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X 在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布求()随机变量 Z=2X
5、+Y，的密度函数；()Cov(Y ， Z)，并判断 X 与 Z 的独立性17 设二维随机变量(U，V)N(2 ，2；4，1； )，记 X=U 一 bV，Y=V()问当常数 b 为何值时，X 与 Y 独立?() 求(X，Y)的密度函数 f(x，y)18 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求：()数学期望 EX，EY；()方差DX，DY；() 协方差 Cov(X，Y) ，D(5X 一 3Y)19 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，令Z=min(X，Y) ，求 EZ 与 DZ20 设 X1，X 2，X 12 是取自总体 X 的一个简单随机样本，EX=
6、，DX=记Y1=X1+X8，Y 2=X5+X12，求 Y1 与 Y2 的相关系数21 写了 n 封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y 表示地址恰好写对的信的数目，求 EY 及 DY22 设随机变量 X 和 Y 独立，并且都服从正态分布 N(， 2)，求随机变量Z=min(X，Y) 的数学期望23 将一颗骰子重复投掷 n 次，随机变量 X 表示出现点数小于 3 的次数，Y 表示出现点数不小于 3 的次数求 3X+Y 与 X 一 3Y 的相关系数24 设随机变量 U 服从二项分布 B(2， )，随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和 X与 Y 的协方差25 设二维连续型随机变量(
7、X，Y)在区域 D=(x，y)x 2+y21上服从均匀分布( )问 X 与 Y 是否相互独立； () 求 X 与 Y 的相关系数考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 E(XY)=EXEY，故 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=0，X 与 Y 不相关，应选(B)【知识模块】 随机变量的数字特征2 【正确答案】 A【试题解析】 依题意，Y=nX，故 XY=1应选(A)一般来说，两个随机变量 X 与 Y 的相关系数 XY 满足 XY1若 Y=aX+b，则当 a0 时， XY=
8、1，当a0 时， XY=1【知识模块】 随机变量的数字特征3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Cov(X，Y)=EXYEXEY=0 是 “X 和 Y 不相关”的充分必要条件，可见(A) 与(B)等价由 D(X+Y)=DX+DY 的充分必要条件是 Coy(X，Y)=0，可见(B)与 (D)等价于是， “X 和 Y 不相关”与(A)，(B) 和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C) 不成立，只需举一反例设 X 和 Y 同服从参数为 p(0p 1) 的 0-1 分布且相互独立，从而 X 与 Y 不相关易见 DX=DY=p(1一 p)；乘积 XY 服从参数为 p2 的
9、0-1 分布： PXY=1=PX=1，Y=1=p 2，p XY=0=1 一 p2 因此 DXY=P2(1 一 P2)P2(1 一 p)2=DXDY【知识模块】 随机变量的数字特征4 【正确答案】 A【试题解析】 注意到 U=arcsinX 和 V=arccosX 满足下列关系：arcsinX= arccosX ，即 U=V+ ，由于 U 是 V 的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数 =1应选(A)【知识模块】 随机变量的数字特征5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立同分布，故 DXi=2，D ，Cov(X 1，X i)=0(i1)，故应选(B) ( 注：容易计算 D
10、(X1 一 2)【知识模块】 随机变量的数字特征二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一 1=未击中的次数以 Xi 表示第 i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 Xi+1 服从参数为 pi 的几何分布，因此 PXi=k=(1 一 Pi)kPi，i=1，2，且 E(Xi+1)= ，i=1，2，于是 EXi=E(Xi+1)1= 1，两射手脱靶总数 X=X1+X2 的期望为 EX=EX 1+EX2= 一 2【知识模块】
11、随机变量的数字特征7 【正确答案】 【试题解析】 设 X 为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0 ，L)，且【知识模块】 随机变量的数字特征8 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y) ，DZ=D(2X 一 1)=4DXY 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 随机变量的数字特征9 【正确答案】 6【试题解析】 DX=EX 2 一(EX) 2=2，DY=2，Cov(X ，y)=XY =1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y) 2=D(X+Y)+E(X+Y)2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2
12、=6 【知识模块】 随机变量的数字特征三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 求 X 与 Y 的相关系数通常是计算 EX，EY，DX，DY，EXY，然后根据公式求得 XYDX=EX2 一(EX) 2=1同样方法可以计算出 EY=DY=2又()由于 Cov(X，Y)=EXY EXEY=0，故 ()DZ=DXY=E(XY)2E(XY) 2=1222=8【知识模块】 随机变量的数字特征11 【正确答案】 () 由题设易求得 U，V 的概率分布进而可求出(U，V) 的概率分布由于又PU=0，V=1=PX+Y1，X+Y 2=0，故(U ，V) 的概率分布为()由(U，V)
13、的概率分布可求得 U 与 V的相关系数 由于 U， V 均服从 0-1 分布，故又 EUV= ，于是 U 与 V 的相关系数【知识模块】 随机变量的数字特征12 【正确答案】 应用 f(x)dx=1 求 c；应用公式及充要条件解答其他问题()由于 又 f(x)是偶函数，且反常积分 xf(x)dx 收敛，所以()由于f(X)是偶函数，故 EXY=EXX= xxf(x)dx=0 ，而 EX=0，所以EXY=EX.EY，故 X 与 Y 不相关()下面我们应用事件关系证明 X 与 Y=X 不独立因为X1f(x)dx1，所以X 1与X1不独立(包含关系不独立)，故 X 与 Y=X 不独立【知识模块】 随
14、机变量的数字特征13 【正确答案】 设服务器首次失效时间 X，则 XE()()由题设 XE()可知，X 为连续型随机变量由于连续型随机变量取任何固定值的概率是 0，因此 P(A)=0(详细写做：因 p=PX=E(X)=0，故 P(A)= pKqnk =0)()由于 XE()，则 E(X)= 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为 而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(x)，从而 4 台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 P(B)= P0(1 一 p0)3=4e3 (1 一 e1 )【知识模块】 随机变量的数字特征14 【正确答案
15、】 由题可知，Y i(i=1，2，3，4)的概率密度 fYi(y)，根据期望与方差的定义与性质，可知()()Y 2 服从 =4() =+，EY 3 不存在，DY 3 也不存在()【知识模块】 随机变量的数字特征15 【正确答案】 由于 Z 为 0-1 分布，故 E(Z)=PZ=1，D(Z)=PZ=1.PZ=0而PZ=1=P2XY= fX(x)fY(y)dxdyPZ=0=1 一 PZ=1=2(+2)，所以 E(Z)= (+2) ， D(Z)=2(+2) 2【知识模块】 随机变量的数字特征16 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度()分布函数法F Z(z)=PZz=P2X+Yz当 z0 时， FZ
16、(z)=0；当 0z2 时，如图 41，()由于 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，y)=0Cov(Y，Z)=Coy(Y ， 2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1由于 Cov(X，Z)=Cov(X ，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)= 0，所以 X 与 Z 不独立【知识模块】 随机变量的数字特征17 【正确答案】 () 由于 X=UbV，Y=V，且 =10，故(X，y)服从二维正态分布，所以 X 与 Y 独立等价于 X 与 Y 不相关，即 Coy(X，Y)=0 ，从而有 Cov(U 一 bV，V)=0，Cov(U ，V)一 bDV=0， 一 b.1=0，解得 b=1，即当b=
17、1 时， X 与 Y 独立( )由正态分布的性质知 X=UV 服从正态分布，且EX=EUEV=22=0，DX=D(UV)=DU+DV 一 2Cov(U，V)=4+12. =3，所以 XN(0，3)，同理 Y=VN(2，1)又因为 X 与 Y 独立，故【知识模块】 随机变量的数字特征18 【正确答案】 () 先求出 X 与 Y 的边缘密度，再计算 EX，EY 等【知识模块】 随机变量的数字特征19 【正确答案】 先求出 Z 的分布函数 FZ(z)与概率密度 fZ(z)，再计算 EZ 与DZ当 z0 时，F Z(z)=0，当 z1时，F Z(z)=1，当 0z1 时，F Z(z)=PZz=Pmin
18、(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z=1 PXz，Yz=1PXzPYz=1 一 (1 一 z)(1 一 (3z 一 z2)，【知识模块】 随机变量的数字特征20 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X 12 相互独立且与总体X 同分布，于是有 EXi=，DX i=2，Cov(X i，X j)= i，j=1 ，12DY 1=D(X1+X8)=DX1+DX8=82， DY 2=D(X5+X12) =DX5+DX12=82，Cov(Y 1，Y 2)=Cov(X1+X8，X 5+X12)=Cov(X5，X 5)+Cov(X6，X 6)+Cov(X7，X 7)+Cov(X8，X
19、8)=42，于是 Y1 与 Y2 的相关系数为【知识模块】 随机变量的数字特征21 【正确答案】 【试题解析】 引入随机变量可以使事件的表示数字化，这是概率论所使用的重要工具这里除了 Y 之外，再引入 n 个随机变量Xk= k=1，n 于是【知识模块】 随机变量的数字特征22 【正确答案】 设 U=(X)，V=(Y 一 )，有 Z=minU+，V+=minU，V+U 和 V 服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图 44)在上面的积分中作换元：设 v=有EZ=EminX， Y=EminU，V+= 一 同样可以求得 EmaxX，Y=+【知识模块】
20、随机变量的数字特征23 【正确答案】 依题意，X 服从二项分布，参数 p 为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 p= ，因此有于是，3X+Y 与 X 一 3Y 的相关系数 为【知识模块】 随机变量的数字特征24 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布即其次计算EX，EY，DX ，DY 与 E(XY)，即E(XY)=PXY= 1+PXY=1=0最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY) 一EXEY= ，D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2 ，D(XY)=DX 一 2Cov(X，Y)+DY=1【知识模块】 随机变量的数字特征25 【正确答案】 依题意，(X，Y)的联合密度为 ()为判断 X 与 Y 的相互独立性，先要计算边缘密度 fX(x)与 fY(y)当x1 时，f X(x)=0类似地，有 当 x=y=0 时，f(0，0)=显然它们不相等，因此随机变量 X 与 Y 不是相互独立的()EX= dx=0在这里，被积函数是奇函数，而积分区间一 1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有EY=0【知识模块】 随机变量的数字特征
