1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 (常数 a0)（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关2 设常数 0，且级数 收敛，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关3 设 ，则级数4 设 an0(n=1，2，)且 收敛，常数 ，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关5 设6 设级数 收敛，则必收敛的级数为7 设 un0，(n=1，2，3，) 且 ，则级数（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性根据所给条件不能判定8 设 为正
2、项级数，下列结论中正确的是9 若级数 收敛，则级数10 设有两个数列a n，b n，若 ，则11 设数列a n单调减少， 无界，则幂级数的收敛域为（A）(一 1，1 （B） 一 1，1)（C） 0，2) （D）(0 ，212 设 令 ，则 =13 若级数 条件收敛，则 与 x=3 依次为幂级数 的（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点二、填空题14 幂级数 的收敛半径 R=_15 设 ，则 a2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 将函数 f(x)=2+x( 一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和17 设
3、，则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_18 设函数 f(x)=x+x2 (一 x) 的傅里叶级数展开式为+b，sinx)，则其中系数 b3 的值为_19 求级数 的和20 将函数 展开成 x 的幂级数21 设 f(x)在点 x=0 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 ，证明级数绝对收敛22 将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数23 求级数 的和24 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_24 设 a1=2， 证明：25 存在；26 级数 收敛27 设正项数列a n单调减小，且 发散，试问级数 是否收敛?并说明理由27 设28 求29 试
4、证：对任意的常数 0，级数 收敛30 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性31 设 ，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求级数的和32 将函数 展开成 x 的幂级数，并求级数 的和33 设有方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 收敛34 求幂级数 的收敛区间与和函数 f(x)35 将函数 展开成 x 的幂级数35 设幂级数 在(一，+) 内收敛，其和函数 y(x)满足 y“一 2xy一4y=0， y(0)=0，y(0)=136 证明 ，n=1，2，；37 求 y(x)的表达式38 已知幂级数 在 x=0 处收敛
5、，在 x=一 4 处发散，则幂级数的收敛域为_39 将函数 f(x)=1 一 x2(0x)展开成余弦级数，并求级数 的和40 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域的面积，记，求 S1 与 S2 的值41 求幂级数 的收敛域及和函数42 求幂级数 的收敛域及和函数42 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n-2 一 n(n 一 1)an=0(n2)，S(x)是幂级数的和函数43 证明：S“(x) 一 S(x)=0；44 求 S(x)的表达式44 设数列a n，b n满足 ，cosa n 一 an=cosbn，且级数收敛45 证明：46 证明：级数
6、收敛考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由不等式 可知【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是定义在0 ，1上的分段连续函数， S(x)是 f(x)作偶延拓后得到的傅里叶余弦展开式，且 S(x)定义在(一 ，+) 上以 2 为周期，由狄里克雷收敛定理知【知识模块】 高等数学6 【正确答案】
7、 D【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 收敛，则级数 收敛，从而有 收敛，故应选(D)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 直接法：【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 由于幂级数 的收敛区间的中心应为 1，则(A)(B)选项不正确【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知本题是将 f(x)以周期 2 且作奇延拓展开为正弦级数，则故应选(C)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解
8、析】 由级数 条件收敛可知，幂级数 在 x=2 处条件收敛，则 x=2 为幂级数 的收敛区间的端点，故其收敛半径为 1由幂级数的性质可知，幂级数 的收敛半径也为 1由于则 为收敛点，x=3 为发散点，故应选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 由于该幂级数缺偶次项，则收敛半径【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 1【试题解析】 由原题可知 故应填 1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由于 f(x)=2+x是偶函数由于所给函数在一1，1上满足收敛定理条件，则【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【
9、试题解析】 由傅里叶级数的收敛定理可知，在 x= 处收敛于【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (-2，4)【试题解析】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由(1)知【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28
10、【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由于 则 R=3，收敛区间为(一 3，3) 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 记 f n(x)=xn+nx 一 1 当 x0 时，f n(x)=nxn-1+n0 故 fn(x)在0，+) 上单调增加而 fn(0)=一 10，f n(1)=n0，由连续函数的介值定理知xn+nx 一 1=0 存在惟一正实根 xn由 xnn+nxn 一 1=0 与 xn0 知【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 【知识模块】
11、 高等数学35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 应填(1，5【试题解析】 由于 在 x=0 收敛，在 x=一 4 发散，根据阿贝尔定理知，该幂级数收敛域为(一 4，0当 x=一 4 时，x+2=一 2，令 x 一 3=一 2 得 x=1，当x=0 时 x+2=2，令 x 一 3=2 得 x=5 则幂级数 的收敛域为(1，5【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 由于 所以【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 ，由于 所
12、以当 x21，即x1 时， 绝对收敛，当x1 时， 发散，因此幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时，原级数为 ，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为一 1，1【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 齐次微分方程 S“(x)一 S(x)=0 的特征根为 1 和一 1，通解为 S(x)=C1ex+C2e-x 由 S(0)=a0=3，S(0)=a 1=1 得 C1=2， C2=1 所以 S(x)=2ex+e-x【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学45 【正确答案】 【知识模块】 高等数学46 【正确答案】 由() 中的结论 0a n1 一 cosbn 可知【知识模块】 高等数学
