1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (87 年 )设 则在 x=a 处（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在2 (88 年 )设 f(x)可导且 f(x0)= 则x0 时，f(x)在 x0 点处的微分 dy 是（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小。（C）比 x 低价的无穷小（D）比x 高阶的无穷小3 (88 年 )设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x0)0，f(x 0)=0，则函数f
2、(x)在点 x0 处（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单调增加（D）某邻域内单调减少 【 】4 (89 年 )当 x0 时，曲线 y=（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线5 (90 年 )已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)为（A）n!f(x) n+1（B） nf(x)n+1（C） f(x)2n（D）n!f(x) 2n 6 (90 年 )已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， ，则
3、在点x=0 处 f(x)（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值7 (91 年 )曲线（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线8 (92 年 )设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为（A）0（B） 1（C） 2（D）39 (95 年 )设在 0，1上 f“(x)0，则 f(0)，f(1) ，f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D
4、）f(1)f(0)一 f(1)f(0)10 (95 年) 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件 11 (96 年) 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， 则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点12 (98 年) 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x
5、3 一 x|不可导点的个数是（A）3（B） 2（C） 1（D）013 (00 年) 设 f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当axb 时，有（A）f(x)g(b) f(b)g(x) （B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)g(b)f(b) （D）f(x)g(x) f(a)g(a)二、填空题14 (88 年) 若 f(t)= 则 f(t)=_15 (89 年) 已知 f(3)=2，则16 (91 年) 设17 (92 年) 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则18 (94 年)19 (97 年
6、) 对数螺线 =e 在点(，)= 处的切线的直角坐标方程为 _20 (99 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (87 年) 设函数 f(x)在闭区间 0，1上可微，对于0，1上的每一个 x，函数 f(x)的值都在开区间(0，1) 内，且 f(x)1，证明在(0，1)区间内有且仅有一个 x，使得 f(x)=x22 (90 年) 设不恒为常数的函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导,且 f(a)=f(b)证明在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()023 (92 年) 求24 (92 年) 设 f“(x)0，f(0)=0，证明对任何 x10，x 2
7、0，有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)25 (93 年) 设在 0，+)上函数 f(x)有连续导数，且 f(x)k0，f(0)0，证明 f(x)在(0，+) 内有且仅有一个零点26 (93 年) 设 ba e，证明 abb a27 (95 年) 假设函数 f(x)和 g(x)在a，b 上存在二阶导数，并且 g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1) 在开区间 (a，b)内 g(x)0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使28 (96 年) 设 f(x)在0 ，1上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|a，|f“(x)|b，其中a，b 都是非负常数，
8、c 是 (0，1)内任一点，证明|f(c)|29 (98 年)30 (99 年) 试证：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =一 10由极限的保号性可知，存在 a 点的某去心邻域，在此去心邻域内 ，又(x 一 a)20，则 f(x)一 f(a)0，即 f(x)f(a)，由极值定义可知 f(x)在 x=a 取极大值【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在 x0 点的微分 dy=f(x0)dx
9、=f(x0)x=，则当x0 时， dy 与x 为同阶无穷小【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由原题可知 f“(x)一 2f(x)+4f(x)0，令 x=x0，则 f“(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=0，又 f(x0)=0，f(x 0)0，则 f“(x0)=一 4f(x0)0，由此可知 f(x)在 x0 取极大值【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由于在(0，+) 有且仅有水平渐近线【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=f(x)2 知，f“(x)=2f(x)f(x)=2f(x) 3，f“(x)=23f 2(x)f(
10、x)=123f4(x)=3!f(x)4，f (n)(x)=n!.f(x)n+1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 =20，由极限的保号性可知存在 x=0 的某个去心邻域，在此去心邻域内 又 1 一 cosx0 则 f(x)0，又 f(0)=0则f(x)f(0)，由极值定义可知 f(x)在 x=0 处取得极小值【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由 有一条水平渐近线 y=1 和一条垂直渐近线 x=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 3x3 任意阶可导，则只需考查 x2|x|令 (x)=x2|x|，则即 “(x)=6|x|由
11、于|x| 在 x=0 处不可导，则 f(n)(0)存在的最高阶数是 2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 f“(x)0，则 f(x)在0，1上单调增，又由拉格朗日中值定理得f(1)一 f(0)=f(c)(0c 1)则 f(1)f(c)f(0) ，即 f(1)f(1)一 f(0)f(0)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)=f(x)+f(x)|sinx|，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0 点的可导性与f(x)|sinx|相同令 (x)=f(x)|sinx|，由导数定义知(x)在 x=0 可导的充要条件是 f(0)=一 f(0)，
12、即 f(0)=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 =10，由极限的保号性知，存在 x=0 的去心邻域，在此去心邻域内 )，即 f(x)0，则在 x=0 左半邻域 f(x)单增，又 f(0)=0，则在 x=0 左半邻域 f(x)0，同理可知在 x=0 右半邻域 f(x)0、由极值第一充分条件知 f(x)在 x=0 取极小值【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 由导数定义知|x|在 x=0 不可导，而 x|x|在 x=0 可导，f(x)=(x 2 一 x 一2)|x3 一 x|=(x 一 2)(x+1)|x|x 一 1|x+1|，则 f(x)在 x
13、=0 和 x=1 不可导，故 B【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 即 f(x)g(b)g(x)f(b)【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 (1+2t)e 2t【试题解析】 由于 ，则 f(t)=e2t(1+2t)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 代入上式得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 方程 ex+y+cos(xy)=0 两边对 x 求导得 ex+y(1+y)一 sin(xy)(y+xy)=0 解得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析
14、】 原式=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 x+y=【试题解析】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 满足 f(x)=x 的 x 的存在性证法与上面相同，而唯一性可利用结论“若在(a，b) 内 f(n)(x)0，则方程 f(x)=0 在(a ，b)内最多有 n 个实根” 由于 F(x)=f(x)一 10，则 F(x)=0 在(0，1) 内最多有一个根原题得证【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为 f(a)=f(b)且 f(x)在a，b上不恒为常数，则 (a,b)，使
15、f(c)f(a)若 f(c)f(a)，在a，c 上应用拉格朗日中值定理，则 (a，c)，使 f()=若 f(c)f(a) ，在c ，b上应用拉格朗日中值定理，则 (c，b)，使 f()= 原题得证【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由洛必达法则知，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(x 1)一 f(0)=x1f(1)，(0x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=x1f(2)，(x 2 2x 1+x2) 不妨设 x1x2，从而有【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 在0，+)上，由 f(x)k，得 0xf(x)dx0xkdx 即 f(x)kx+f(0)
16、取因 f(x1)0，由题设 f(0)0，则 (0，x 1)使 f(x0)=0又 f(x)k0，故 f(x)严格单调增，所以 f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 要证 ab ba，只须证 blnaalnb 令 f(x)=xlnaalnx (xa)所以 f(x)在 xa 时单调增加于是 ba 时，有 f(b)f(a)=0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)反证法若 (a，b)，使 g(c)=0，则由罗尔定理知(a，c)， 1(c，b)，使 g(1)=g(2)=0，从而 (1， 2)使 g“()=0，这与题设 g“(x)0 矛盾 (2)令 (x
17、)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)由 f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 知，(a)=(b)=0，由罗尔定理知 (a，b)，使 ()=0，即 f【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ 其中 =x+(xc)，0 1在上式中分别令 x=0，x=1 得两式相减得由于c(0，1)，(1 一 c)2+c21 故 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 令 (x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，易知 (1)=0，(1)=0则 (x)在 x=1 取得极小值又 x=1 是(x)在(0，+)唯一的极值点，则 (x)在 x=1 取得在区间(0，+)上的最小值又(1)=0，则当 x0 时，(x)0，即(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 高等数学
