1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (01 年 )设函数 f(x)在定义域内可导， y=f(x)的图形如图 21 所示，则导函数 y=f(x)的图形为(见图 22)2 (01 年 )设 f(0)=0，则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为3 (02 年 )设函数 y=f(x)在(0，+) 内有界且可导，则4 (03 年 )设函数 f(x)在( 一，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极
2、小值点和一个极大值点5 (04 年 )设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)(0)6 (05 年 )设函数 f(x)= 则 f(x)在(一，+) 内（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点7 (06 年 )设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在 x0处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则
3、（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy08 (07 年 )设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是9 (07 年 )曲线 y= +ln(1+ex)渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 (07 年) 设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f“(x)0，令 un=f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是（A）若 u1u 2，则u n必收敛（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散11 (08 年) 设函数 f(x)= ln(2+t)dt，则 f(x)的零点个数为（A）
4、0（B） 1（C） 2（D）312 (11 年) 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 的拐点是（A）(1 ，0)（B） (2，0) （C） (3，0) （D）(4 ，0)13 (12 年) 曲线 渐近线的条数为（A）1（B） 2（C） 3（D）414 (12 年) 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(一 1)n-1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1!（D）(一 1)nn!二、填空题15 (02 年) 已知函数 y=y(x)由方程 e2+6
5、xy+x2 一 1=0 确定，则 y“(0)=_16 (04 年) 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_.17 (05 年) 曲线 的斜渐近线方程为_18 (08 年) 曲线 sin(xy)+ln(yx)=x 在点(0 ，1)处的切线方程是 _19 (10 年) 设20 (13 年) 设函数 y=f(x)由方程 yx=ex(1-y)确定，则21 (13 年) 设三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 (01 年) 设 y=f(x)在(一 1，1)内具有二阶连续导数且 f“(x)0，试证：(1) 对于(一1，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，
6、使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；(2)23 (02 年) 设函数 f(x)在 x=0 某邻域内有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，若af(h)+bf(2h)一 f(0)在 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值24 (04 年) 设 eabe 2，证明 ln 2bln2a 25 (05 年) 已知函数 f(x)在 0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1证明：(I)存在 (0， 1)，使得 f()=1 一 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=126 (07 年) 设函数 f(x)，g(x)在a，b 上连续，在(a，
7、b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b) ，证明：存在 (a，b)，使得 f“()=g“()27 (09 年)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在 a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)()证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0 ，)(0)内可导，且 ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A28 (10 年) 求函数 f(x)= 的单调区间与极值29 (1l 年)求方程 karctanxx=0 不同实根的个数，其中 k 为参数30 (12 年) 证明：考研数学一（高等数学）
8、历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)严格单调增，则当 x0 时，f(x)0，因此 (A)，(C)肯定不正确，只能在(B)和(D)中选又由 f(x)的图形可看出，当 x0 时，f(x)由增变减再变增，因此在 x0 处，f(x)应由正变负再变正，由f(x)的图形可看出(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 若 存在，则由于存在且不为零，则 存在，故 f(x)在 x=0 可导，反之也成立，所以(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案
9、】 B【试题解析】 直接法：由拉格朗日中值定理知又 f(x)有界，则 f(2x)一 f(x)有界，从而【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 如图，从导函数图形知，f(x)只在 x=x1，x=x 2，x=x 3 处导数为零，而在 x=0 处导数不存在则 f(x)只可能在这四个点取得极值而 f(x)在 x=x1 和 x=0 两点的两侧导数都是由正变负，则 f(x)在这两点处取极大值；而 f(x)在 x=x2 和 x=x3两点的两侧导数都是由负变正，则 f(x)在这两点处取极小值故 C【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)= 由极限的保号性知，存在
10、0，当x(一 0) 或 x(0，) 时， 而当(0，)时 x0，则此时 f(x)一f(0)0，即 f(x)f(0)，故 C【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时，f+(一 1)f-(一 1)，则 f(x)在 x=一 1 不可导则 f(x)在 x=1 处不可导，故(C) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 dy=f(x 0)x， y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x，x 0x 0+x 由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(x0)f()，故 dy y 由于 f(x)0， x0，则0dyy，故(A) 【知识模块】 高等数学8 【
11、正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有=f(0)，所以，命题(A)和(C)是正确的；由=2f(0)=0，则 f(0)=0，所以，命题(B) 也是正确的事实上，命题(D)是错误的例如，令 f(x)=|x|，显然但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导，即 f(0)不存在故(D) 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 则 y=x 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题(D)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理知 u2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(c)
12、(1c 2)而 u2u 1，则 f(c)0，由于 f“(x)0，则 f(x)单调增，从而有 f(2)f(c) 0，由泰勒公式得，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=ln(2+x 2).2x显然 f(x)只有一个零点 x=0，故 B【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线方程 y=(x 一 1)(x 一 2)2(x 一 3)3(x 一 4)4 中含有(x 一 3)的 3次因子(x 一 3)3，则 y“(3)=0，y“(3)0 由拐点的充分条件知点 (3，0)为该曲线的拐点，故(C)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】
13、由于 则该曲线有水平渐近线 y=1，又则 x=1 为该曲线的一条垂直渐近线故(C)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 记 g(x)=(e2x 一 2)(e3x 一 3)(enx 一 n)，则 f(x)=(e x 一 1)g(x) f(x)=exg(x)+(ex 一 1)g(x) 则 f(0)=g(0)=( 一 1)(一 2)(一 (n 一 1)=(一 1)n-1(n 一 1)! 故(A)【知识模块】 高等数学二、填空题15 【正确答案】 一 2【试题解析】 由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 可知，当 x=0 时，y=0 方程 ey+6xy+x2 一1=0 两边对 x
14、 求导得 e yy+6y+6xy+2x=0 (*) 在上式中令 x=0，得 y(0)=0 (*)式两边再对 x 求导得 e yy”+ey(y)2+6y+6y+6xy“+2=0 令 x=0，则 y“(0)+2=0 y“(0)=一 2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 直线 x+y=1 的斜率为一 1，所求切线斜率应为 1，而得 x=1，则所求切线为 y=x 一 1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 由于则斜渐近线方程为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 由 sin(xy)+ln(yx)=x 知 在上式中令x=0，y=
15、1，得 y=1则该曲线在点 (0，1)处的切线方程是 y=x+1【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 1【试题解析】 由 yx=ex(1-y)知，x=0 时，y=1y一 1=ex(1-y)(1 一 y)一 xy则 y(0)=1。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 (1)任给非零 x(一 1，1)，由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf(x)x) (0(x)1) 因为 f“(x)在(一 1，1)内连续且 f“(x)0
16、，所以 f“(x)在(一 1，1)内不变号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一 1，1)内严格单增，故 (x)唯一(2) 由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“()x2， 在 0 与 x 之间所以 xf(x)x)=f(x)一 f(0)=f(0)x+【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由题设条件知 af(h)+bf(2h)一 f(0)=(a+b1)f(0)=0 由于 f(0)0，则 a+b 一 1=0 由洛必达法则知又 f(0)0，则 a+2b=0，于是 a=2，b=一 1【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 设 (x)=所以当 xe 时，“(x)0，故 (x)单调
17、减少，从而当 exe 2 时 即当exe 2 时，(x)单调增加因此当 eabe 2 时，(b)(a)，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (I)令 g(x)=f(x)+x 一 1，则 g(x)在0，1上连续，且 g(0)=-10，g(1)=1 0 所以存在 (0，1)，使得 g()=f()+ 一 1=0 即 f()=1 一 ()根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)， (，1)，使得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论： 1)若 f(x)和 g(x)在(a， b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(
18、c)=0，又 (a) =(b)=0，由罗尔定理知 (a，c)，使 (1)=0； (c，b)，使 (2)=0 对 (x)在1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 “()=02)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (I)取 F(x)=f(x)一 由题意知 F(x)在a ，b上连续，在(a ，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 F()=f()一 =0，即 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)()对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0 ，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 f(x)的定义域为( 一
19、，+)，由于所以 f(x)的驻点为 x=0，1列表讨论如下：因此，f(x)的单调增加区间为( 一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=0，极大值为 f(0)=【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 令 f(x)=karctanxx，则 f(x)是(一，+)上的奇函数，且当 k 一 10 即 k1 时，f(x)0(x0)，f(x)在(一，+)内单调减少，方程 f(x)=0 只有一个实根 x=0由 f(x)是奇函数及其单调性可知：当 k1 时，方程 f(x)=0 有且仅有三个不同实根x= 一 ，x=0 ，x= 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 显然 f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)0 x0，1)从而有 f(x)0 x(0，1)又 f(0)=0 则 f(x)0 x 0，1)故原不等式成立【知识模块】 高等数学
