1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (97 年 )设在区间 a，b 上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0令 S1=abf(x)dx，S 2=f(b)(b一 a)，S 3= f(a)+f(b)(b 一 a)，则（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 12 (97 年 )设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数 3 (98 年 )设 f(x)连续，则（A）xf(x 2)（B）一 xf
2、(x2)（C） 2xf(x2)（D）一 2xf(x2)4 (99 年 )设 f(x)是连续函数， F(x)是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数5 (04 年 )把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D），,6 (05 年 )设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(
3、x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数甘 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调奇函数7 (07 年 )如图连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是8 (09 年 )设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为则函数 F(x)=0xf(t)dt 的图形为9 (10 年 )设 m，n 均是正整数，则反常积分 的收敛性（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与
4、 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m，n 的取值都无关10 11 (11 年) 设 则 I，J ，K 的大小关系为（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI二、填空题12 (99 年)13 (00 年)14 (02 年)15 (04 年) 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_16 (07 年)17 (10 年)18 (11 年) 曲线 y0xtantdt 的弧长 s=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (97 年) 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A(A 为常数)，求 (x)并讨论 (x)在
5、x=0 处的连续性20 (98 年)21 (98 年) 设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数(1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间 x0，1 上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积(2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 x0 是唯一的22 (99 年) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口已知井深 30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗抓起的污泥重 2 000 N，提升速度为 3 ms，在提升过程中，污泥以 20 N s 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓
6、起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明： 1 N1 m=1 J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)23 (00 年) 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0， 0f(x)cosxdx=0试证：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1 和 2，使 f(1)=f(2)=024 (01 年)25 (02 年) 已知两曲线 y=f(x)与 y= 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限26 (03 年) 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D(1)求 D
7、 的面积 A；(2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V27 (03 年) 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0) ，汽锤第一次击打将桩打进地下 am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1)问(1)汽锤击打桩 3 次后可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)28 (05 年) 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与
8、l2 分别是由线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03(x2+x)f“(x)dx29 (08 年) 设 f(x)是连续函数， (I)利用定义证明函数 F(x)=0xf(t)dt 可导，且 F(x)=f(x)； () 当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)=20xf(t)dt 一 x02f(t)dt也是以 2 为周期的周期函数30 (10 年)(I)比较 01|lnt|1n(1+t)ndt 与 01tn|lnt|dt(n=1，2，) 的大小，说明理由;( )记 u0=01|lnt|ln(1+t)ndt(
9、n=1，2，)，求极限 考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 在0，ln2上考虑 f(x)=e-x，显然 f(x)满足原题设条件，而则 S 2S 1S 3【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)= 02esintsintdt=-02esintdcost=-esintcost|02+02esintcos2tdt =02esintcos2tdt0【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2 一 t2=u，则【知识模块】 高等数学4 【正确答案
10、】 A【试题解析】 排除法(B)，(C)，(D) 分别举反例如下(B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数 (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周期函数D)的反例：f(x)=x ，F(x)= 不是单调增的所以(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 则当x0+时 是 的高阶无穷小，又则当 x0 +时 是 的高阶无穷小故(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 若 F(x)是连续函数 f(x)的原函数，且 F(x)是偶函数，则 F(一 x)=F(x)，式两端对 x 求导得一 F(一 x)=F(x)即
11、一 f(一 x)=f(x)故 f(x)为奇函数反之，若 f(x)为奇函数，则 G(x)=0xf(t)dt 是 f(x)的一个原函数，又则 G(x)是偶函数，由于 F(x)也是f(x)的原函数，则 F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故(A) 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知 也可利用 f(x)是奇函数，则 F(x)=0xf(t)dt 为偶函数，从而 则(A)(B)(D) 均不正确，故(C) 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 x(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当
12、x(一 1，0)时 f(x)1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增显然(A)选项是错误的，因为(A) 选项中F(x)在( 一 1，0)中单调减 由于 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=0，显然(C)选项错误 由于当 x(2，3时 f(x)0，则当 x(2，3时 F(x)= 0xf(t)dt=02f(t)dt+0xf(t)dt=02f(t)dt+2x0dt=F(2) 则(B)是错误的，(D)是正确的【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 故 D【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 当 x
13、时，sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则故(B)【知识模块】 高等数学二、填空题12 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 xt=u，则【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 令 ex=t，则 x=lnt，代入 f(ex)=xe-x 得由 f(1)=0 知，C=0，故 f(x)=【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 一 4【试题解析】 令 ，则 x=t2，dx=2tdt 原式=2
14、 0nt2costdt=20t2dsint=2t2sint|0-40tsintdt=40tdcost=4tcost|0n 一 40costdt=一 4【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由题设知 f(0)=0，(0)=0令 xt=u，得从而可知 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 (x)=一 xx1f(t)dt，则 (x)在0，1上满足罗尔定理条件，存在x0(0，1)，使 (x0)=0，即 x0f(x0)
15、一 =0 又 “(x)=xf(x)+2f(x)0，上式中的 x0 是唯一的【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 = 1+2+3 其中 1 是克服抓斗自重作的功， 2 是克服缆绳重量所作的功； 3 是提出污泥所作的功由题设可知 1=400 30=12 000 d2=50(30 一 x)dx 从而 2=03050(30 一 x)dx=2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x， 则 F(0)=F()=0 又 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=cosxF(x)|0+0sinxF(x)dx =0sinxF(x
16、)dx 所以存在 (0，)，使【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由题设条件知 f(0)=0， 故所求切线方程为 y=x【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (1)如图(a)，设切点横坐标为 x0，则曲线 lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程为 由该切线过原点知 lnx0 一 1=0，从而 x0=e，所以该切线方程为 所求图形 D 的面积为 (2)切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成图形绕直线 x=e 旋转所得旋转体体积为 V2=【知识模
17、块】 高等数学27 【正确答案】 (1)设第 n 次击打后，桩被打进地下 x0，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 Wn(n=1，2?3，)?由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力大小为 kx，所以 由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数 r 知，W 2=rW1，W 3=rW2=r2W1 则前三次击打所作功总和为 W1+W【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由(3，2)是曲线 y=f(x)的拐点知，f“(3)=0 ；由直线 l1 与 l2 分别是曲线 y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f(0)=2 ，f(3)=一 2，f(0)=0 ，f(3
18、)=2，利用分部积分法可得 03(x2+x)f“(x)dx=(x2+x)f“(x)|03-03(2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 (I)对任意的 x，由于 f 是连续函数，所以其中 介于 x与 x+x 之间由 ，可知函数 F(x)在 x 处可导，且 F(x)=f(x)()要证明 G(x)以 2 为周期，即要证明对任意的 x，都有 G(x+2)=G(x)，记 H(x)=G(x+2)一 G(x)，则 H(x)=(20x+2f(t)dt-(x+2)02f(t)dt)一(2 0xd(t)dt-x0【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 (I)当 0t1 时，因为 ln(1+t)t，所以 |lnt|ln(1+t)ntn|lnt|，因此 01|lnt|ln(1+t)ndt01tn|lnt|dt ()由(I) 知 0un=01|lnt|ln(1+t)nd【知识模块】 高等数学
