1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (12 年 )设 Ik= sinxdx(k=1，2，3)，则有（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I32 (14 年 )若 -(x 一 a1cosxb1sinx)2dx= -(xacosx-bsinx)2dx,则a1cosx+b1sinx=（A）2sinx（B） 2cosx（C） 2sinx（D）2cosx3 (16 年 )已知函数 f(x)= 则 f(x)的一个原函数是4 (16 年 )若反常积分 收敛，则（A）a
2、1 且 b1（B） a1 且 b1（C） a1 且 a+b1（D）a1 且 a+b15 (93 年 )设有直线则 L1 与 L2 的夹角为6 (95 年 )设有直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一 2=0，则直线L（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 .（D）与 斜交7 (92 年 )在曲线 x=y，y=一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在二、填空题8 (12 年 )9 (13 年 )10 (15 年)11 (87 年) 与两直线 及 都平行，且过原点的平面方程为_12 (90 年
3、) 过点 M(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面方程是_13 (91 年) 已知两条直线的方程是则过 L1 且平行于 L2 的平面方程是_14 (95 年) 设 (ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)=_15 (96 年) 设一平面经过原点及(6，一 3，2) ，且与平面 4x 一 y+2z=8 垂直，则此平面方程为_。16 (06 年) 点 (2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_17 (89 年) 已知曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P 的坐标是 _18 (91 年) 由方程 所确定的函数
4、 z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分 dz=_19 (92 年) 函数 u=ln(x2+y2+z2)在点 M(1，2，一 2)处的梯度 gradu|M=_20 (93 年) 由曲线 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (13 年)22 (94 年) 已知 A 点和 B 点的直角坐标分别为(1， 0，0)与(0，1，1)线段 AB 绕Z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积23 (98 年) 求直线 在平面 ；xy+2z 一 1=0 上的投影直线 l0的
5、方程，并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程24 (09 年) 椭球面 S1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是由过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成(I)求 S1 及 S2 的方程；()求S1 与 S2 之间的立体体积25 (87 年) 设 f 和 g 为连续可微函数，u=f(x，xy)， v=g(x+xy)，求26 (88 年) 设 u= 其中 f 和 g 具有二阶连续导数，求27 (89 年) 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，v)具有连续二阶偏导数，求28 (90 年) 设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(
6、u，v) 具有二阶连续偏导数，求29 (91 年) 设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= 在点 P 处沿方向 n 的方向导数30 (92 年) 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查定积分几何意义，曲线 y=sinx 如图(a)，而 在(0，+) 单调增且大于 1，则曲线 如图(b)该曲线与 x 轴围成三块域面积分别为 S1， S2，S
7、 3，由定积分几何意义知I1= =S10I 2= =S1 一 S20I 3= =S1 一 S2+S3=S1+(S3 一 S2)S 1=I1则 I 2I 1I 3 故(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 令 Z(a，b)= -(xacosxbsinx)2dx故(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 的方向向量 S 1=1，一 2，1，直线 L2 的方向向量从而直线 L1 和 L2 的夹角 的余弦为【知识模块】 高等数学6 【正
8、确答案】 C【试题解析】 由于交成直线 L 的两平面的法向量与 的法向量均垂直，即1，3，24，一 2，12，一 1，一 104，一 2，1故 的法向量与 L 的方向向量平行，因此直线 L 垂直于 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 的切线向量为 =1，一 2t，3t 2 而平面x+2y+z=4 的法线向量为 n=1，2，1 由题设知 n，则 .n=14t+3t2=0 此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=sint，则dt=costdt【知识模块】 高等
9、数学9 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 xy+z=0【试题解析】 所求平面法向量可取为 由题可知所求平面过原点，则所求平面方程为一 1.(x-0)+1.(y-0)-1.(x 一 0)=0 即 x-y+z=0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x 一 3yz+4=0【试题解析】 直线 的方向向量为一 1，3，1该向量是所求平面的一个法向量，所求平面过点 M(1，2，一 1)，则所求平面为一(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0 即 x 一 3yz+4=0【知识模块】 高等数学13 【正确答
10、案】 x 一 3y+z+2=0【试题解析】 平面过直线 L1，则过 L1 上的点(1，2，3)；平面的法向量 n 既垂直于 L1，又垂直于 L2，则可取 则所求平面为(x-1)-3(y-2)+(z 一 3)=0 即 x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 4【试题解析】 (a+b)(b+c).(c+a)=(a+b)b.(c+a)+(a+b)c.a=(ab).c+(bc).a=(ab).c+(ab).c=4【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设 M(x，y ，z) 是所求平面上任一点则向量 x，y，z ，6，一3，2以及向量
11、4，一 1 2共面，故 即 2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 由点到平面距离公式知【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (1，1，2)【试题解析】 设 P 点的坐标为(x 0，y 0，z 0)，则曲面在 P 点的法向量为 n=一 2x0，一 2y0，一 1又因为切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则从而可得 x0=1，y 0=1代入曲面方程解得 z0=2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由隐函数求导法求出【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 因为所以【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试
12、题解析】 旋转面方程为 3(x2+z2)+2y2=12 令 F(x，y，z)=3(x 2+z2)+2y2 一 12=0则 F x=6x，F y=4y，F z=6z 从而所得旋转面在点 处向外侧的法向量为将其单位化得【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 因为 f(x)= 且 f(1)=0从而【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 过 A(1，0，0)和 B(0，1，1)的直线方程为 在 z轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点Q(0，0 ，z) ，与 AB 交于点 M(1 一 z，z，z)，故截面圆半径从
13、而截面面积 S(z)=(12z+2z 2)旋转体的体积【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 点(1，0，1)在 l 上，所以该点也在平面 1 上，于是 1 的方程可设为 1： A(x 一 1)+B(y0)+C(z1)=01 的法向量应与 l 的方向向量垂直又应与平面 的法向量垂直，故有 A+BC=0；AB+2C=0 由此解得 A：B：C=一1：3：2，于是 1 的方程为 x-3y-2z+1=0(*)从而 l0 的方程为设 l0 绕 y 轴旋转一【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (I)椭球面 S1 的方程为 设切点为(x 0，y 0)，则在(x 0，y 0)处的切线方程为 将 x=4
14、，y=0 代入切线方程得 x0=1，从而 所以切线方程为 从而圆锥面S2 的方程为 (x-4)2 一 4y2 一 4z2=0()S 1 与 S2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 根据复合函数求导公式有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由复合函数求导公式得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由复合函数求导法则得 =2f1+ycosxf2 =-2f11“+2sinxf12“+cosxf2一 ycosxf21“+ysinxcosxf22”=一 2f11“+(2sinxycosx)f12“+cosxf2+ysinxcosxf22“【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n=4i+6j+2k 单位化后得【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 令 exsiny=u，x 2+y2=v，则【知识模块】 高等数学
