1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线也有铅直渐近线2 设 f(x)= =x3+x4，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 ，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为（A） （B） 0（C）一 1（D）一 24 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0，令 S1= ，S 2=
2、f(b)(b 一 a)，S3= 则（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 15 若 f(一 x)=f(x)，( 一x+)，在( 一，0)内 f(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+) 内（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f“(x)06 设随机变量 X 的密度函数是 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（A）（B）（C） F(一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 17 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分
3、别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则（A）PX+Y0=（B） PX+Y1=（C） PXY0)=（D）PXY1=8 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy09 设函数 u(x，y)=(x+y)+(x y)+ ，其中 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有10 设 f(x)为连续函数，F(t)= ，则 F(2)等于（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）011 设函数 f(x)
4、在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有f(x)x 2，则,x=0 必是 f(x)（A）间断点（B）连续而不可导的点（C）可导的点，且 f(0)=0（D）可导的点，且 f(0)012 已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， =2，则在点 x=0 处 f(x)（A）不可导（B）可导且 f(x)0（C）取得极大值（D）取得极小值13 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 =一 1，则（A）x=a 是 f(x)的极小值点（B） x=a 是 f(x)的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是
5、曲线 y=f(x)的拐点14 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数15 设 f(x)处处可导，则16 设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0 ，F(x)= ，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）417 设 f(x)在 x=a 处可导，则 等于（A）f(a) （B） 2f(a)（C） 0 （D）f(2a
6、) 18 若连续函数 f(x)满足关系式 则 f(x)等于（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln219 设 f(x)和 (x)在(一，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点20 若 f(x)=一 f(一 x)，在(0，+) 内，f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)021 设 f(x0)=f“(x
7、0)=0，f(x 0)0，则下列选项正确的是（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点22 设 f(x)连续，则 =（A）xf(x 2)（B）一 xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）一 2xf(x2)23 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 =0 在开区间(a，b)内的根有（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个24 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)=（A）在 x=0 处，左极限不存在（B）
8、有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处，右极限不存在（D）有可去间断点 x=025 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB=0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB=026 设有向量组 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)则该向量组的极大无关组是（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5 （D） 1， 2， 4， 527 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)
9、，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则(A *)*等于（A）A n-1A（B） A n+1A（C） A n-2A（D）A n+2A二、填空题28 =_。29 若随机变量 X 服从均值为 2，方差为 2 的正态分布，且 P2X4=03，则PX0)=_30 =_31 设 D=(x， y)x 2+y2x+y+1，则 =_.32 设 D 是由直线 x=一 2， y=0，y=2 以及曲线 x= 所围成的平面域，则=_。33 =_34 =_35 =_36 设区域 D 为 x2+y2R2，则 =_37 设 l 为椭圆 ，其周长记为 a，则 =_.考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下
10、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，则原曲线有水平渐近线 y=1，又，则原曲线有铅直渐近线 x=0，所以应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 则应选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 则 f(1)=一2，由 f(x)周期性知，f(5)=f(1)=一 2 故应选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知，在a，b上，f(x)0 单调减，曲线 y=f(x)上凹，如图14S 1 表示 y=f(x)和 x=a，x=b 及 x 轴围成曲边梯形面积，S 2 表示矩形
11、abBC 的面积，S 3 表示梯形 AabB 的面积由图 14 可知，S 2S 1S 3故应选(B)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(-x)=f(x)知，f(x) 为偶函数，而由在(一，0)内 f(x)0，且 f“(x)0 知在(一 ，0) 内，y=f(x)的图形下凹单调增，则如图 15 可知，f(x)在(0，+)内，f(x)0，f“(x)0，则应选(C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 由 (一 x)=(x)知，(x)为偶函数其图形关于 y 轴对称，如图16 由几何意义可知，F(一 a)=S1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题
12、解析】 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为 ，则 故应选(B)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=x2，在 (0，+)上，f(x)=2x0，f“(x)=20，以 x0=1，则 dy=2x， y=f(1+x)一 f(1)=(1+x)2 一 12=2x+(x)2 由于x0，则 0dyy，从而(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=x2，(x)0 则 u(x，y)=(x+y) 2+(xy)2=2x2+2y
13、2那么，由此可知，选项(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)1，则 F(t)=2tlt=t 一 1， F(2)=21=1 显然(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x3，显然 x(一 ，)时，f(x)=x 3x 3且 f(x)=3x2， f(0)=0，则(A)(B)(D) 均不正确，故应选(C)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 由于当 x0 时，1 一 cosx ，所以令 f(x)=x2，则 f(x)符合原题设条件而 f(x)
14、=x2 在 x=0 处可导，f(0)=0，取极小值，则(A)(B)(C) 均不正确，故应选(D)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 若取 f(x)=一(x 一 a)，即令 f(x)= ，则显然 f(x)符合原题条件，f(x)=一 (x 一 a)2 在 x=0 取极大值，且(a ， f(a)也不是 y=一 (x 一 a)2 的拐点，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B) 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x+1 显然 f(x)是偶函数，周期函数，但F(x)不是奇函数，也不是周期函数，则(B)(C)
15、均不正确 若令 f(x)=x，F(x)= ，则 f(x)单调增，但 F(x)不单调增，因此，(D)也不正确，故应选 (A)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=x，则 f(x)1 则(B)和(D)均不正确 若令 f(x)=x2，则 f(x)=2x 所以(C)也不正确，故应选 (A)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0， f(0)0取 f(x)=x 则 F(x)=x3由 x0 时，F(x) 与 xk 是同阶无穷小，知 k=3，从而，(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 B【试题解析
16、】 令 f(x)=x，则 但 f(x)=1，从而 f(a)=f(2a)=1，则 (A)(C)(D)均不正确，故应选(B)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)= 知 f(0)=ln2 (1)f(x)=2f(x) (2)显然(C)(D)选项不符合(1)式， (A)选项不符合(2)式，故应选(B)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 f(x)和 (x)符合原题条件，而 f(x)=1， 2(x)=1，f(x)=2 均无间断点，则(A)(B)(C) 均不正确，故应选(D) 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 C【试题解析】 由原题设可
17、令 f(x)=x3，显然 f(x)符合原题条件，而在(一，0)内，f(x)=3x20，f“(x)=6x 0则(A)(B)(D) 均不正确，故应选 (C)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x0)=f“(x0)=0，f(x 0)0 可令 f(x)=(xx 0)3 显然此 f(x)符合原题条件，而 f(x)=3(xx0)2 显然 f(x0)是 f(x)极小值而不是极大值，则 (A)不正确，又 f(x0)=0，而在 x0 任何邻域内 f(x)可正也可负，从而 f(x0)不是 f(x)的极值点，因此(B) 和(C)也不正确，故应选 (D)【知识模块】 高等数学22 【
18、正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)1，则 =x 显然(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，可令 f(x)1，此时方程 =0 变为(xa)+(x 一 b)=0，即 2x 一(a+b)=0该方程在(a，b)内有且仅有一个实根x= ，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x，显然 f(x)满足原题条件，而 g(x)= 显然(A)(B)(C) 均不正确，故应选(D) 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 B【试题解析】 用排除法：当 mn 时，若
19、 A= ，B=3 ，4，则有AB=0，故(A)不对；当 nm 时，若 A=1 2，B= ，则有AB=0 ，故(C)不对；当 nm 时，若 A=1 2，B= ，则有 AB=30，故(D)不对； 因此，只有(B) 正确【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 B【试题解析】 观察易知 3=31+2， 5=21+2 故(A)(C)都是线性相关组，(A)(C) 都不对当(C) 组线性相关时， (D)组也线性相关，故 (D)也不对，于是只有(B)正确【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 C【试题解析】 令 A= ，显然 A 符合原题条件，由伴随矩阵定义易知而A=2，则A n-1=2， A n+1=8
20、，A n+2=16故(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题28 【正确答案】 【试题解析】 本题常规的求解方法是先把 根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大，实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填 事实上，该积分在几何上表示单位圆(x 一 1)2+y21面积的 ，如图 11【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 02【试题解析】 由于正态分布的密度函数是关于均值 x=2 对称由图 12 易知PX0=S 2=05 一 S1=0503=02【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【试题解析】 事实上，在几何上原题中积分应等于球体 x2+y2+z2a2 的
21、体积的一半，因此应为【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 如图 13 所示，由图 1 3 不难看出 ，积分域 D 的面积 SD 应为正方形面积减去半圆面积，即 因此，【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 0【试题解析】 由于 x4sinx 为奇函数，且积分区间 一 ，关于原点对称【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 ln3【试题解析】 原式=【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【试题解析】 由于本题积分域为 x2+y2R2，由 x 和 y 的对称性知【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 12a【试题解析】 由于 l 关于 y 轴对称，且 2xy 是 x 的奇函数，则 ，又因为l 的方程可改写为 3x2+4y2=12 则 原式=【知识模块】 高等数学
