1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (89 年 )设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，c 1，c 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）c 1y1+c2y2+y3（B） c1y1+c2y2 一(c 1+c2)y3（C） c1y1+c2y2 一(1 一 c1 一 c2)y3（D）c 1y1+c2y2+(1 一 c1 一 c2)y32 (91 年 )若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= +ln2，则 f(x)等于（A）e xln
2、2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln23 (93 年 )设曲线积分 Lf(x)一 exsinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中 f(x)具有一阶连续导数，且 f(0)=0，则 f(x)等于4 (98 年 )已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时，是x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于（A）2（B） （C）（D）二、填空题5 (92 年 )微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为 y=_6 (96 年 )微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_7 (99 年 )y“一 4y=e2x 的通解为 y=_8 (00 年 )微
3、分方程 xy”+3y=0 的通解为_9 (01 年 )设 y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C 2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_10 (02 年) 微分方程 yy“+y2=0 满足初始条件 的特解是_11 (04 年) 欧拉方程 (x0) 的通解为_12 (05 年) 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 (88 年) 设函数 y=f(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x2 一 x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(
4、x)14 (89 年) 设 f(x)=sinx 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f 为连续函数，求 f(x)15 (90 年) 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解(一般解)16 (91 年) 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行17 (92 年) 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解18 (93 年) 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y|x=1=1 的特解19 (93 年) 设物体 A 从点(0 ，1)
5、出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动，物体B 从点 (一 1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件20 (94 年) 设 f(x)具有二阶连续导数， f(0)=0，f(0)=1，且xy(x+y)=f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为一全微分方程，求 f(x)及此全微分方程的通解21 (95 年) 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点记为 A已知 ，求 L 的方程22 (96 年) 设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在
6、y 轴上的截距等于，求 f(x)的一般表达式23 (97 年) 设函数 f(u)具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程求 f(u)24 (97 年) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群总数为 N，在 t=0 时刻已掌握新技术的人数为 x0，在任一时刻 t 已掌握新技术的人数为 x(t)(将 x(t)视为连续可微变量 )，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数 k0，求 x(t)25 (98 年) 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起) 与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，
7、从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=f(v)26 (99 年) 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1，过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程27 (00 年) 设对于半空间 x0 内
8、任意的光滑有向封闭曲面 S，都有其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续一阶导数，且 求 f(x)28 (02 年)(1)验证函数 y(x)= (一 x+)满足微分方程 y“+y+y=ex(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数29 (03 年) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解30 (04 年) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机
9、迅速减速并停下 现有一质量为 9 000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700 kmh 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于(D) 中的 y=C1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y3=C1(y1y3)+C2(y2y3)+y3 其中 y1 一 y3 和 y2 一 y3 是对应的齐次方程的两个解，且 y1 一 y3 与 y2y3 线性无关
10、事实上，若令 A(y 1 一 y3)+B(y2y3)=0 即 Ay 1+By2 一(A+B)y 3=0 由于y1，y 2，y 3 线性无关，则 A=0，B=0，一(A+B)=0. 因此 y1y3 与 y2 一 y3 线性无关，故 y=C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y3 是原方程通解【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 等式 f(x)= +ln2 两边求导得 f(x)=2f(x)解此方程得 f(x)=Ce2x 由原方程可知 f(0)=ln2，代入 f(x)=Ce2x 得 C=ln2故 f(x)=e2xln2【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】
11、 f(x)+f(x)=ex【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，且当x0 时， 是x 的高阶无穷小，由微分的定义可知 两边积分得 ln|y|=arctanx+C1， y=Cearetanx 由 y(0)= 知，C= ，于是【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 (x+c)cosx【试题解析】 由线性方程通解公式得 y=e -p(x)dxQ(x)ep(x)dxdx+C=e-tanxdxcosx.etanxdxdx+C =cosx(x+C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=e x(C1cosx+C2sinx+1)【试题解析】 特征方程为 2 一 2+2
12、=0，解得 1,2=1i，则齐次方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx) 易观察出 y=ex 是非齐次方程的一个特解则原方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C 1e-2x+C2e2x+【试题解析】 特征方程为 2 一 4=0，则 1=一 2， 2=2，从而齐次方程的解为由于 =2 为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为 y*=Axe2x代入原方程得 故所求通解为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y“=p,代入原方程得【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y” 一 2y+2y=0【试题解析
13、】 所求方程的特征根为 1,2=1+i 则其特征方程为 2 一 2+2=0 故所求方程为 y“一 2y+2y=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y 2=x+1 或【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 令 x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为 ( 一 1)+4+2=0 解得 1=1， 2=一 2 则新方程通解为 y=C1e-t+C2e-2t，将 x=et 代入得原方程通解为【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+2y=xlnx 是一阶线性方程，方程两端同除以 x 得：则通解为【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字
14、说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2 一 3+2=( 一1)( 一 2)=0 其根为 1=1， 2=2 则齐次通解为 由于 =1 为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为 y*=Axex 代入原方程得 A=一 2 则原方程通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex 由原题设曲线 y【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 原方程可写为 f(x)=sinxx 0xf(t)dt+0xtf(t)dt 上式两端对 x 求导得 f(x)=cosx-0xf(t)dt 一 xf(x)+xf(x)=cosx0xf(t)dt (*) 两端再对 x 求
15、导得 f“(x)= 一 sinx一 f(x) 即 f“(x)+f(x)= 一 sinx 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 =一 2 是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y*=Ax2e-2x 代入原方程得 A= 故原方程通解为 y=(C1+C2x)e-2x+ 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 曲线 y=y(x)在 P(x，y)处的法线方程为 它与x 轴的交点为 Q(x+yy，0)，则法线段 PQ 的长度为由题设可得微分方程为由于曲线 y=y(x)是向上凹的，则 y“0，由此上式可改写为 yy”=1+y2 且
16、当 x=1 时，y=1，y=0 两边积分并注意到y=1 时， p=0，得 上式两边积分，并注意到 x=1 时 y=1，得 因此，所求曲线方程为 将 y 移至右边再平方，整理得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 特征方程为 2+2-3=0，其根为 1=1， 2=一 3，则对应的齐次方程的通解为 =C1exC2e-3x (其中 C1 和 C2 为任意常数)由于 =一 3 是特征方程的单根，所以原方程的特解可设为 y*=Axe-3x 代入原方程解得 ，所以故原方程通解为 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 分离变量并积分得 y一 2x=Cx2y 由 y|x=1=1 得 C=一 1则所求解
17、为【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设在 t 时刻，B 位于点(x，y)处(见图 210)，则代入(*)式得到所求微分方程为 其初始条件为 y| x=-1=0，y| x=-1=1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由于xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 是全微分方程，则即 x 2+2xy 一 f(x)=f“(x)+2xyf“(x)+f(x)=x2 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2 由 f(0)=1 及 f(0)=1，可求得 C1=2，C 2=【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设
18、 M 点的坐标为(x，y)，则切线 MA 的方程为 Yy=y(X-x)令X=0，则 Y=y 一 xy，点 A 的坐标为(0，yxy)由【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)令X=0，得截距为 Y=f(x)-xf(x)由题意知 即 0xf(t)dt=xf(x)一 xf(x)上式对 x 求导，化简得 xf“(x)+f(x)=0 积分得 xf(x)=C 1 因此 f(x)=C 1lnx+C2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 u=exsiny，则 代入原方程得 f“(u)一 f(u)=0 这是一个二阶
19、线性常系数齐次方程，特征方程为 2 一 1=0(=1)，则 f(u)=C1eu+C2e-u【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由题设可知【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 取沉放点为原点 O，Oy 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得按分离变量法解之【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(X-x)它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是注意到 y(0)=1，并由 (*)式知 y(0)=1，从而可知 C1=1，C 2=0故所求曲线的方程是 y=e x【知识模块】 高等数学27 【正确
20、答案】 由题设和高斯公式可得其中 是 S 围成的有界闭区域由 S的任意性知 xf(x)+f(x)一 xf(x)-e2x=0(x0)即这是一个一阶线性方程，由通解公式知【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (1)因为 所以y“+y+y=ex(2)与 y“+y+y=ex 相应的齐次方程为 y“+y+y=0 其特征方程为 2+1=0设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由反函数导数公式知 上式两端对 y 求导得y“y=sinx 该方程对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-x 设方程 y“一 y=sinx的特解为 =Acosx+Bsinx，代入该方程得从而 y“一 y=sinx 的通解为【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9 000 kg，着陆时的水平速度 v0=700 kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为v(t)根据牛顿第二定律，得所以，飞机滑行的最长距离为 105 km【知识模块】 高等数学
