1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (08 年 )在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是（A）y“+y“ 一 4y一 4y=0（B） y“+y“+4y+4y=0（C） y“一 y“一 4y+4y=0（D）y“一 y“+4y一 4y=02 (15 年 )设 y= 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y”+ay+by=cex的一个特解，则（A）a= 一 3，b=2，c=一 1（B） a=3，b=2，c=一 1（C） a=一 3，b=2，c=1
2、（D）a=3 ，b=2，c=13 (16 年 )若 y=(1+x2)2 一 是微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个解，则 q(x)=（A）3x(1+x 2)（B）一 3x(1+x2)（C）（D）4 (96 年 )4 阶行列式 的值等于（A）a 1a2a3a4 一 b1b2b3b4（B） a1a2a3a4+b1b2b3b4（C） (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)（D）(a 2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)5 (14 年 )行列式（A）(adbc) 2（B）一 (adbc)2（C） a2d2 一 b2c2（D）b 2c2 一 a2d26 (87 年 )设 A 为 n
3、 阶方阵，且 A 的行列式|A|=a0，而 A*是 A 的伴随矩阵，则|A*|等于（A）a（B）（C） an+1（D）a n7 (91 年 )设 n 阶方程 A、 B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E二、填空题8 (06 年 )微分方程 的通解是_9 (07 年 )二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_10 (08 年) 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_11 (09 年) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay+by=0 的通解
4、为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y“+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的解为 y=_12 (11 年) 微分方程 y+y=e-xcosx 满足条件 y(0)=0 的解为 y=_13 (12 年) 若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2ex，则 f(x)=_。14 (13 年) 已知 y1=e3xxe2x，y 2=exxe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_15 (14 年) 微分方程 xy+y(lnxlny)=0 满足条件 y(1)=e3 的解
5、为 y=_16 (15 年)n 阶行列式17 (16 年) 行列式18 (88 年) 设 44 矩阵 A=( 2 3 4)，B=( 2 3 4)，其中 ， 2， 3， 4 均为 4维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1 ，则行列式|A+B|=_19 (89 年) 设矩阵 则逆矩阵(A 一 2I)-1=_20 (91 年) 设 4 阶方阵 则 A 的逆阵 A-1=_21 (94 年) 已知 =1，2，3，= 设 A=T，其中 T 是 的转置，则An=_22 (95 年) 设 3 阶方阵 A、 B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，其中则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤。23 (10 年) 求微分方程 y“一 3y+2y=2xex 的通解24 (12 年) 已知曲线 L： 其中函数 f(t)具有连续导数，且 f(0)=0，f(t)0(0t )若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为 1，求函数 f(t)的表达式，并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积25 (15 年) 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 y=f(x)在点(x 0， f(x0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求f(x)的表达式26 (16 年) 设函数 y(x)满足方程 y“+2y+
7、ky=0，其中 0k1 (I)证明：反常积分0+y(x)dx 收敛； ( )若 y(0)=1，y(0)=1，求 0+y(x)dx 的值27 (87 年) 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 A= ，求矩阵 B28 (88 年) 已知 AP=PB，其中 求 A 及 A529 (90 年) 设 4 阶矩阵 且矩阵 A 满足关系式 A(EC-1B)TCT=E，其中 B 为 4 阶单位矩阵， C-1 表示 C 的逆矩阵，C T 表示 C 的转置，将上述关系式化简并求矩阵 A30 (94 年) 设 A 为 n 阶非零实方阵， A*是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当A*=
8、AT 时，证明|A|0考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由原题设知所求方程的特征方程的根为 1=1， 2，3 =2i 则其特征方程为 ( 一 1)(2+4)=0，故所求方程应为 y“一 y“+4y一 4y=0 故(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 是方程 y”+ay+by=cex 的一个特解可知，y1=e2x，y 2=ex 是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xe x 是非齐次方程的一个解1和 2 是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为( 一 1
9、)( 一 2)=0 即 23+2=0 则 a=一 3，b=2 将 y=xex 代入方程 y”一 3y+2y=cex 得 c=一 1故(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 利用线性微分方程解的性质与结构由是微分程 y+p(x)y=q(x)的两个解，知 y1=y2 是 y+p(x)y=0 的解故(y 1y2)+p(x)(y1 一 y2)=0，即从而得 p(x)= 又 是微分方程 y+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有(1+x 2)2+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得 q(x)=3x(1+x2)因此(A) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 按第
10、 1 行展开所求行列式 D4，得=(a2a3 一 b2b3)(a1a4 一 b1b4)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于=一 ad(ad 一 bc)+be(ad 一 bc)=一(ad 一 bc)2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=|A|E 两端取行列式，得|A|A*|=|A| n，因|A|=a0，得|A*|=|A|n-1=an-1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ABC=E，即 A(BC)=E，故方阵 A 与 BC 互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即 BCA=E【知识模
11、块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 y=Cxe -x【试题解析】 ln|y|=ln|x|x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x 则 y=Cxe-x【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y=C 1e2+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 齐次方程特征方程为 24+3=0 解得 1=1， 2=3，则齐次方程通解为 y=C1ex+C2e3x 设非齐方程特解为 代入原方程得 A=一 2，则原方程通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 方程 xy+y=0 是一个变量可分离方程，原方程可改写为【知识模块】 高等数学11 【正确答
12、案】 y=一 xex+x+2【试题解析】 由于 y=(C1+C2x)ex 是方程 y”+ay+by=0 的通解，则该方程的两个特征根为 1=2=1， 故 a=一 2，b=1 设非齐次方程 y“一 2y+y=x 的特解为 y=Ax+B 代入方程得 A=1，B=2，则其通解为 y=(C 1+C2x)ex+x+2 由 y(0)=2，y(0)=0得，C 1=0，C 2=一 1 所以 y=一 xex+x+2【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 e -xsinx【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e -dxe-xcosx.edxdx+C =e-xcosxdx+C=e-xsinx+C 由 y(
13、0)=0 知，C=0，则 y=e-xsinx【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 e x【试题解析】 联立 得 f(x)一 3f(x)=一 2exf(x)=e3dx(一 2ex)d-3dxdx+C=ex+Ce3x 代入 f“(x)+f(x)=2e x，得 C=0 则 f(x)=e x【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 C 1ex+C2e3x 一 xe2x【试题解析】 由题设知 y 1 一 y3=e3x，y 2 一 y3=ex 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 y=C1ex+C2e3x 一 xe2x【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 xe 2x+1【试题解析】
14、由 xy+y(lnxlny)=0 得，y= 该方程为齐次方程，令代入原方程得 ln|lnu 一 1|lnx+C，即 lnu-1=Cx，由 y(1)=e3 的得 C=2，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 2 n+1 一 2【试题解析】 从第 n 列提取公因子 (一 2)，得行列式为将第 1，2，n-1 列都加到第 n 列，得按第 1 行展开，得所求行列式为 D=一 2一2n+1(-1)1+n(一 1)n-1=2n+1 一 2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 4+3+22+3+4【试题解析】 按第 1 列展开，得行列式为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 40【试题解析】
15、因为 A+B=(+ 22 23 24)，由行列式的性质即得|A+B|=|+ 2 2 23 24|=8|+ 2 3 4|=8(| 2 3 4|+| 2 3 4|)=8(4+1)=40【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 求 A 一 2I 的逆矩阵可有几种方法用初等行变换法：亦可以用分块求逆法：因为 由分块对角矩阵求逆阵的方法即得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 记矩阵为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 因为 T= 应用矩阵乘法的结合律，得【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解
16、析】 由已知关系式推出(A -1 一 E)BA=6A，因为上式右端的方阵 6A 可逆，所以左端的方阵 A-1 一 E 也可逆，给上式两端左乘 (A-1 一 E)-1，右乘 A-1，即得B=(A-1 一 E)-16AA-1=6(A-1 一 E)-1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 对应齐次方程 y“一 3y+2y=0 的两个特征根为 r1=1，r 2=2，其通解为 Y=C 1ex+C2e2x 设原方程的特解形式为 y*=x(ax+b)ex，则 y*=(ax 2+(2a+b)x+b)ex y*“=(ax2+(4a+b)x+2a+2b)ex
17、代入原方程解得 a【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线 L 的切线斜率 切线方程为由于 f(0)=0，所以f(t)=ln(sect+tant)一 sint因为 f(0)=0， ，所以以曲线 L 及 x 轴和 y轴为边界的区域是无界区域，其面积为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x0)=f(x0)(xx0)切线 yf(x0)=f(x0)(xx0)，直线 x=x0 及 x 轴所围区域的面积 由 y(0)=2 知，C=一 4，则所求曲线方程为【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (I)微分方程 y“+2y+ky=
18、0 的特征方程为 2+2+k=0综上可知，反常积分 0+y(x)dx 收敛() 由(I)知， 10， 20，所以又 y(0)=1，y(0)=1 ，所以【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 AB=A+2B 推出(A 一 2E)B=A，其中 E 为 3 阶单位矩阵，因为可逆，故 B=(A 一 2E)-1A=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 先求出 因 AP=PB，两端右乘 P-1，得A5=AAAAA=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PB5p-1=PBP-1=A【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 A(EC-1B)TCT=AC(EC-1B)T=A(C-B)T，故所给关系式化简成 A(CB)T=E 所以 A=(CB) T-1=(C-B)-1T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由公式 AA*=|A|E，得 AAT=|A|E，若|A|=0 ，则有 AAT=O，设 A的第 i 个行向量为 i(i=1，2，n)，则由 AAT 的第 i 行第 i 列处的元素为零，有iTi=i2=0，(i=1，2，n)，即 i=0，i=1，2， ，n，于是 A=O，这与已知A 为非零阵矛盾，故|A|【知识模块】 线性代数
