1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 26 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1993 年) 设有直线 则 L1 与 L2 的夹角为 2 (1995 年) 设有直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一2=0，则直线 L（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交3 (2001 年) 设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1，则（A）（B）曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0) 的法向量为 3，1，1（C）曲线 在点(0，0，f(0，0) 的切向量为1 ，0，3（D）曲线 在
2、点(0，0，f(0，0) 的切向量为3，0，1 4 (2006 年) 设 f(x，y)为连续函数，则 等于 5 (2007 年) 设曲线 L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第象限内的点 M和第象限内的点 N，T 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是 二、填空题6 (1987 年) 与两直线 及 都平行，且过原点的平面方程为_7 (1990 年) 过点 M(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面方程是_8 (1991 年) 已知两条直线的方程是 则过 L1 且平行于 L2 的平面方程是_9 (1995 年) 设 (ab) c=2，则(a+b)(b+c)
3、 (c+a)=_10 (1996 年)设一平面经过原点及(6，一 3，2) ，且与平面 4xy+2z=8 垂直，则此平面方程为_11 (2006 年)点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_12 (2000 年) 曲面 x2+2y2-t-3z2=21 在点(1，一 2，2)处的法线方程为_13 (2006 年) 设 是锥面 的下侧则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1994 年)已知 A 点和 B 点的直角坐标分别为(1，0，0)与(0，1，1)线段 AB绕 Z 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 z=0，z=1 所围成立体的体积15
4、 (1998 年) 求直线 L： 在平面 ：xy+2z 一 1=0 上的投影直线 l0 的方程，并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程15 (2009 年) 椭球面 S1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是由过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕 x 轴旋转而成16 求 S1 及 S2 的方程；17 求 S1 与 S2 之间的立体体积18 (1999 年) 设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求19 (2000 年) 设 其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶
5、连续导数，求20 (2001 年) 设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 09)，问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少小时?21 (2001 年) 计算 其中L 是平面 x+y+z=2 与柱面|x|+|y|=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向22 (2002 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0x1，0y123 (2003 年) 已知平面区域 D=(x，y)|0x，0y，L 为 D 的正向边界试证： 24 (2006 年) 设区域 D=(x，y)|x
6、2+y21，x0 计算二重积分 25 (2006 年) 设在上半平面 D=(x，y)|0内，函数 f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x，y) 证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有 考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 26 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 的方向向量 S 1=1，一 2，1，直线 L2 的方向向量 从而直线 L1 和 L2 的夹角 的余弦勾因此 因此 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于交成直线 L 的两
7、平面的法向量与 的法向量均垂直，即1， 3，2)4 ，一 2，12，一 1，一 104，一 2，1故 的法向量与 L 的方向向量平行，因此直线 L 垂直于 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 的参数方程为 则陔曲线在(0，0， f(0，0) 的切向量为 1，0，f x(0，0)=1，0，3【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 的积分域如图所示 则 故应选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 如图， 设 M(x1，y 1)，N(x2， y2)， 故应选(B) 【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 xy+z=0【
8、试题解析】 所求平面法向量可取为 由题可知所求平面过原点，则所求平面方程为 一 1(x 一 0)+1(y 一 0)一 1(z 一 0)=0 即 xy+z=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 x 一 3y 一 z+4=0【试题解析】 直线 的方向向量为一 1，3，1该向量是所求平面的一个法向量，所求平面过点 M(1，2，一 1)，则所求平面为 一(x1)+3(y 一2)+(x+1)=0 即 x 一 3y 一 z+4=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 x 一 3y+z+2=0【试题解析】 平面过直线 L1，则过 L1 上的点(1，2，3)；平面的法向量 n 既垂直于 L1又垂直于 L
9、2则可取 则所求平面为 (x 一 1)一 3(y 一 2)+(z3)=0 即 x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 4【试题解析】 (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)b(c+a)+(a+b)ca=(ab)c+(bc)a=(ab)c+(ab)c=4【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设 M(x，y ，z) 是所求平面上任一点，则向量 x，y，z ，6，一3，2)以及向量4 ，一 1，2) 共面，故 即 2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 由点到平面距离公式知 【知识模块】 高
10、等数学12 【正确答案】 【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+2y2+3z2 一 21 则 F x(1，一 2，2)=1，F y(1，一2，2)=一 4，F z(1，一 2，2)=6 故所求法线方程为 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2【试题解析】 补平面 S： 取上侧 则 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 解 1 过 A(1，0，0)和 B(0，1，1)的直线方程为 即 在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z 轴交于点 Q(0，0，z)，与 AB 交于点 M(1 一z，z，z)，故截
11、面圆半径 从而截面面积 S(z)=(12z+2z2)旋转体的体积 解 2 直线 AB 的方程为 设旋转体 内任一点 M(x，y，z)在 xOy 平面上投影点的极坐标为 P(r，)，则 02， 故旋转体的体积为 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 解 l 点(1，0，1)在 l 上，所以该点也在平面 1 上，于是 1 的方程可设为 1： A(x 一 1)+B(y0)+C(z 一 1)=0 1 的法向量应与 l 的方向向量垂直又应与平面 的法向量垂直，故有 A+BC=0；A B+2C=0 由此解得 A：B：C=一1：3：2，于是 1 的方程为 x 一 3y 一 2z+1=0 (*)从而 l0
12、 的方程为 将 l0 写成 设 l0 绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 S，点 P(xP，y P，z P)S，对于固定的 yP=y 去掉下角 P，即得S 的方程为 4x 2 一 17y2+4z2+2y1=0 解 2 用平面束方程由于 l 的方程可写成 故经过 l 的平面方程可写成 xy 一 1+(y+z1)=0，即 x+( 一 1)y+z 一(+1)=0 在其中求出一平面 1，使它与 垂直，得 1 一( 一 1)+2=0 解得 =一 2，于是 1 的方程同解 1 的(*)以下同解 1 解 3 平面 1 的法向量既垂直于 l 的方向向量，又垂直于 的法向量，由叉乘知， 1 的法向量可写为 由点法式
13、得 1 的方程为(*)以下同解1。【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 椭球面 S1 的方程为 设切点为(x 0，y 0)，则在(x 0，y 0)处的切线方程为 将 x=4，y=0 代入切线方程得 x0=1，从而 所以切线方程为从而圆锥面 S2 的方程为 即 (x 一 4)2 一4y2 一 4z2=0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 S 1 与 S2 之间的体积等于一个底面半径为 高为 3 的锥体体积与部分椭球体体积 V 之差，其中 故所求体积为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 等式 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 两端对 x 求导得 以上
14、两式消去 解得 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 设 V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则 由题意知 所以 因此 由h(0)=130 得 令 h(f)=0，得 t=100(小时) 因此高度为 130厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 记 S 为平面 x+y+z=2 上 L 所围成部分的上侧，D 为 S 在 xOy 坐标面上的投影，由斯托克斯公式得 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 D1=(x，y)|0x1，0yx ， D2=(x，y)|0x1，xy1 ， 则 【知识模块】 高等数学2
15、3 【正确答案】 (1)证 1 所以 证 2 由格林公式得 因为 D 关于 y=x 对称，所以 (2)由(1)知 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 解 1 所以 I=I1+I2= 解 2 I1 同上 由于 D 关于 x 轴对称，且函数 是 y的奇函数，所以 故 I=I1+I2=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由格林公式知，对 D 内的任意有向简单闭曲线 L， 的充分必要条件是：对任意(x，y)D，有 由于对任意的(x，y)D 及 t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(xy)两边对 t 求导，得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t-3(x，y)令t=1，得 2f(x，y)+xf 1(x，y)+yf 2(x，y)=0 即 所以 【知识模块】 高等数学
