1、考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为已知连续函数， ，其中 s0，t0，则 I 的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t 和 x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t2 设 f(x)是连续函数，且 ，则 F(x)等于（A）一 e-xf(e-x)一 f(x)（B）一 e-xf(e-x)+f(x)（C） e-xf(e-x)一 f(x)（D）e -xf(e-x)+f(x)3 设 ，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的（A）等价无穷小（B）同阶但非等价的无穷小（C）高
2、阶无穷小（D）低阶无穷小4 双纽线(x 2+y2)2=x2-y2 所围成的区域面积可用定积分表示为5 设 ，则有（A）NPM （B） MPN（C） NM P （D）PM N6 设 f(x)有连续导数，f(0)=0，f(0)0 ， ，且当 x0 时，F(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0令 ，S 2=f(b)(b 一 a)，则（A）S 1S 2S 3 （B） S2S 1S 3 （C） S3S 1S 2 （D）S 2S 3S 18 设 ，则 F(x)（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不
3、为常数9 设 f(x)连续，则 =（A）xf(x 2)（B）一 xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）-2xf(x 2)10 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时 F(x)必是单调增函数11 把 x0 +时的无穷小量 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D）， 12 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， 表示“M 的充分必要
4、条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调奇函数13 如图，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2， 3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周设，则下列结论正确的是14 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为 则函数 的图形为15 设 m，n 均是正整数则反常积分 的收敛性（A）仅与 m 的取值有关（B）仅与 n 的取值有关（C）与 m，n 的取值都有关（D）与 m
5、，n 的取值都无关16 =17 设 ，则 I，J ，K 的大小关系为（A）IJK（B） IKJ（C） JIK（D）KJI18 设 ，则有（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I319 若 ，则a1cosx+b1sinx=（A）2sinx（B） 2cosx（C） 2sinx（D）2cosx二、填空题20 由曲线 y=lnx 与两直线 y=(e+1)一 x 及 y=0 所围成的平面图形的面积是_21 设 f(x)是连续函数，且 ，则 f(7)=_22 设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x+ ，则 f(x)=_23 函数 的单调减少区间为_2
6、4 =_.25 =_26 =_27 =_28 已知 f(ex)=xe-x，且 f(1)=0，则 f(x)=_29 =_30 =_31 曲线 的弧长 s=_32 =_33 =_34 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 求正的常数 a 与 b，使等式 成立。36 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且在(a，b) 内有 f(x)0证明：在(a ，b)内存在唯一的 ，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f()，x=a 所围平面图形面积 S1 是曲线y=f(x)与两直线 y=f()，x=b 所围平面图形面积 S2 的 3 倍37 证明方程 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根3
7、8 求39 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 证明在(0，1)内存在一点 c，使 f(c)=040 设 ，求41 求42 设 ，求 的值43 求44 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数45 设 f(x)连续， ，求 (x)并讨论 (x)在 x=0 处的连续性46 求47 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口已知井深30 m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗抓起的污泥重 2 000 N，提升速度为 3 ms ，在提升过程中，污泥以 20 Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦
8、耳的功?(说明： 1 Nl m=1 J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)48 设函数 f(x)在0，x上连续，且 试证：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1 和 2，使 f(1)=f(2)=049 求 50 已知两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 50 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形D51 求 D 的面积 A；52 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V52 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对
9、桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 a m，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0r1)问53 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?54 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m 表示长度单位米)55 如图，曲线 C 的方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是由线 C 在点 (0，0)与(3 ，2)处的切线，其交点为(2 ，4) 设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 55 设 f(x)是连续函数，56 利用定
10、义证明函数 F(x)= 可导，且 F(x)=f(x)；57 当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)= 也是以 2 为周期的周期函数58 比较 的大小，说明理由；59 记 ，求极限60 计算 ，其中考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 可知 F(x)=一 e-xf(e-x)一f(x)故应选(A) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 所以，
11、当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价的无穷小【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知 M=0因此 PM N ，故应选(D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 在0，In2上考虑 f(x)=e-x，显然 f(x)满足原题设条件，而则 S 2S 1S 3【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 令 x2 一 t2=u，则【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A
12、【试题解析】 排除法(B)，(C)，(D) 分别举反例如下 (B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数 (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周期函数 (D)的反例： f(x)=x，F(x)= 不是单调增的所以应选 (A)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则当x0 +时 是 的高阶无穷小，又则当 x0 +时 是 的高阶无穷小故应选(B)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 直接法 若 F(x)是连续函数 f(x)的原函数，且 F(x)是偶函数，则 F(一x)=F(x)，式两端对 x 求导得
13、一 F(一 x)=F(x) 即 一 f(一 x)=f(x) 故 f(x)为奇函数反之，若 f(x)为奇函数，则 G(x)= 是 f(x)的一个原函数，又则 G(x)是偶函数，由于 F(x)也是f(x)的原函数，则 F(x)=G(x)+CF(x) 亦是偶函数，故应选(A) 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知 也可利用 f(x)是奇函数，则 为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 x(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当 x
14、(一 1，0)时 f(x)1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增显然(A)选项是错误的，因为(A) 选项中F(x)在( 一 1，0)中单调减由于 ，则 F(0)=0，显然(C)选项错误由于当 x(2，3时 f(x)0，则当 x(2，3时则(B)是错误的，(D)是正确的【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 B【试题解析】 当 时，sinxcosx1cotx，而 lnx 为单调增的函数，则 故应选(B)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 D【试题解析】 本
15、题主要考查定积分几何意义，曲线 y=sinx 如图(a)，而 在(0，+) 单调增且大于 1，则曲线 如图(b)该曲线与 z 轴围成三块域面积分别为 S1， S2，S 3，由定积分几何意义知 则 I2I 1I 3 故应选 (D)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题20 【正确答案】 【试题解析】 令 lnx=0，得 x=1；令 e+1 一 x=0，得 x=e+1；令 lnx=e+1 一 x，得x=e则所求面积为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 等式 两边对 x 求导，得 3x2f(x3 一 1)=1令 x=2，得【知识
16、模块】 高等数学22 【正确答案】 x1【试题解析】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 xt=u，则【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【试题解析】 令 ex=t，则 x=Int，代入 f(ex)=xe-x 得由 f(1)=0 知，C=0，故【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 一
17、4【试题解析】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 (In2)【试题解析】 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 【正确答案】 由洛必达法则知 由于上式右端分子极限为零，而原式极限为 1，则 b=1从而有 则a=4【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 令 其中 xa，b，显然 F(x)在a，b上连续又由 f(x)0 知 f(a)f(x)f(b) x(a，b)于是由连续函数的介值定理知，至少存在
18、一点(a， b)，使 F()=0，即 的唯一性可由F(x)的单调性得到 F(x)=f(x)+f(x)(x 一 a)一 f(x)一 3-f(x)+f(x)一 f(x)(b 一 x)=f(x)xa+3(bx)0 所以，F(x)在a ，b上单调增加，故在(a，b)上只有一个 ，使F()=0，即 S1=3S2【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 由积分中值定理可知，存在 ，使又 ，即 f()=f(0)显然f(x)在0，上满足罗尔中值定理的条件，从而可知，存在 c(0，)，使 f(c)=0原题得证【知识模块】 高等数
19、学40 【正确答案】 由 可知【知识模块】 高等数学41 【正确答案】 【知识模块】 高等数学42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学43 【正确答案】 【知识模块】 高等数学44 【正确答案】 由对称性可知，所求心形线全长为【知识模块】 高等数学45 【正确答案】 由题设知 f(0)=0，(0)=0令 xt=u，得从而 由导数定义可知 由于从而可知 (x)在 x=0处连续【知识模块】 高等数学46 【正确答案】 【知识模块】 高等数学47 【正确答案】 作 x 轴如图 26将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 =1+2+3 其中 1 是克服抓斗自重作的功， 2 是克服缆绳重量所作的功； 3 是
20、提出污泥所作的功由题设可知 1=40030=12 000 d2=50(30 一 x)dx 从而在时间间隔t，t+dt内提升污泥所作的功为 d3=3(2 00020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 ，所以则共需作功 =12 000+22 500+57 000=91 500(J)【知识模块】 高等数学48 【正确答案】 令 ，则 F(0)=F()=0 又所以存在(0， )，使 F()sin=0，因若不然，则在(0，) 内或 F(x)sinx 恒为正，或 F(x)sinx恒为负，均与 矛盾但当 (0，)时，sin0，故 F()=0由此证得 F(0)=F()=F()=0 (0 ) 再对 F(x
21、)在0，和 ， 上分别应用罗尔中值定理，知至少存在 1(0，) ， 2(，)，使 F( 1)=F(2)=0 即 f( 1)=f(2)=0【知识模块】 高等数学49 【正确答案】 【知识模块】 高等数学50 【正确答案】 由题设条件知 f(0)=0， 故所求切线方程为 y=x【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学51 【正确答案】 如图(a)，设切点横坐标为 x0，则曲线 lnx 在点(x 0，lnx 0)处的切线方程为 由该切线过原点知 lnx0-1=0，从而 x0=e，所以该切线方程为 所求图形 D 的面积为【知识模块】 高等数学52 【正确答案】 切线 与 x 轴及直线 x=e 所围成三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成图形绕直线x=e 旋转所得旋转体体积为 从而所求旋转体体积为【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学53 【正确答案】 设第咒次击打后，桩被打进地下 xn，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 Wn(n=1，2，3，)由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力大小为 kx，所以 由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数 r 知， W 1=rW1， W 3=rW2=r2W1 则前三次击打所作功总和为 W 1+W2+W3=W1+rW+r2W1=(1+r+r2)W1= 又
