1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 107 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ( )（A）等于-1（B）等于 1（C）等于 4（D）不存在2 设 f(x)= 在(0，+)内为连续函数，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=-1（C） a=-1，b=1（D）a=-1，b=-13 设曲线 y= 与 y=ax2+b 在点 处相切，则( )4 设 F(x)= ，则 F(x)( )（A）有极小值 0（B）有极大值（C）没有极值（D）有极小值-15 设 F(x)= (x-2t)f(x-t)dt，f(x)可导且 f(x)0，则( )（A）F
2、0)是 F(x)的极小值（B） F(0)是 F(x)的极大值（C）曲线 y=F(x)在点(0 ， 0)的左侧是凸的，右侧是凹的（D）曲线 y=F(x)在点(0， 0)的左侧是凹的，右侧是凸的6 设连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= f(t2)dt+e，则 f(x)等于( )7 两平行平面 1：x-2y+2z-15=0， 2：x-2y+2z+18=0 之间的距离为( )（A）1（B） 3（C） 11（D）338 设 z=z(x，y)是由方程 z-y-z+2xez-y-x=0 确定的隐函数，则在点(0，1)处 z=z(x，y)的全微分 dz (0,1)=( )（A）dx-dy （B） dx
3、dy（C） -dx+dy（D）-dx-dy 9 设积分区域 D=(x，y) x 2+y21，而 D1=(x，y)x 2+y21，x0，y0 ，在下面的四个等式中不成立的是( )（A）0（B） （C） （D）10 如果 是某一二元函数 u(x，y)的全微分，则 a，b 应满足( )（A）a=1 ，b=-1（B） a=-1，b=1（C） a=-1，b=-1（D）a=1 ，b=111 设对任意正整数 n，总有不等式 anbncn，则( )12 设可导函数 f(x)满足方程 ，则 f(x)=( )（A）3e x（B） -3e-x（C） 3e-x（D）-3e x13 差分方程 yt1+2yt=t(-2
4、)t 具有的特解形式为( )（A）y t=t(At+B)(-2)t（B） yt=(At+B)(-2)t（C） yt=t(At+B)2t（D）y t=(At+B)2t二、填空题14 =_.15 设 f(x2)存在，则 =_16 设 =_.17 设 f(x)=x3-3x2-9x-8，则 f(x)在(- ，+) 内零点的个数为_18 =_.19 摆线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱(0t2) 与 x 轴所围成的图形的面积为_20 设 x=x(y，z)，y=y(x，z) ，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 确定的具有连续偏导数的函数，则 =_.21 曲面 上任何点
5、处的切平面在各坐标轴上的截距之和为_22 设 =(x，y，z)x 2+y2+z21，则 z2dxdydz=_23 设为球面 x2+y2+z2=R2，cos ，cos，cos 为该球面上外法线向量的方向余弦，则 (x3cos+y3cos+z3cos)dS=_24 将幂级数 的和函数展开成(x-2)的幂级数为_25 微分方程 yy-(y)2+(y)3=0 满足 y(0)=1，y(0)=-1 的特解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 107 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以不存在【知识模块】 高等数学2 【正确答案】
6、B【试题解析】 要使 f(x)在(0 ，+) 内连续，只需 f(x)在 x=1 点连续即成立，从而 (ax2+b)=a+b=0，即 a+b=0于是 故 a=，b=-1【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为曲线 y= 与 y=ax2+b 在点 处相切，所以【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由积分上限函数的求导公式，有 F(x)=xe -x2，f(x)=e -x2-2x2e-x2=(1-2x2)e-x2 令 F(x)=0，得唯一驻点 x=0又 F(0)=10，故由极值的第二充分条件知，F(x)有极小值 F(0)=0【知识模块】 高等数学5 【正确答案】
7、D【试题解析】 要讨论函数 F(x)的极值与曲线 y=F(x)的凹凸性，须求 F(x)与F(x)但由于 F(x)是积分上限函数，且被积函数中含有 x，应先将被积函数中的x 移到积分符号外为此，对积分作变换，令 x-t=u，则当 x0 时，F(x) 0，曲线 y=F(x)是凹的；当 x0 时，F(x) 0，曲线 y=F(x)是凸的，故应选 D【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个已知函数方程求函数的问题，其方法是将函数方程转化为微分方程，解微分方程即可 在已知方程中取 x=1，得 f(1)=e将已知方程两端对x 求导，得 两端积分得由 f(1)=e，得 C=1故 f(x
8、)=【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 在平面 1 上取一点 M1，则点 M1 到平面 2 的距离即为两平行平面之间的距离令 y=z=0，由 1 的方程得 x=15，于是 M0(15，0，0)即为平面 1 上的点，故所求距离为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 在已知方程中，令 x=0，y=1，得 z=1将已知方程两边求全微分，得 dz-dy-dx+2e z-y-xdx+2xz-y-x(dz-dy-dx)=0 在上式中，取 x=0，y=1 ，z=1 得 dz (0,1)-dy-dx+2dx=0， 所以 dz (0,1)=-dx+dy【知识模块】 高等数学
9、9 【正确答案】 C【试题解析】 由于积分区域 D 关于 x 轴，y 轴对称，被积函数 sin(xy)关于 y，x 分别为奇函数，由对称性可知 故应选 C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 记 P(x，y)=则 P(x，y)dx+Q(x，y)dy 是某一二元函数 u(x，y)的全微分 ，而【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 A【试题解析】 由于 an，b n，c n 未必大于零，不能用比较审敛法来判断需要转化为正项级数以后再作比较 因为 anbncn，所以 0bn-ancn-an，若 cn都收敛，则 (cn-an)收敛，由正项级数的比较审敛法知， (bn-an)收敛
10、从而(bn-an)+an收敛故应选 A【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 这是已知函数方程，求函数问题，其方法是将方程两边对 x 求导数，得到微分方程，解微分方程得到所求函数但由于方程中含有 ，不能直接求导，故令 x-t=u，则于是，原方程可化为 等式两边对 x 求导，得即 f(x)= ，且 f(0)=3将方程 f(x)= 两边对 x 求导，得 f(x)=f(x)，所以 f(x)=Cex，由 f(0)=3，得 C=3故 f(x)=3ex【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 因为 b=-2=a，f(t)=t(-2) t，所以一阶线性差分方程 yt+1+
11、2yt=t(-2)t 应具有的特解形式为 y t*=t(At+B)(-2)t【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 因为 (i=1，2，n)，所以由夹逼定理得【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 -3f(x 0)【试题解析】 =-f(x0)-2f(x0)=-3f(x0)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1【试题解析】 讨论函数零点(或方程根)个数的方法是：研究函数的性态，画出函数的草图，根据草图确定函数零点(或方程根)的个数 f(x)=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1)，令 f(x)=0，得驻
12、点 x1=-1，x 2=3，列表 11：因为，根据表中 f(x)的单调区间与极值，函数y=f(x)的图形如图 34 所示故 f(x)在(-，+)内零点个数为 1【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，先将分母中的 1-cosx 用等价无穷小替换，再考虑到分子中积分上限函数的各个变量的含义，利用洛必达法则进行计算【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 3a 2【试题解析】 这是一个参数方程所确定的曲线与 x 轴所围成的平面图形的面积问题所求面积为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 -1【试题解析】 (公式法) 因为 x=x(y，z) ，y=y(x
13、z)，z=z(x ，y)都是由方程F(x，y，z)=0 确定的具有连续偏导数的函数，故由隐函数求导公式，有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 a【试题解析】 设曲面上任意一点 M(x0，y 0，z 0)，则曲面在 M 点的法向量M 点的切平面方程为令x=y=0，得切平面在 z 轴上的截距 令 x=z=0，得切平面在 y 轴上的截距；令 y=z=0，得切平面在 x 轴上的截距 故截距之和为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 (利用截面法) 由于被积函数仅是 z 的函数，积分区域又可表示为 =(x，y，z)-1z1 ，x 2+y21-x2，故可用截面法计算，所以【知识模
14、块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查两类曲面积分之间的关系、高斯公式以及三重积分的计算设 为由：x 2+y2+z2=R2 围成的空间区域，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 9n(x-2)n-1，x(1，3)【试题解析】 本题既考查求幂级数的和函数，同时又考查将函数展开成幂级数先求幂级数 的和函数令 等式两边从 0 到 x 积分，得两边求导，得再将幂级数的和函数 s(x)=展开成(x-2)的幂级数因为等式两边求导，得所以，幂级数的和函数【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y-lny 2=x+1【试题解析】 这是一个不显含自变量 z 的可降阶的微分方程令 y=P(y)，则将其代入原方程，得 从而 =P-P2 或 P=0因为 P=0 不满足初始条件，故将其舍去于是 等式两边积分，得 即由 y(0)=1，y(0)=-1，得 C1=，即 分离变量，得等式两边积分，得 2lny-y=-x+C 2，由 y(0)=1，得 C2=-1，故所求特解为 y-lny2=x+1【知识模块】 高等数学
