1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 108 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ( )（A）为（B）不存在（C）等于 0（D）等于2 f(x)在点 x0 处连续“是“f(x)在点 x0 处连续”的( )（A）充分条件，但不是必要条件（B）必要条件，但不是充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件3 设 f(x)在点 x=0 的某邻域内有定义，并且f(x) ln(1+x2)，则 f(x)在点 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(0)0（D）可导且 f(0)=04 如果函数 f(x)在点 x0 处取得极大值
2、，则必有( )（A）f(x 0)=0 且 f(x0)=0（B） f(x0)=0 且 f(x0)0 （C） f(x0)=0 且 f(x0)0 （D）f(x 0)=0 或 f(x0)不存在5 设 f(x)在a ，b上连续，且 f(x)0，F(x)= ，则函数 F(x)在(a， b)内( )（A）必定没有零点（B）有且仅有一个零点（C）至少有两个零点（D）有无零点无法确定6 设 f(x)为连续函数，则 tf(x2-t2)dt 等于( )（A）xf(x 2)（B） -xf(x2)（C） -2xf(x2)（D）2xf(x 2)7 直线 L： 与平面：x-y-z+1=0 的夹角为( )8 设 f(x，y)
3、=x 2+xy+y2-3x+2，则 f(x，y)( )（A）在点(-1，2)处取得极小值（B）在点 (2，-1)处取得极小值（C）在点 (1，-2)处取得极大值（D）在点(-1，-2) 处取得极大值9 的值为( )10 设 L 为圆周 x2+(y+1)2=2 取逆时针方向，则 ( )（A）等于 （B）等于 2（C）等于 2（D）不存在11 若级数 收敛，则级数( )12 设可导函数 f(x)(x0)满足方程 f(tx)dt=nf(x)(n 为大于 1 的整数)，则 f(x)=( )（A）（B） Cx（C） Csin nx（D）cos nx13 差分方程 yt+1-yt=4cos 的一个特解为(
4、 )二、填空题14 =_.15 设 f(x)是奇函数，且 f(0)存在，则 =_16 曲线 y=lnx 与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_17 设 f(x)=ax3-6ax2+b 在闭区间-1，2上的最大值是 3，最小值是-29，且 a0，则a_，b=_18 max2，x 2dx=_19 曲线 y=x2，x=y 2 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为_20 设 f(x，y) =_.21 已知函数 u=3x2y-2yz+z3，v=4xy-z 3，则 u 在点 P(1，-1，1)处沿该处 gradv 方向的方向导数为_22 设 f(x)具有连续导数，f(0)=0，区域 =(x，
5、y，z)x 2+y2+z2t2，则=_.23 设为上半球面 的上侧， 则曲面积分 I=_.24 将 f(x)= 展开成(x-3)的幂级数为_ 25 微分方程 xy=y+x2 的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 108 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以不存在【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由“如果 ”可得，如果 f(x)在点 x0 处连续，即 f(x)= f(x 0)，即f(x)在点 x0 处连续但如果f(x)在点 x0 处连续，f(x) 在点 x0 处不一定连续例如 f(x)=在 x
6、=0 点不连续，但f(x)=1 在 x=0 点连续所以“f(x) 在点 x0处连续”是“f(x)在点 x0 处连续”的充分条件，但不是必要条件【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 连续性 因为f(x)ln(1+x 2)，所以 -ln(1+x 2)f(x)ln(1+x2)，得 f(0)=0，又 故由夹逼定理，得=0=f(0)，于是 f(x)在点 x=0 处连续可导性 由于没有给出 f(x)的具体表达式，只能用定义讨论 f(x)在点 x=0 处的可导性由于f(x)ln(1+x 2)，所以因为由夹逼定理得 故 f(x)在点 x=0 处可导，且 f(0)=0【知识模块】 高等数学4
7、【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查 f(x)在点 x0 处取得极(大)值的必要条件 取 f(x)=-(x-1)2，则 f(x)在点 x=1 处取得极大值， f(x)=-2(x-1)，f(x)=-2， f(1)=0，但 f(1)=-2，排除 A B 是 f(x)在点 x0 处取得极大值的充分条件 C 是 f(x)在点 x0 处取得极小值的充分条件 故只有选 D【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)在a，b 上连续，f(x) 0，所以 在a，b上连续，从而在a，b上可导，当然在 a，b上连续，又由零点定理，至少存在一点(a， b)，使得 F()=0，又 所以
8、F(x)在a，b 上单调增加，即至多存在一点 (a，b)，使得 F()=0，故应选 B【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个积分上限函数的求导问题，由于积分上限函数的被积函数中含有 x，可作变量代换，将被积函数中的 x 移到积分符号外，然后求导 令 x2-t2=u，则【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 直线 L 的方向向量 s= =2i+4j-2k平面的法向量n=i-j-k于是，直线 L 与平面的夹角 就是直线 L 的方向向量 s 与平面的法向量 n 夹角的余角从而故=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个二元函数的极值
9、点的判定问题先求驻点令解得驻点为(2，-1)，由于四个选项中只有 B 选项的点是驻点，故应选 B事实上，在驻点(2，-1)处，而 B2-AC=-30，A0，故 f(x，y)在点 (2，-1)处取得极小值【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 直接计算二次积分，计算量太大，因此应先交换积分次序，再计算由已知二次积分知，D=(x，y)0y1，yx1，将其写成 X 型区域，得 D=(x，y)0x1，0yx，所以【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 由于积分曲线 L 为 x2+(y+1)2=2，故可先代入，再用格林公式于是其中 D 是由圆x2+(y+1)2=2 围成
10、的封闭区域【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 (推理法) 因为级数 an 收敛，所以 an+1 收敛，由级数的基本性质知 收敛故应选 D【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 类似于上题分析，当 x0 时，令 tx=u，则 t= ，于是从而，原方程可化为等式两边求导，得 f(x)=nf(x)+nxf(x)， 即等式两边积分，得 则 f(x)=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 一阶线性差分方程 yt+1-yt=4cos 应具有的特解形式为 yt*=Acos，于是将 yt*，y t*，代入原差分方程，并化简整理得比较等式两边的系数，得
11、【知识模块】 高等数学二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 f(0)【试题解析】 因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)=0从而【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=x-1【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则由导数的几何意义与题意有故切点坐标为(1，0)，切线方程为 y=x-1【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2，3【试题解析】 (1)求 f(x)在 -1，2上的驻点与使得 f(x)不存在的点(如果有的话) f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)令 f(x)=0，得驻点 x1=0，x 2=4(舍去) (2)求
12、f(x)在-1，2上的驻点与区间端点处的函数值 f(-1)=b-7a， f(0)=b， f(2)=-16a+b (3)比较上述函数值得 f(x)在-1，2上的最大值、最小值 比较上述函数值，得由已知条件，得 b=3，b=16a=-29，解得 a=2，b=3【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 这是一个分段函数的定积分的计算问题关键是写出 max2，x 2在-2，3上的表达式【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 由 y=x2，x=y 2 解出曲线的交点为(0，0)，(1，1)取 x 作为积分变量，所求旋转体的体积等于由曲线 ，y=0，x=1 所围成的平面图形与
13、由曲线y=x2， y=0， x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积之差(如图 37)，即【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 -1【试题解析】 因为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 先计算 v 在点 P 处的梯度 gradv，再求出它的单位向量 l0，最后计算将其单位化，得 从而 gradv p 的方向余弦由方向导数的计算公式，有【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 先在球坐标下将三重积分 f(x2+y2+z2)dv 化为积分上限函数，然后用洛必达法则求极限在球坐标下，积分区域=(，r)002 ，0 ，0rt于是【知识模块】 高等数学
14、23 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查第二类曲面积分的计算问题由于被积表达式过于复杂，不易直接计算应先将曲面的方程代入到被积表达式，然后补曲面(减曲面)最后再计算 添加曲面 1：z=0(x 2+y2R2，取下侧)，则 1 与构成封闭曲面(取外侧)，如图 53 所示，其围成的空间闭区域为 ，则【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 由-(x-3)1， ，得 x(2，4)故 f(x)展开成(x-3) 的幂级数为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【试题解析】 这是一个不显含未知函数 y 的可降阶的微分方程令 y=P(x)，则y=P(x)，将其代入原方程，得 xP(x)=P(x)+x2， 即 P(x)- P(x)=x，这是一个以 x为自变量、P(x)为未知函数的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的求解公式，有 即 =x2+C1x，等式两边积分，得 即为微分方程的通解【知识模块】 高等数学
