1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 110 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 3（B）等于 0（C）为 （D）不存在且不为2 设 f(x)对任意 x1，x 2 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，f(x)在点 x=0 处连续，x 00为任意实数，则( )（A） 不存在（B） 存在，但 f(x)在点 x0 处不连续（C） f(x)在点 x0 处连续（D）f(x)在点 x0 处的连续性不确定3 设 f(x)为连续函数，下列命题正确的是( )（A）如果 f(x)是周期函数，则 f(x)也一定是周期函数（B
2、）如果 f(x)是增函数，则 f(x)也一定是增函数（C）如果 f(x)是偶函数，则 f(x)一定是奇函数（D）如果 f(x)是奇函数，则 f(x)一定是偶函数4 如果 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且当 x(a，b)时，f(x)0，又 f(a)0，则( )（A）f(x)在a，b上单调减少，且 f(b)0（B） f(x)在a，b 上单调增加，且 f(b)0（C） f(x)在a，b 上单调减少，且 f(b)0（D）f(x)在a，b上单调增加，但 f(b)的正负无法确定5 设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数， “M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有( )（A）
3、F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调函数6 反常积分 (m0，n0)，则( )（A）当 m1 时，此反常积分收敛（B）当 n1 时，此反常积分收敛（C）当 n-m1 时，此反常积分收敛（D）当 n-m1 时，此反常积分收敛7 与两直线 L1： 都平行，且过原点的平面方程是( )（A）x-y+z=0 （B） x-y-z=0（C） x+y+z=0（D）x+y-z=0 8 设 u(x，y) 在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且，则 u(x，y)的( )（A）最大值点
4、和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上9 设 D=(x， y)-1x1，-1y1，则二重积分 x+yd 等于( )10 设曲面：x 2+y2+z2=R2， 为 围成的闭区域，则曲面积分 (x2+y2+z2)dS=( )11 设u n是数列，则下列命题正确的是( )12 设有连接点 O(0，0) 和 A(1，1) 的一段凸的曲线弧 上任一点P(x，y)，曲线弧 所围图形的面积为 x3，则曲线弧 的方程为( )（A）y=7x-6x 2（B） y=7x+6
5、x2（C） y=6x-7x2（D）y=6x+7x 2二、填空题13 (3x+2y)dxdy=_14 =_.15 设 f(x)=(a+bx)-(a-bx)，其中 (x)在(-，+)内连续，且在点 x=a 处可导，则f(0)=_16 设 y=(sinx)tanx(sinx0)，则 dy=_17 =_18 设 f()=2， f(x)+f(x)sinxdx=5，则 f(0)=_.19 曲线 ，直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形绕 z 轴旋转一周所形成旋转体的体积为_20 设 z=(x+ey)x，则 =_.21 函数 f(x， y，z)=x 2+y3+z4 在点(1，-1，0)处方向导数的最大值与
6、最小值的平方和为_22 设球体 x2+y2+z2z上任意一点处的体密度等于该点到原点的距离的平方，则此质心的竖坐标为_23 设是球面 x2+y2+z2=R2 的下半部分的下侧，则曲面积分 x2y2zdxdy=_.24 幂级数 (-1)nn(x-2)n 的和函数为_25 设函数 y=y(x)是微分方程 y+2y+y=0 满足条件 y(0)=y(0)=1 的特解，则反常积分 = _.考研数学一（高等数学）模拟试卷 110 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 应考虑左、右极限【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】
7、本题考查函数连续性的概念f(x)在点 x0 处连续在 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中取 x1=x2=0，则 f(0+0)=f(0)+f(0)，得 f(0)=0且由 f(x)在点 x=0 处连续，则 =f(x0)，f(x)在点 x0处连续【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)=cosx+1，则 f(x)是周期函数，但 f(x)=sinx+x不是周期函数，排除 A 取 f(x)=2x，则 f(x)在(-，+)上是增函数，但 f(x)=x2在(-，+)上不是增函数，排除 B 取 f(x)=3x2，则 f(x)是偶函数，但 f(x)=x3+1不
8、是奇函数，排除 C故应选 D【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x) 0 知函数单调增加，排除 A、C由 f(x)0 知，当 ax b 时，f(a) f(x)f(b)，但由 f(a)0 无法判断 f(b)的符号，故应选 D【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 如果记住常见的结论：(1)奇函数的所有原函数是偶函数；(2)偶函数的原函数中只有一个是奇函数；(3)奇(偶) 函数的导函数是偶 (奇)函数很快选出正确选项 A【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 收敛，故当 n-m1 时， 收敛【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A
9、【试题解析】 直线 L1 的方向向量 s1=(0，1，1)，L 2 的方向向量 s2=(1，2，1)，则与 L1， L2 都平行的平面的法向量 n 满足 ns1，n s2，从而 n=s1s2= =-i+j-k，由于平面过原点，由平面的点法式方程，得所求平面为 (-1)(x-0)+1.(y-0)+(-1)(z-0)=0， 即 x-y+z=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查二元连续函数在闭区域上的最(大、小)值求法所以函数 u(x，y)在 D 的内部不可能有极值(点)，即 u(x，y)的最大值点与最小值点不可能在 D 的内部出现，排除 A、C、D但由于 u(x，y)
10、 是连续函数，所以在 D的边界上必有最大值与最小值，即 u(x，y)的最大值点和最小值点必定在 D 的边界上【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 当被积函数中含有绝对值符号时，应首先去掉绝对值符号，然后再计算 直线 x+y=0 将积分区域 D 分成区域 D1 与区域 D2 两部分(如图 25 所示) ，由积分区域的可加性，知由于积分区域 D 关于 x 轴、y 轴对称，被积函数 y，x 分别关于 y，x 为奇函数，所以【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查第一类曲面积分的计算，其方法是利用“一代二换三投影”将其化为二重积分进行计算于是 (x2+y2+
11、z2)dS=R2 =R2.4R2=4R4【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 A【试题解析】 若 un 收敛，由收敛级数加括号后形成的级数仍然收敛知， (u2n-1+u2n)收敛，故应选 A【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 设曲线弧 的方程为 y=y(x)，如图 33 所示，由题设条件知等式两边求导，得 =3x2， 即 xy-y=-6x2，也即 等式两边积分，得 =-6x+C，y=-6x2+Cx，由于曲线弧过 A(1，1)，所以 y(1)=1，由此得 C=7故 y=7x-6x2【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 -5【试题解析】 积分区域 D=(x，
12、y)x 2+y22x-4y)=(x，y)(x-1) 2+(y+2)25，其形心坐标为 ，积分区域的面积 =5，于是=315+2(=2)5=-5【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 1型未定式的极限【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 2b(a)【试题解析】 用导数的定义求 f(0)因为 f(0)=0，所以【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (sinx) tanx.(sec2x.lnsinx+1)dx【试题解析】 这是一个幂指函数求(导)微分问题两边取对数 ln y=tanx.In sinx，两边对 x 求导得 =sec2x.ln sin x+tan x.
13、， y=y(sec 2x.lnsinx+1)，所以dy=(sinx)tanx.(sec2x.lnsin x+1)dx.【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 1型未定式的极限，除了用对数恒等式进行转化外，还可化为第二个重要极限的推广形式本解法采用后者因为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 3【试题解析】 本题主要考查利用分部积分公式计算定积分的方法所以f(0)=5-f()=3【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 曲线 ，直线 x=2 及 x 轴所围成的平面图形 D 如图 39 所示，取 x 为积分变量，x1，2 ，则所求旋转体的体积为【知识模块
14、】 高等数学20 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 因为 z(x， 0)=(x+1)x=exln(1+x)，所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 26【试题解析】 函数 f(x，y，z)=x 2+y3+z4 在点(1 ，-1，0)处方向导数的最大值与最小值分别为 f(x，y，z) 在该点处梯度的模(长度)及梯度模(长度)的相反数 gradf(1，-1，0)=(2x，3y 2，4z 3) (1,-1,0)=(2，3，0)，gradf(1，-1，0)= 故所求平方和为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 由题设知，球体 x2+y2+z2z 上任意一点 M(x，y，z
15、) 的体密度为 p(x，y，z)=x 2+y2+z2，则球体的质量为 (x2+y2+z2)dv，其中 为空间区域 =(x，y，z) x 2+y2+z2z，在球坐标下=(，r)02，0 ，0rcos由空间物体的质心坐标公式，此球质心的竖坐标为【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 本题考查第二类曲面积分的计算曲面三的方程可写成取下侧，在 xOy 面上的投影区域为 x2+y2R2，利用“一代二投三定向”将曲面积分化为二重积分，有【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 令 s(x)= (-1)nn(x-2)n=(x-2) (-1)nn(x-2)n-1，设 s1(x)=
16、 (-1)nn(x-2)n-1，等式两边从 0 到 x 积分得 其中x-21，即 x(1，3) 等式两边求导，得 故幂级数 (-1)nn(x-2)n 的和函数为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 3【试题解析】 本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与无穷限反常积分的计算微分方程 y+2y+y=0 的特征方程为 r2+2r+1=0，特征根为 r1=r2=-1 以微分方程的通解为 y=C1e-x+C2xe-x 进一步，y=-C 1e-x+C2e-x-C2xe-x，由 y(0)=y(0)=1，得 于是 C1=1，C 2=2，所以微分方程的特解为 y=e-x+2xe-x于是【知识模块】 高等数学
