1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 111 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 等于( )（A）-2 （B） 2（C） 0（D）-2 设 f(x)=x-a(x)，其中 (x)在点 x=a 处连续，f(x)在点 x=a 处可导，则( )（A）(a)0（B） (a)=0（C） (2a)0（D）(2a)=03 设 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 如果 f(x)与 g(x)都在点 x0 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)+g(x)在点 x0 处( )（A）必取得极大值（
2、B）必取得极小值（C）不可能取得极值（D）可能取得极大值，也可能取得极小值5 设 f(x)是-a，a上连续的偶函数， a0，g(x)= x-t f(t)dt，则在-a，a上g(x)( )（A）单调增加（B）单调减少（C）是偶函数（D）是奇函数6 设反常积分 A= ，则 A、B 满足的关系式为( )（A）A=B（B） A=2B（C） A=Bln2（D）2A=B7 直线 L1： 之间的关系是( )（A）L 1L2（B） L1L2（C） L1 与 L2 相交但不垂直（D）L 1 与 L2 为异面直线8 设函数 z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且 ，则( )（A）f x(0，0)不存在（B） f
3、x(0， 0)存在但不为零（C） f(x，y)在点(0，0)处取得极大值（D）f(x，y)在点(0，0)处取得极小值9 如果二重积分 等于( )10 设=(x，y，z)2z+3y+z=1 ，x0，y0，z0)，则 (2x+3y+z+y2)dS=( )11 设级数 (-1)n-1an( )（A）必绝对收敛（B）必条件收敛（C）必发散（D）可能收敛，也可能发散12 微分方程 yy-2(y)2=0 的通解为( )二、填空题13 =_，其中 f(x)是大于零的连续函数14 =_.15 设 f(x)= g(0)=g(0)=0，则 f(0)=_16 设 f(x)=xsin 2x，则使 f(n)(0)存在的
4、最高阶数 n=_17 函数 f(x)= 的单调减少区间为 _18 设 f(x)= =_.19 曲线 y=ln(1-x2)上对应于 0x 的一段弧的长度为_20 设函数 ，则 dz (1,1)=_21 曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为_22 三次积分 =_.23 设为旋转抛物面 z=R2-x2-y2(R0)位于 z0 的部分的上侧，则曲面积分 (y2-z2)dydz+(z2-y2)dzdx+(x2-z2)dxddy=_24 幂级数 的和函数为_25 设函数 y=y(x)是微分方程 y-3y+2y=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则直线x=0，y=e 2 与曲线 y=y(
5、x)所围成的图形绕 Y 轴旋转所得旋转体的体积为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 111 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以故 f(x)在点 x=0 处连续而不存在，所以 f(x)在点 x=0 处不可导故应选 C【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查极(大)值的定义 因为 f(x)与 g(x)都在点 x0 处取得极大值，由极大值的定义知：存在 10，当 x(x0-1，x
6、0+1)时，f(x)f(x 0)，存在20，当 x(x0-2，x 0+2)时，g(x)g(x 0)，取 =min1， 2，则当 x(x0-，x 0+)时， f(x)+g(x)f(x 0)+g(x0)， 即 F(x0)=f(x0)+g(x0)是 F(x)=f(x)+g(x)的极大值【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 考虑 g(x)的奇偶性故g(x)是偶函数【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 A-B= 令 x= ，则从而 A=2B【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 的方向向量 s1=(2，3，4)，直线 L2 的方向向量
7、s2=(1， 1，2)因为 s1 与 s2 的坐标不成比例，所以 s1 s2，即 L1 L2又因为 s1.s2=21+31+42=130，所以 s1 与 s2 不垂直，即 L1 与 L2 不垂直在 L2 上取一点 M1(0，-3，0)，在 L2 上取一点 M2(1，-2，2)，作向量 =(1，1，2)混合积 所以 L1 与 L2 共面，故 L1 与 L2 相交但不垂直选 C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 (特殊函数法) 由于即当(x，y)(0，0)时 f(x，y)与一(x 2+y2)是等价无穷小取 f(x，y)=-x 2-y2，则 f(x，y) 满足题目条件 f x=-
8、2x， fy=-2y， f xx=-2，f xy=0，f yy=-2、 显然 fx(0，0)=0 ，排除 A、B 在驻点(0，0)处， A=-2， B=0 ， C=-2 ， B 2-AC=-40， A=-20，由二元函数极值的充分条件，f(x，y)在点(0，0)处取得极大值，排除 D故选 C【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由已知令y=-t，则【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查第一类曲面积分的计算的方程为 z=1-2x-3y，在 xOy 面上的投影如图 31 阴影部分所示，利用“一代二换三投影”将其化为二重积分，得【知识模块】 高等数学11
9、 【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法)取 an=亦收敛；取 an=(-1)n-1发散故应选 D【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 因为二阶微分方程通解必含有两个任意常数，故先排除 A、B 验证C，y= ，求一阶、二阶导数：将 y，y ，y代入微分方程，得所以是该微分方程的解，故应选 C【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 (a+b)R2【试题解析】 由轮换对称性，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 0【试题解析】 求分段函数在分段点的导数用函数在该点的导数定义或该点的左右导数【知识模块】
10、高等数学16 【正确答案】 2【试题解析】 因为故f(0)=0所以 f(0)=0所以 f(0)不存在故使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为 2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= ，令 f(x)=0，得驻点 ，因为当 0x 时，f(x)0故 f(x)的单调减少区间为【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 2【试题解析】 利用分部积分法【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 对 y=ln(1-x2)求导，得 由平面曲线的弧长公式，所求曲线弧长为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (2ln2+1)(dx-dy)【试题解析】 令 =u，则 z
11、=(1+u)u=euln(1+u)因为 ，所以【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，-1，0)处的法向量 n 1=(2x，2y，2z) (1,-1,0)=(2，-2，0) ，平面 x+y+z=0 在点(1，-1，0)处的法向量 n2=(1，1，1)于是曲线在点(1，-1，0)处的切线的方向向量为 s=n1n2= =-2i-2j+4ki+j-2k，故所求切线方程为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【试题解析】 将三次积分转化为柱坐标下三次积分进行计算由给定的三次积分知，积分区域在柱坐标下，=( ，r ，z)02，0r1，rz1，故【
12、知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 添加曲面 1：z=0(x 2+y2R2，取下侧)，则 1 与 构成封闭曲面(取外侧)，其围成的空间闭区域为 ，则 (y2-x2)dydz+(z2-y2)dzdx+(x2-z2)dxdy= (y2-x2)dydz+(z2-y2)dzdx+(x2-z2)dxdy (y2-x2)dydz+(z2-y2)dzdx+(x2-z2)dxdy【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【试题解析】 令 s(x)= ，等式两边求导得令 s1(x)= ，等式两边求导得等式两边从 0 到 x 积分，得 即 s 1(x)-s1(0)=-x-ln(1-x)，所以 s
13、 1(x)=-x-ln(1-x)， x(-1，1)当 x=-1 时，s(x)连续，且 收敛；当 x=1 时，s(x)无意义，但故幂级数 的和函数为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (e2-1)【试题解析】 本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与旋转体的体积计算 先求微分方程的特解：微分方程 y-3y+2y=0 的特征方程为 r2-3r+2=0，特征根为 r1=1，r 2=2，所以微分方程的通解为 y=C1ex+C2e2x进一步，y=C1ex+2C2e2x，由 y(0)=1，y(0)=2，得 解得 C1=0，C 2=1，所以微分方程的特解为 y=e2x 再求旋转体的体积：取 x 为积分变量，则直线x=0，y=e 2 与曲线 y=y(x)所围成的图形(如图 55 所示)绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为【知识模块】 高等数学
