1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 112 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则( )2 设 f(x)=x 2-1(x)，其中 (x)在点 x=1 处连续，则 (1)=0 是 f(x)在点 x=1 处可导的( )（A）充分必要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件3 如果 f(x)= 在点 x=0 处可导，则( )（A）a=-2（B） a=2（C） a=-3（D）a=3 4 设 f(x)与 g(x)在点 x0 处不可导，且都在点 z。处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在点 x0 处 ( )（A）必取
2、得极大值（B）必取得极小值（C）必取不到极值（D）可能取得极大值，也可能取得极小值5 设 f(x)= 在(-，+)内的表达式为( )6 下列广义积分中发散的是( )7 直线 L： 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为( )（A）2x 2+2y2-z2+2z-10=0（B） 2x2+2y2-z2+2z+10=0（C） x2+2y2-z2+2z-10=0（D）2x 2+y2-z2+2z+10=08 函数 f(x，y)=1+x+y 在区域(x，y)x 2+y21)上的最大值与最小值之和为( )（A）2（B） -2（C）（D）9 设积分区域 D 是由直线 y=x 与曲线 y2=x 围成，则 等于(
3、)（A）（B） -（C）（D）10 设 L 是上半椭圆 x2+4y2=1，y0，L 1 是四分之一椭圆 x2+4y2=1，x0，y0，则( )（A） L(x+y)ds=2L1(x+y)ds.（B） Lxyds=2L1xyds（C） Lx2ds=2L1y2ds（D） L(x+y)2ds=2L1(x2+y2)ds11 若级数 发散，则( )12 设 y=f(x)是微分方程 y+P(x)y+xy=ex-1 满足 y(0)=1，y(0)=0 的解，其中 P(x)具有任意阶导数，则( )（A）f(0)=是 f(x)的极小值（B） f(0)=1 是 f(x)的极大值（C）点 (0，1)是曲线 y=f(x)
4、的拐点（D）f(0)=1 是 f(x)的极值或点(0，1) 是曲线 y=f(x)的拐点与函数 P(x)有关二、填空题13 设 f(x)满足方程 af(x)+ ，其中 a，b，c 为常数，且a b，则 f(x)=_；f(x)dx=_.14 =_.15 设 f(x)= 则 f(x)=_16 函数 的单调减少区间是_，单调增加区间是_17 设 f(x)=alnx+bx2+x 在点 x1=1，x 2=2 处都取得极值，则a=_，b=_18 设 f(x)= =_.19 设曲线的参数方程为 则该曲线上自 t=0 到 t= 之间的一段弧的弧长为_20 设 ，且 f 具有二阶连续的偏导数，则 =_.21 二次
5、积分 =_，22 设 L 为圆周 x2+y2=2ax，则 =_.23 设级数 (un+1-2un+un-1)的和等于_24 级数 的和为_25 已知 y=2e2x+(1+x)ex 是二阶线性常系数非齐次微分方程 y+ay+by=cex 的特解，则常数 a，b， c 分别为_ 考研数学一（高等数学）模拟试卷 112 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查由已知极限求参数问题【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)在点 x=0 处可导，所以 f-(0)
6、=f+(0)，故 a=-2【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 (反例排除法) 取 f(x)=-x，g(x)=- x，则 f(x)和 g(x)在点 x=0处都取得极大值，但 F(x)=f(x)g(x)=x2 在点 x=0 处取得极小值，排除 A、C 取f(x)=-x，g(x)=1- x，则 f(x)和 g(x)在点 x=0 处都取得极大值，但其图形如图 10 所示，显然F(x)在点 x=0 处取得极大值，排除 B故应选 D【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 这是一个分段函数的积分上限函数的计算问题，应考虑 z 的不同范围进行计算当 x0 时，(x)= 当
7、0x 时，(x)=当 x 时，(x)=故应选 A【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 A【试题解析】 设旋转曲面上任意一点为(x，y，z)，由于直线 L 的参数方程为消去 t，得 2x2+2y2-z2+2z-10=0 即为所求旋转曲面的方程【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查二元连续函数在闭区域上的最(大、小)值的计算方法 因为 fx=1，f y=1，所以 f(x，y)=1+x+y 在区域(x，y)x 2+y21内无驻点下面求f(x，y)在区域边界 x2+y2=1 上的最值，用拉格朗日乘数法，令 L(x，
8、y)=1+x+y+(x2+y2-1)，故f(x，y)在区域(z，y)x 2+y21上的最大值为 1+ ，最小值为 1- ，从而最大值与最小值之和为 2【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 关于 y 的原函数不能用初等函数表示，故应选择先对 x后对 y 的积分次序将积分区域表示成 Y 型区域 D=(x，y)0y1，y 2xy，故【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分曲线 L 关于 y 轴对称，所以 Lxds=0， Lxyds=0， Lyds=2L1yds， Lx2ds=2L1x2ds， Ly2ds=2L1y2ds 注意到Lx2ds=2L1x2d
9、s2L1y2ds=Ly2ds，从而排除 A、B、C，故应选 D事实上 L(x+y)2ds=L(x2+2xy+y2)ds=L(x2+y2)ds+L2xyds =2L1(x2+y2)ds+0=2L1(x2+y2)ds【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 (推理法) 由一定发散故应选 D【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 取 x=0，由微分方程，得 y(0)=0将已知方程两边对 x 求导数，得 y+P(x)y+P(x)y+y+xy=ex， 取 x=0，得 y(0)=0将上式两边再对 x 求导，得 y(4)+P(x)y+2P(x)y+P(x)y+2y+xy=e
10、x， 取 x=0，得 y(4)(0)=1 由高等数学知y(0)=f(0)=1 是 f(x)的极小值【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 因为对任意 x0，有 将(1)式中的 x 换成 ，得 由(1)、(2) 两式消去进一步【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 这是一个 型未定式的极限，先将 arctanx2 用等价无穷小替换成x2，然后用洛必达法则计算【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 当 x0 时，f(x)=cosx；当 x0 时，f(x)=1；当 x=0 时，所以 f(0)=1综上所述 f(x)=【知识模块】 高等数学16
11、【正确答案】 (0，1 e2，+)，1，e 2【试题解析】 令 y=0，解得驻点为x1=1， x2=e2列表 7：故函数的单调减少区间是(0，1 e2，+)，单调增加区间是1，e 2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)= +2bx+1，又 f(x)在点 x1=1，x 2=2 处都取得极值，所以f(x1)=f(1)=a+2b+1=0，f(x 2)=f(2)= +4b+1=0，解得 a=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 解决本题的关键是要认清 是常数令，两边从0 到 1 积分，【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 由参数方程
12、下的弧长公式 ，所求曲线的弧长为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【试题解析】 本题考查二元复合函数的一、二阶偏导数的计算由二元复合函数偏导数的链式法则，有【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【试题解析】 二次积分其中 D 是由直线 x=0，y=0 与曲线 围成的平面区域由二重积分的几何意义知，该二次积分等于以原点为球心，以 R 为半径的球体在第一卦限的体积，即【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 8a 2【试题解析】 本题考查第一类曲线积分的计算利用曲线 L 的参数方程将曲线积分化为定积分计算曲线 L：x 2+y2=2ax 的参数方程为【知识模块】 高等数学23 【正确答案
13、】 u 0-u1【试题解析】 这是一个与级数敛散性的定义和级数收敛的必要条件有关的综合问题级数 (un+1-2un+un-1)可以写成 (un+1-un)-(un-un-1)，其部分和 sn= (ui+1-ui)-(ui-ui-1)=(un+1-u1)-(un-u0)=un+1-un-u1+u0，所以，级数 (un+1-2un+un-1)的和 s=(un+1-un-u1+u0)，因为级数 收敛，由级数收敛的必要条件知所以 s= (un+1-un)+u0-u1=u0-u1.【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 2e【试题解析】 因为 ex= ，x(-，+)，等式两边求导得 上式两边乘以 x，
14、得 等式两边求导，得 e x+xex= ， x(-，+)，取 x=1，得 =2e【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 -3，2，-1【试题解析】 由二阶线性齐次与非齐次微分方程解的性质与结构以及 y=2e 2x+(1+x)ex=2e2x+ex+xex 是 y+ay+by=cex 的特解，知 r1=1，r 2=2 是其所对应的齐次微分方程 y+ay+by=0 的特征方程的根，于是特征方程为 (r-1)(r-2)=0， 即 r2-3r+2=0， 故齐次微分方程为 y-3y+2y=0，从而=-3，b=2 y*=xex 是 y+ay+by=cex 的一个特解，y *(x+1)ex，y *=(x+2)ex，所以 (x+2)e x-3(x+1)ex+2xex=cex 所以 c=-1【知识模块】 高等数学
