1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 114 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小量，则( )（A）a=1 ，b=（B） a=1，b=（C） a=-1，b=（D）a=-1，b=2 曲线 f(x)= x2+6x+1 上点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标为( )（A）（B） (-1，0)（C）（D）(1 ，0)3 设 y=f(x)在点 x0 处可导，且 f(x0)0， x 是自变量 x 在 x0 处的增量，y 与 dy 是对应函数的增量与微分，则 ( )（A）等于 0（B
2、）等于 1.（C）不存在（D）不一定存在4 设 为函数 f(x)=arcsin x 在区间0，b上使用拉格朗日中值定理中的“中值” ，则极限 等于( )5 设 f(x)是(-，+) 内连续的奇函数，则下述 4 个结论：其中正确的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 曲线 x=y(y-1)(2-y)与 y 轴所围成的图形的面积等于 ( )7 如果函数 f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则应定义 f(0，0)等于( )（A）（B）（C） 4（D）-4 8 曲面 z=F(x，y，z)的一个法向量为( )（A）(F x，F y，F z-1)（B） (Fx-1，F y-1，F z-1)
3、（C） (Fx，F y，F z)（D）(-F x，-F y，-1) 9 设 D=(x， y)x 2+y21，x 2+y22x，y0 ，则 =( )10 设曲线 ： 从 z 轴正向往负向看为逆时针方向，则ydx+zdy+xdz=( )11 若幂级数 an(x+1)n 在 x=1 点处发散，则此幂级数在= 点处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定12 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex 满足的一个微分方程是( )（A）y-y-2y=3xe x（B） y-y-2y=3ex（C） y+y-2y=3xex（D）y+y-2y=3e x二、填空题13 设 f(x)= 则 f
4、f(x)=_14 =_.15 设函数 y=y(x)由方程 2cos(xy)=x+y 所确定，则 dy x=0=_16 函数 的极大值是_，极小值是_17 设 f(x)的一个原函数为 ln(x+ )，则xf(x)dx=_.18 =_.19 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板 1cm，如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，则锤击第三次时，铁钉又击入_cm20 已知 ，其中 (u)可微，则 x2 +y2=_21 设 ，且 D=(x，y)x+y1，x0，y0，则=_.22 设 L 为椭圆 ，其周长为 l，则曲线积分 L(b2x2+a2y2+2x
5、y)ds=_23 已知 =_.24 设 2+x = ancosnx(-x)，则 a2=_25 微分方程 y-2y+2y=ex+2x 的通解为_考研数学一（高等数学）模拟试卷 114 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小量，所以于是 (1-acosax)=1-a=0，故 a=1从而【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=x2+x+6，得 f(0)=6，所以曲线在(0，1)处的切线方程为 y-1=6x令 y=0，得 x= ，故切线与 x 轴交点的坐标
6、为【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)在点 x0 处可导 f(x)在点 x0 处可微，而由可微的定义，y=dy+o(x)，所以 dy-y=-o(x)，于是 故应选 A【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= ，f(x) 在0，b上用拉格朗日中值定理得【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 如果 ，错误 因为f(x)+ 是 -l，l上连续的奇函数，所以正确对于、 ，因为当发散时，中的等式与 中不等式都没有意义，错误【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 x=y(y-1)(2-y)的图形如图 11 所
7、示，取 y 为积分变量，则所求平面图形的面积为 故应选 C【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以补充定义 f(0，0)= ，则 f(x，y)在点(0，0)处连续【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 A【试题解析】 曲面方程 z=F(x，y，z) 可以写成 F(x，y，z)-z=0，由曲面的法向量计算公式，其一个法向量为(F x，F y，F z-1)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 由 及 y0得两条曲线的交点为 由于积分区域的特点，如图 26 所示，选用极坐标计算二重积分在极坐标下，D=(r，) 0 ，1r2cos，所以【知识模块】 高等数学
8、10 【正确答案】 C【试题解析】 这是一个空间封闭曲线上的第二类曲线积分的计算问题由于空间曲线 是以一般式方程给出，且不易建立其参数方程，故考虑用斯托克斯公式 取为平面 X+y+z=0 包含在球面 x2+y2+z2=R2 内的部分，其法向量按右手定则，由斯托克斯公式，有 其中 cos，cos，cos 是平面 x+y+z=0 上任意一点法向量的方向余弦，cos=cos=cos= 于是 ydx+zdy+xdz=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查阿贝尔定理的条件与结论因为幂级数 an(x+1)n 在x=1 点处发散，由阿贝尔定理，该幂级数在适合x+1 1+1=2
9、 的范围内，即 x(-，-3)(1 ，+)时发散，但 x= (-，-3)(1，+) ，所以该幂级数在 x=点处的敛散性不能确定故应选 D【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查二阶线性常系数齐次与非齐次微分方程解的性质与结构 由 y=C1ex+C2e-2x+xex 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的通解知，r1=1，r 2=-2 是相应的齐次微分方程的特征方程的根，从而特征方程为 r2+r-2=0，于是齐次微分方程为 y+y-2y=0排除 A、B 在 C 与 D 选项中，因为 1 是特征单根，所以方程 y+y-2y=3e x y+y-2y=3ex 具有 y*=Ax
10、ex 形式的特解，故应选D事实上，y *=xex 是二阶线性非齐次微分方程 y+y-2y=f(x) 的特解由于y*=(x+1)ex，y *=(x+2)ex，从而 f(x)=(x+2)ex+(x+1)ex-2xex=3ex， 故所求微分方程为 y+y-2y=3ex【知识模块】 高等数学二、填空题13 【正确答案】 x【试题解析】 因为 而 f(x)0 x0， f(x)0 x0，所以 故ff(x)=x【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 -dx【试题解析】 这是一个隐函数的求导(微分)运算问题当 x=0 时，由已知方程得y=2方程两边对
11、x 求导得 取x=0，y=2 得 ，所以【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 令 y=0，得驻点 x1= ，当 x=0时，y不存在列表 9：由极值的第一充分条件知，x=0 是极大值点，x= 是极小值点；【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)的一个原函数为 ，所以【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数 4cos4在积分区间 上是偶函数，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【试题解析】 这是一个变力沿直线做功问题，主要考查定积分在物理上的应用 由题设，木板对铁钉的阻力 f(x)=kx，其中 k 是比例系数，x
12、是铁钉击入木板的深度，则击第一次时，铁锤所做的功为 设击第二次时，铁钉的深度为 x2cm，由于每次锤击铁钉所做的功相等，所以解得 x2= cm，故第二次击入的深度为cm设击第三次时，铁钉的深度为 x3cm，同理解得 x3= cm，故第三次又击入的深度为【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 0【试题解析】 这是一个二元函数的偏导数计算问题，对 x(或 y)求偏导数时把 y(或x)看成常数即可因为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 0【试题解析】 由于二重积分的被积函数仅是 x 的函数，所以将二重积分化为先对y 后对 x 的二次积分，再代入已知条件进行计算【知识模块】 高等数学22 【正
13、确答案】 la 2b2【试题解析】 本题考查第一类曲线积分的计算 因为曲线 L 关于 x(y)轴对称，而函数 2xy 关于 y(x)为奇函数，所以 L2xy ds=0，而曲线 L 可写成 b2x2+a2y2=a2b2，故 L(b2x2+a2y2+2xy)ds=L(b2x2+a2y2)ds+L2xyds =La2b2ds=a2b2Lds=la2b2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 0【试题解析】 因为 2+x是偶函数，且是余弦级数，所以【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 y=e x(C1cosx+C2sinx)+ex+x+
14、1【试题解析】 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题 首先求 y-2y+2y=0 的通解 y-2y+2y=0 的特征方程为 r2-2r+2=0，特征根为 r1,2=1i， 所以其通解为 Y=ex(C1cosx+C2sinx) 其次求 y-2y+2y=ex+2x 的一个特解设 y1*=Aex是 y-2y+2y=ex 的一个特解，则 y 1*=y2*=Aex，将其代入到 y-2y+2y=ex 并化简，得 A=1，所以 y1=ex 设 y2*=ax+b 是 y-2y+2y=2x 的一个特解，则y2*=a，y 2*=0，将其代入到 y-2y+2y=2x 并化简，比较等式两边 x 同次幂的系数，得 a=1，b=1，所以 y2=x+1故 y*=y1*+y2*=ex+x+1 是 y-2y+2y=ex+2x 的一个特解 最后写出 y-2y+2y=ex+2x 的通解，为 y=Y+y *=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1【知识模块】 高等数学
