1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 125 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列说法正确的是( ) 2 曲面 x2+4y2+z2=4 与平面 x+z=a 的交线在坐标 yOz 平面上的投影方程是( )二、填空题3 设x表示 x 的最大整数部分，则 _ 4 设 f(x)是以 4 为周期的函数，且 f(一 1)=2,则 =_ 5 二次积分 =_6 设 是由锥面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则曲面积分 =_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 已知曲线 Y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x 一 1，求极限8 求极限9 设
2、 f(x)具有连续的二阶导数，令 求 g(x)并讨论其连续性10 设 求 f (x) 11 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)=ln2，试证：存在点 (0，1)，使得(1+ 2)f()arctan=一 112 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，ba0，f(a)f(b)，试证：存在(a，b)，使得 2f()=(a+b)f()13 计算14 设 f(x)=acosx+b sinx在 求常数a、b 的值15 设 f(x)在(0，+)内连续，且 f(x)0，讨论 (x)的单调性，其中16 设 f(x)在( 一，+)上是正值连续函数，判别 (x)=a ax 一
3、 uf(u)du 在 ( 一，+)上的凹凸性17 半径为 R，比重为 (1)的铁球，沉入深为 H(H2R)的水池里，现将其从水底取出，需做多少功?18 求直线 的公垂线方程19 已知函数 z=z(x，y)满足20 设直线 在平面 上，而平面 与曲面 z=z2+y2 相切于点(1，一 2，5)，求常数 a 与 b 之值21 计算二重积分 其中积分区域 D=(x，y)x 2+y2R2)22 设区域 D=(x，y) ：x 2+y21，x0)，计算二重积分23 计算曲线积分 I=Lexf(y)一 mydx+exf(y)一 mdy，其中 f、f均为连续函数，L为连接点 A(x1，y 1)、B(x 2，y
4、 2)的任一路径，且它与直线段 AB 所围成的图形 D 的面积为定值 S23 计算下列第一型曲线积分：24 其中 L 是以原点为中心，R 为半径的右上四分之一圆周，即： x2+y2 一R2，x0，y0；25 其中 L 是以 A(1，1)，B(一 1，1)，C(1，一 1)为顶点的三角形的周边26 计算 在xOy 坐标平面上方的部分，方向取上侧27 判别级数 的收敛性28 设函数 f(x)在(0，+)内连续， 且对一切的 x、t (0，+)满足条件：1xtf(u)du=t1x f(u)du +x1t f(u)du求函数 f(x)的表达式29 设 f(x)是可导的函数，对于任意的实数 s、t，有
5、f(s+t)=f(s)+f(t)+2st，且 f(0)=1求函数 f(x)的表达式30 求解微分方程31 求解微分方程 x2y+3xy+2y=0考研数学一（高等数学）模拟试卷 125 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 在 A 中，x 的变化范围是0，4，不能作变换 x=sint 在 B 中，变换 x2+1=t 不是单调的 在 C 中，a0 时是正确的 在 D 中，与 t、u 有关，是正确的故选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查空间曲线在坐标平面上的投影曲线的方程根据题意，曲面 x2+4y2+z2=4 与平面
6、 x+z=a 的交线在坐标 yOz 平面上的投影应在坐标 yOz 平面上，故 x=0，从而选项 B、D 均错 又因为曲面与平面的交线在坐标 yOz 平面上的投影柱面方程应不含变量 x，故选项 C 也不对故选 A评注空间曲线方程的表达式主要有： (1)一般方程： (2)参数方程：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)二、填空题3 【正确答案】 应填 3【试题解析】 利用夹逼定理求极限是一种重要的方法，关键是找出两个特殊的函数(或数列)4 【正确答案】 应填 【试题解析】 若 f(x)以 T为周期在 x0 处可导，则 f(x0+T)=f(x0)5 【正确答案】 应填【试题解析】 本题考查二重积分
7、的计算，需要利用交换积分次序和分部积分方法二次积分的积分区域 为 D=(x，y)0y1，yx1)=(x，y)0x1，0yx) 交换积分次序得当被积函数中含有变上限积分时，常常要把变上限积分看作一个普通函数进行分部积分等运算6 【正确答案】 应填【试题解析】 本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面(或柱面) 坐标进行计算即可三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 原式【试题解析】 由已知，f(1)=0，f(1)=1 ，有 当 x0 时，lncosx=ln1+(cosx 一 1)cosx 一 1 令在求极限时要注意重要条件的应用例如： (1)
8、f(x 0)=0，f(x 0)=A (f(x)在 x0 连续) (2)若 f(x0)存在，且 则8 【正确答案】 由 x1 可知，当x 两边对 x 求导，得两边再对 x 求导，得所以，【试题解析】 先求幂级数的和函数，再求极限熟记常见函数的展开式，对求幂级数的和函数是重要的例如：9 【正确答案】 所以 g(x)在 x=0 处连续，故 g(x)在(一 ，+)内连续10 【正确答案】 当 x0 时，【试题解析】 这是变限积分求导问题，先经变量替换将参数提至积分号外再求导11 【正确答案】 令 F(x)=ef(x)arctanx 由已知条件，由积分中值定理，存在点于是，F(x)在，1上连续，在(，1
9、)内可导，由洛尔定理，存在点 (， 1) (0，1)，使得 F()=0，即(1+ 2)f()arctan=一 1【试题解析】 由 所以，可作辅助函数 F(x)=ef(x)arctanx，用洛尔定理证明12 【正确答案】 由拉格朗日微分中值定理,可得 取 g(x)=x2，则 f(x)、g(x) 在a，b 上满足柯西定理的条件 由柯西微分中值定理，存在点(a， b)，使得故有2f()=(a+b)f()【试题解析】 关于双介值问题，解题的基本思路是将其化为单介值问题先将两个介值分离，再用两次拉格朗日微分中值定理或一次拉格朗日微分中值定理、一次柯西微分中值定理在用一次拉格朗日微分中值定理、一次柯西微分
10、中值定理证明的命题中，一般来说，一个函数是已知的，另一个函数通过对要证结论稍加整理便可看出13 【正确答案】 【试题解析】 (1) a af(x)dx=0af(x)+f(一 x)dx (2)若连续函数 f(x)满足 f(x)f(一x)=1，g(x)是连续的偶函数， 则 上述两个结果在计算定积分时，使用很方便14 【正确答案】 由 f(x)为偶函数可知，f 2(x)为偶函数于是有15 【正确答案】 因为所以 (x)在(0，+) 内单调增加【试题解析】 函数的单调性可用导数的符号判定一阶导数判单调，二阶导数判凸凹，即(1)若在a，b上除有限个点外有 f(x)0(0)，则 f(x)在(a，b)内上凸
11、(上凹)16 【正确答案】 用二阶导数的符号判定 (x)= ax(xu)f(u)du+xa(u 一 x)f(u)du =xa xf(u)dua xuf(u)du+xauf(u)du 一 xxaf(u)du，(x)= a xf(u)du+xf(x)一 xf(x)一xf(x)一 xaf(u)du+xf(x) =a xf(u)duxaf(u)du，(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0 所以，(x)是(一 ，+)上的上凹函数(或下凸函数) 17 【正确答案】 建立坐标系，如图 155 所示 (1)将球从池底提升到球顶与水面相齐时所做的功设为 W1，在水中所用外力为(2)将球进一步提出水面所做的功设
12、为 W2，球从水中提高 x 单位时，所用外力为：所以，将球从池底取出外力所做的功为 W=W1+W2= R3 R+(1)H 【试题解析】 将球从水底取出所做的功可分为两部分：从池底提升到球顶与水面相齐时所做的功和将球进一步提出水面所做的功18 【正确答案】 因为直线 L1、L 2 的方向向量分别为 s 1=1，2，0)0，2，一 1)=一 2，1，2)， s 2=0，1，0)1，0，2)=2 ，0，一 1)，所以，直线 L1 与 L2 的公垂线的方向向量为 s=s 1s2=一 2，1，2)2，0，一 1=一 1，2，一 2 设过直线 L1 且与 s 平行的平面为 1，则平面 1 的方程为 x+2
13、y+5+(2yz 一 4)=0，于是，1 的法向量为，n 1=(1，2+2，一 ) 根据 sn1，得 从而平面 1 的方程为 2x+2y+z+14=0 设过直线 L2 且与 s 平行的平面为 2，则类似地可得平面 2 的方程为 2x+5y+4z+8=0因此，所求公垂线的方程为【试题解析】 本题主要考查平面族方程与公垂线的概念及其方程的求法直线 L1与 L2 的公垂线的方向向量为 s=s 1s1=m1，n 1，p 1m2，n 2，p 2=19 【正确答案】 【试题解析】 这是一个间接求偏导数的问题应注意的是：(1)变量 x、 y 应为变量 u、v 的函数；(2) 既是变量 u、v 的函数，也是变
14、量 x、y 的函数20 【正确答案】 由于直线 L 在 上，故将 L 的方程代入到 的方程中，便可求出a、b 的值 在点(1，一 2，5) 处曲面的法向量为，n=(2，4，一 1，故切平面即平面 的方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0，即 2x 一 4yz 一 5=0【试题解析】 利用多元微分法求出平面 程21 【正确答案】 【试题解析】 因为积分区域 D 是圆域，所以轮换变量 xy，使得积分区域 D 不变被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析特别地，当具有轮换对称性(xy 互换，D 保持不变)时，往往用如下方法：22 【正确答案】 【试题解析】 在二重积分的计算
15、中，注意用区域的对称性和被积函数的奇偶性，简化其计算23 【正确答案】 第一个曲线积分 显然与连接点 A(x1,y1)、B(x 2,y2)的任意积分路径无关，则【试题解析】 本题主要考查第二类(对坐标的)曲线积分的计算方法对曲线积分利用了在直线段 AB 的方程，这样就可将曲线积分化为定积分24 【正确答案】 由曲线 L 的方程 x2 +y2 =R2 得25 【正确答案】 L 由三条直线段 组成，由于它们的参数方程不同，所以要分别进行积分对于 L1，取 x 为参数(一 1x1)，由于y1,dS=dx，所以 L2 的方程为 y=一 x(一 1x1)，对于 L3，取 y 为参数(一1y1)，由于 x
16、1,dS=dy，所以26 【正确答案】 利用斯托克斯公式，将沿锥面的曲面积分化为沿平面的二重积分设曲面与 xOy 平面的交线为 取逆时针方向，于是，由斯托克斯公式得【试题解析】 本题主要考查旋度的概念、第二类型曲面积分的计算向量场A(z，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k 在场内任意一点(x，y，z)处的旋度为27 【正确答案】 设级数的一般项又因为28 【正确答案】 由已知条件可知，等式两边关于变量 t 是可导的于是，对等式两边关于 t 求导，得 xf(xt)= 1xf(u)du+xf(t) 在上式中，若 t=1，得 xf(x)= 1xf(u)du+xf(t
17、)= 1xf(u)du+ 显然，上式两边关于变量 x 也是可导的于是，对等式两边关于 x 求导，得 f(x)+ xf (x)= 这是一个变量可分离的微分方程两边同时对变量 x 积分，有 其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查如何将一个积分方程化为一个微分方程，并用相应的方法求解微分方程的特解由于所给积分方程中，变量 x、t 不仅是任意的，而且是对称的，则先固定一个变量，对另一个变量求导，就可得到相应的微分方程29 【正确答案】 因为对任意的实数 s、t，有 f(s+t)=f(s)+f(t)+2st令 s=0，t=0，则f(0)=0，f(0)=1 将原式变形，得 令 t0，得 f(s)=
18、f(0)+2s=1+2s解此微分方程，得 f(s)=s+s2+c，其中 c 为任意常数 再由条件f(0)=0，得 c=0于是，f(x)=x+x 230 【正确答案】 令 y=p，则 若P=0，则 y=c 若 两边同时积分，得LnP =ln(y 一 1)2+lnc1，即 P=c1(y 一 1)2，亦即 再分离变量，即得原微分方程的通解为 其中 c1，c 2 为任意常数【试题解析】 本题主要考查二阶微分方程降阶为一阶微分方程的方法31 【正确答案】 作自变量变换 t=lnx， 则 代入原方程，得到 这是一个常系数二阶齐次微分方程，其通解为 y(t)=e t (c1cost+c2sint)， 用 t=lnx 代回，得原方程的通解为 y(x)= (c1coslnx+c2sinlnx)【试题解析】 这是欧拉方程，作变量替换可化作线性常系数方程
