1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 126 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 xdx 等于( )（A）x+c（B） xx+c（C）（D）2 二、填空题3 设 f(x)连续，且当 x0 时， 是与 x3 等价的无穷小量，则 f(0)=_4 函数 f(x)=sinx 在0 ，上的平均值为_5 6 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 收敛于_7 设二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)有三个特解y1=ex， y3=ex+ex ，则该方程为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)=nx(1x) n(n=1，
2、2，)，M n 是 f(x)在0，1上的最大值，求极限9 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且(0)，求 、(其中 0)10 设 f(x)连续，且 求 (x)11 已知 y=y(x)由方程12 设 f(x)在0，1上可导， 01f(x)dx=01x f(x)dx=0，试证：存在点 (0，1)，使得f()=013 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(x)=0，f(x)=1，试证：对任意给定的正数 a，b，在 (0，1)内存在不同的点 ，使14 设 f(x)连续， =0xf(xt)costdt，求 01f(x)dx15 设 (x)=0xf(t)g(xt)dt，其中
3、，f(x)=x，求 (x)16 求 的极值17 设 f(x)，g(x) 在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，并有 求 f(x)=一 2x2+0xg(x 一 t)dt 的拐点18 有一椭圆形薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直于水平面，而其短半轴与水平面相齐，求水对薄板的侧压力19 求直线 绕 z 轴旋转一周所得曲面 S 的方程，并说明 s 为何种曲面20 设函数 其中函数 f、 具有连续的二阶可导，求二阶混合偏导数21 一页长方形白纸，要求印刷的面积为 Dcm2，并使所留的页边距分别为：上部与下部的宽度之和为 a+b=kcm，左部与右部的宽度之和为 c+d=lcm
4、(其中 d、k、l 均为已知常数)试确定该页纸的长(y)和宽(x) ，使得它的面积 S 为最小22 设分段函数其中积分区域 D=(x， y)x 2+y22x23 计算 其中 0ab24 计算曲线积分 其中 L 是以点(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R0， R1)，取逆时针方向25 设空间区域 由曲面 z=a2 一 x2 一 y2 与平面 z=0 所围成，其中 a 为正常数记 表面的外侧为， 的体积为 V，证明： x2yz2dydzxy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V26 讨论级数 的敛散性27 求解微分方程 满足条件 y(0)=0 的特解28 设函数 f(x)在(一，+)内具有
5、连续的导数，且满足求函数 f(x)的表达式29 已知函数 y=e2x+(x+1)ex 是线性微分方程 y+ay+by=cex 的一个解，试确定常数a、b、c 的值及该微分方程的通解30 已知 y1(x)=ex，y 2(x)=u(x)ex 是二阶微分方程(2x 一 1)y一(2x+1)y+2y=0 的两个解，若 u(1)=e，u(0)=一 1，求 u(x)，并写出该微分方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 126 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 关于求分段函数的原函数，分段求完后要利用连续性在分段点处粘合起来2 【正确
6、答案】 B【试题解析】 本题主要考查直线的标准方程、一般方程及两条直线的夹角的概念与求法由于直线 L1 的方向向量为 s1=1，一 2，1，直线 L2 的方向向量为 S2=空间中两条直线的夹角的余弦为 其中(1)si=mi,ni,pi是第 i 条直线 Li 的方向向量(i=1,2)；而向量 a=m1,n1,p1与 b= m2,n2,p2的夹角是 a 与 b 所夹不超过 的角，所以当 ab0 时，(2)直线 L1 与 L2 互相垂直的充分必要条件是 m1m2+n1n2+p1p2=0； 直线 L1 与 L2 互相平行(或重合) 的充分必要条件是二、填空题3 【正确答案】 应填【试题解析】 由等价无
7、穷小量的定义及洛必塔法则，可得含参数的变限积分，不能直接求导，必须经变量替换将参变量提至积分号外再求导4 【正确答案】 应填【试题解析】 平均值为 一般地，函数 f(x)在区间a，6上的平均值为5 【正确答案】 应填【试题解析】 函数 u(x，y，z)沿单位向量 n=一cos，cos，cos的方向导数为本题直接用上述公式即可本题若，n=m，n，l)非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为6 【正确答案】 应填【试题解析】 设 S(x)为函数 f(x)以 2 为周期的傅里叶级数的和函数，根据狄利克雷收敛定理，有 7 【正确答案】 应填【试题解析】 本题主要考查线性微分方程解的结构因为 y2
8、 一 y1，y 3y1，是对应齐次方程的解，代入齐次方程可求得 再将 y1 代入原方程可得 f(x)=ex三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 f(x)=n(1 一 x)n 一 n2x(1 一 x)n1 令 f(x)=0，得 n2x(1 一 x)n1 =n(1一 x)n，即 nx=1 一 x于是得驻点 又为 f(x)在(0,1)内的极大值 比较 f(0)=0，f(1)=0 和 Mn 可知，f(x) 在0，1上的最大值为 Mn=【试题解析】 先求 f(x)在0 ，1上的最大值 Mn，再求极限 本题的极限是“1 ”型未定式，其一般形式为 limf(x)g(x)，其中
9、limf(x)=1，limg(x)=为求极限，也可先将幂指函数 f(x)g(x)化为指数型复合函数 eg(x)lnf(x)，利用等价无穷小量替换定理： lnf(x)=ln1+(f(x)1)f(x)1，可得： limf(x) g(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)f(x)1 于是，将求幂指函数的极限 limf(x)g(x)转化为求积函数的极限 limg(x)f(x)19 【正确答案】 由0所以0又 可得 f(0)=0,f(0)=0(1) 若 01，则有与题设矛盾(2)1，则有从而有 与题设矛盾(3)当 =1 时，满足题设条件，故 =1，=f(0)【试题解析】 含待定常数的极限问
10、题，一般可在待定常数的取值范围内求出极限，再与题设条件对比，符合题设条件的参数值即为所求的参数值或取值范围10 【正确答案】 令 x2 一 t=u，则【试题解析】 含参变量的积分，先将参变量提至积分号外，再求导(1)含参变量的变限积分 axf(x,t)dt 求导时，应该先通过变量替换将参数提至积分号外再求导(2)幂指函数 f(x)g(x)(xdg 且 f(x)0)在求导时，应将它写成指数型复合函数 eg(x)lnf(x)，然后用复合函数求导法求导，即f(x) g(x)=eg(x)lnf(x)g(x)lnf(x)=f(x)g(x)g(x)lnf(x)+ ,这个公式称为幂指函数求导公式该公式也可以
11、用对数求导法得到11 【正确答案】 方程两边对自变量 x 求导，得【试题解析】 隐函数求导法的基础是：若方程 F(x，y)=0 在区间 I 上确定隐函数y=y(x)，则恒等式 F(z，y(x)0 在区间 I 上成立因此当 F(x，y)可微时，可由0 解出 y(x)12 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=0xf(t)dt，则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=F(1)=0，又 0=xf(x)dx=01xdF(x)=xF(x) 0101F(x)dx=0，由积分中值定理， 存在点 (0，1)，使得 F()=0于是，在0，和，1上分别对 F(x)应用洛尔定理，存在点 1(0，
12、)， 2(，1)，使得 f(1)=f(2)=0 在 1， 2上对 f(x)再应用洛尔定理，存在 (1， 2) (0，1)，使得 f()=0【试题解析】 证明存在点 ，使得 f()=0，可对 f(x)用一次洛尔定理，也可对 f(x)的原函数 axf(t)dt 用两次洛尔定理13 【正确答案】 因为 a0，b0，所以 又 f(x)在0，1上连续，由介值定理，存在点 c(0， 1)，使得 将 f(x)在0，c ，c，1上分别用拉格朗日中值定理得 f(c)一 f(0)=f()c，(0 ，c)， f(1)一 f(c)=f()(1 一 c)，(c， 1) 由 f(0)=0，f(1)=1，可得14 【正确答
13、案】 因为 所以 e 2x=0xf(xt)costdt 0xf(u)cos(xu)du =cosx0xf(u)cosudu+sinx0xf(u)sinudu，且 2e2x=一 sinx0xf(u)cosudu+f(x)cos2x+cosx0xf(u)sinudu+f(x)2sinx， 4e 2x=f(x)一 cosx0xf(u)cosudu 一 f(x)sinxcosxsinx0xf(u)sinudu+f(x)sinxcosx =f(x)一 e2x，从而 f(x)=5e2x于是，有 01f(x)dx=xf(x) 01 一 501xe2xdx 15 【正确答案】 【试题解析】 是分段函数的变限积
14、分，在分段积分时，关键是看分段点是否在积分区间内分段函数的变限积分，关键是确定分段点 x0 是否在积分区间a，x内例如：在本题中，当 不在0，x内，所以 0x(x 一 u)g(u)du=0x(x 一 u)sinudu16 【正确答案】 (1)当 x0 时，y=x 2x =e2xlnx ，y=e 2xlnx(2lnx+2) 令 y =0，得(3)在 x=0 处，因为 所以 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=1又由 知 f(x)在 x=0 处不可导 但当x很小时，对 x0；对 x0 有 y【试题解析】 先分段求极值，再讨论分段点处的函数值 求极值的一般步骤为： 第一步，求 f(x)在a，b
15、内的驻点 (f(x)=0 的点)：和 f(x)不存在的点，设为xi(i=1，2，k) 第二步，用充分条件判定点 xi 是否是极值点 第三步，若 xi为极值点，则 f(xi)即为极值 对于分段函数求极值问题，要分段求，当函数在分段点处连续时，要判定分段点处的函数值是否是极值17 【正确答案】 由 由题设可知， f(x)=一 2x2+0xg(u)du， f(x)=一 4x+g(x)， f(0)=0 所以，当 x0 时，f(x)0，故(0，f(0)是曲线y=f(x)的拐点【试题解析】 求曲线 y=f(x)拐点的步骤为： 第一步：求 f(x)=0 的点和 f(x)不存在的点 x0 第二步：判定若 f(
16、x)在 x0 左、右两侧异号，则(x 0，f(x 0)是曲线y=f(x)的拐点18 【正确答案】 建立坐标系，如图 156 所示椭圆方程为 在0,a中任取一个小区间x,x+dx，对应的小横条薄板上水对它的压力为 dF=压强 面积=rx2ydx= 其中 r 为水的比重，从 0 到 a 积分得椭圆形薄板所受的压力【试题解析】 本题也可用以下方法求解 如图 157 所示，在一 b，b 中任取一小区间y ，ydy，对应小竖条薄板上水对它的压力为19 【正确答案】 设旋转曲面上任意一点为 M(x， y，z) ，该点是曲线 L 上对应点M0(z0，y 0，z 0)绕 z 轴旋转所得，于是 消去 x0，y
17、0,z0，得x2+y2=42+(2z) 2，即 这是单页双曲面方程【试题解析】 曲面上任意一点 M(x，y，z) 与曲线 L 上对应点 M0(z0，y 0，z 0)到 z轴的距离相等20 【正确答案】 常规求偏导数的方法因为【试题解析】 这是一个半抽象函数的求二阶混合偏导数的问题21 【正确答案】 如图 172 所示， 由题意知，其目标函数为 S=xy，且 xl，yk，约束条件为(xl)(y 一 k)=C 不妨设拉格朗日函数为L(x，y，)=xy+(x l)(yk)一 D(xl，yk)代入到约束条件中，得D2+2D+(Dkl)=0为了满足条件 xl，yk，则应取由实际意义知，当xl +时，y+
18、；同理当 yk +时，x+ 这都导致目标函数为 S=xy+ 所以，这个条件极值问题是不存在最大值的，故上述的驻点就是所求的解【试题解析】 本题是条件极值的问题，应用拉格朗日乘子法求解22 【正确答案】 【试题解析】 本题主要考查分段函数的二重积分本题的关键在于确定积分区域的范围23 【正确答案】 【试题解析】 本题直接用常规的定积分去求解是无法进行的因此，需要考虑用二重积分的方法本题的关键在于将被积分函数中的因子24 【正确答案】 当R1 时，点(0,0)D，为 D 的奇点作足够小的椭圆曲线当 0 充分小时，C 取逆时针方向，使得 于是，由格林公式，有【试题解析】 本题主要考查曲线积分与路径无
19、关的条件因为本题中的 R(R0，R1)是分段的，故应分 01 两种情形来讨论25 【正确答案】 因为 关于 xOz 坐标平面对称，xyz 是区域 上关于 y 的奇函数，则故结论成立【试题解析】 因为空间区域 是封闭的，故可用高斯公式证明本题的证明用到了空间区域 的对称性26 【正确答案】 根据比值判断法，因为 所以当a 1 时，级数 绝对收敛；当a 1 时，由于发散；当 a=1 时，级数为 由 p 一 级数的敛散性知： 由交错级数的布莱尼兹判别法与取绝对值后的正项级数判敛法知：【试题解析】 本题首先要讨论常数 a 的取值情况当a=1 时，还要进一步讨论 p 的取值情况27 【正确答案】 很显然
20、，y=0 是其一个特解当 y0 时，原微分方程为当 y0 时，原微分方程为因此，满足条件 y(0)=0 的特解为 其中 c10，c 20 为任意常数，原初值问题有无穷多的解【试题解析】 本题主要考查分段函数的微分方程的求解方法本题的关键在于函数分段，并分别求其满足条件的特解28 【正确答案】 因为 f(t)为偶函数，故只需讨论 t0 的情形 由于 f(t)=202d0tr2 f(r) rdr+t 4=40tr3 f(r) dr+t4在等式两边同时对变量 t 求导，得 f (t)= 4t3 f(t)+ 4t3且 f(0)=0这是一个一阶线性微分方程解此微分方程，得【试题解析】 在已给出的积分方程
21、中，因被积函数厂具有因子 x2+y2，且积分区域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量 t的一个微分方程由一般的变限积分方程 所得到的微分方程，均有一个隐含的初始条件 f(x0)=029 【正确答案】 先将函数 y 代入到微分方程中，比较等式两端同类项前的系数，得 a=一 3，b=2，c=一 1 先求齐次微分方程 y一 3y+2y=0 的通解，得由于非齐次微分方程 y一 3y+2y=一 ex 有一个特解 y*=e2x+(x+1)ex，于是，原微分方程的通解为 y=c1e2x+c2ex+e2x+(1+x)ex=c1e2x+c2ex+xex，其中c1=(c1+1)、
22、c 2=(c2+1)为任意常数【试题解析】 本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构30 【正确答案】 计算得 y2(x)=u(x)+u(x)ex，y 2(x)=u(x)+2u(x)+u(x)ex， 将y2(x)=u(x)ex 代入方程(2x 1)y 一(2x+1)y+2y=0 有 (2x 一 1)u(x)+(2x 一 3)u(x)=0，两边积分 lnu(x)=一 x+ln(2x 一 1)+lnC1， 即 u(x)=C 1(2x1)ex 故 u(x)=一 C1(2x+1)ex +C2 由条件 u(一 1)=e，u(0)=一 1，得 C1=1，C 2=0，即u(x)=一 (2x+1)ex y 1(x)，y 2(x)是二阶微分方程(2x 一 1)y一(2x+1)y+2y=0 的两个线性无关的解，所以通解为 y(x)=C1e+C2(2x+1)【试题解析】 根据已知的关系式，变形得到关于 u(x)的微分方程，解微分方程求得 u(x)
